艺术生高考数学专题讲义：考点18 函数y=Asin(ωx φ)的图象与性质

考点十八  函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质

知识梳理

1．五点法作y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用“五点法”作图，就是令ωx＋φ取下列5个特殊值：0, , π, , 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象

2．三角函数图象变换

3．函数y=Asin(ωx+φ)的几个概念

若函数y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0，x∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．

典例剖析

题型一  三角函数的图象变换

例1　(2015山东文)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象________．(填序号)

①     向左平移个单位 ②向右平移个单位 ③向左平移个单位  ④向右平移个单位

答案　②

解析　∵y＝sin＝sin，

∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位．

变式训练  把函数y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为________．

答案  x＝－

解析  将y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x＋)；再将图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)，故x＝－是其图象的一条对称轴方程．

解题要点  图象平移时要注意平移量的求解，由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换区别在于：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移量是(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．

题型二  三角函数的五点法作图

例2　设函数y＝2sin

(1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；

(2)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的．

解析  (1) 列表，

描点画出图象：

(2) 方法一　把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．

方法二　将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin 2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin的图象．

解题要点  (1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．

(2)图象变换：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

题型三  由图象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

例3　函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．

解析  (1)由题中图象得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1.

将点代入得sin＝1，又－<φ<，所以φ＝，因此函数f(x)＝sin.

(2)由于－π≤x≤－，－≤x＋≤，所以－1≤sin≤，

所以f(x)的取值范围是.

解题要点  确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法

(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；

(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；

(3)求φ：常用的方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：

“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.

题型四  函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性、周期性、奇偶性

例4　函数f(x)＝cos(2x－)的最小正周期是________．

答案　π   

解析　最小正周期为T＝＝＝π.

变式训练　已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是________．(填序号)

①                                                                                                                              函数f(x)的最小正周期为π

②                                                                                                                              函数f(x)是偶函数

③                                                                                                                              函数f(x)的图象关于直线x＝对称

④                                                                                                                              函数f(x)在区间上是增函数

答案　③

解析  f(x)＝sin＝－cos 2x，故其最小正周期为π，故①正确；易知函数f(x)是偶函数，②正确；由函数f(x)＝－cos 2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，③错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在上是增函数，④正确，故选③.

解题要点  1.三角函数的奇偶性的判断技巧：

首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．

2.求三角函数周期的方法：

①利用周期函数的定义．

②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.

③利用图象．

3.三角函数的对称性：

正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．另外函数y＝Asin(ωx＋φ)、余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)在对称轴处必取极值±A，在对称轴处必取0，借助这一性质可快速解题．

当堂练习

1．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，－＜φ＜)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．

答案 2，－

解析  由图象可得，＝－＝，

∴T＝π，则ω＝＝2，再将点代入f(x)＝2sin(2x＋φ)中得，sin＝1，

令＋φ＝2kπ＋，k∈Z，

解得，φ＝2kπ－，k∈Z，

又∵φ∈，则取k＝0，∴φ＝－.

2．(2014·辽宁卷) 将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数________．(填序号)

①在区间上单调递减    ②在区间上单调递增

③在区间上单调递减    ④在区间上单调递增

答案  ②　

解析  由题可知，将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度得到函数y＝3sin的图象，令－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z时，函数单调递增，即函数y＝3sin的单调递增区间为，k∈Z，可知当k＝0时，函数在区间上单调递增．

3. (2014·四川卷)为了得到函数y＝sin (2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点________．(填序号)

①向左平行移动个单位长度     ②向右平行移动个单位长度

③向左平行移动1个单位长度    ④向右平行移动1个单位长度

答案  ①　

解析  因为y＝sin(2x＋1)＝sin2，所以为得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需要将y＝sin 2x的图象向左平行移动个单位长度．

4．(2014·安徽卷)若将函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．

答案  　

解析  将f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位，得到y＝sin的图象，由该函数的图象关于y轴对称，可知sin＝±1，即sin＝±1，故2φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，所以当φ>0时，φmin＝.

5．(2015新课标Ⅰ文)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为________．

答案　，k∈Z

解析　由已知图象可求得ω与φ的值，然后利用余弦函数的单调区间求解．

由图象知，周期T＝2＝2，

∴＝2，∴ω＝π.

由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，

∴f(x)＝cos.

由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－<x<2k＋，k∈Z，

∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.

课后作业

一、    填空题

1．将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到函数g(x)＝sin(2x＋φ)0＜φ＜的图象，则φ等于________.

答案 

解析  由题意g(x)＝sin 2(x＋)＝sin(2x＋)，又g(x)＝sin(2x＋φ)，0＜φ＜，∴φ＝.

2．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为________.

答案 

解析  由函数横向平移规律“左加右减”

则y＝sin(2x＋φ)向左平移个单位得y＝sin(2x＋＋φ).

由y＝sin(2x＋＋φ)为偶函数得＋φ＝＋kπ，k∈Z，则φ＝＋kπ，k∈Z，

则φ的一个可能值为.

3．下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是________.

①y＝sin(2x＋)      ②y＝cos(2x＋)    ③y＝sin(x＋)      ④y＝cos(x＋)

答案　①

解析　对于选项①，注意到y＝sin(2x＋)＝cos2x的周期为π，且在[，]上是减函数，

故选①.

4．函数y＝cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为________.

答案  －sinx

解析  由图象的平移得g(x)＝cos＝－sinx.

5．已知函数y＝cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则________.

①                                                                                                                                                       ω＝1，φ＝

②                                                                                                                                                       ω＝1，φ＝－

③                                                                                                                                                       ω＝2，φ＝

④                                                                                                                                                       ω＝2，φ＝－

答案  ④

解析  由题图可知T＝－＝，∴T＝π，又T＝，∴ω＝2，又f(x)的图象过点，∴cos＝1，∴＋φ＝2kπ，令k＝0，得φ＝－π.

6．要得到函数y＝sin(x－)的图象可将函数y＝sin(x＋)的图象上的所有点________.

答案  向右平移个长度单位

解析  由y＝sin[(x－)＋]＝sin(x－)知应向右平移个长度单位.

7．(2015陕西理)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________.

答案　8

解析　由图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.

∴ymax＝k＋3＝8.

8．将函数f(x)＝sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是________.

答案 2

解析  ∵y＝sinω(x－)过点(π，0)，∴sinω＝0，∴ω＝kπ，ω＝2k，当k＝1时，ω最小值为2.

9．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则f(x)＝________.

答案  sin(x＋)

解析  依题意得，A＝，＝2×(6＋2)＝16，ω＝，

sin(×2＋φ)＝1，又|φ|<，因此φ＝，f(x)＝sin(x＋)．

10．设y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＜(－，))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：

①图象关于点(，0)对称；     ②图象关于点(，0)对称；

③在[0，]上是增函数；       ④在[－，0]上是增函数．

正确结论的编号为________．

答案  ②④

解析  ∵T＝π，∴ω＝2，∴y＝sin(2x＋φ)，

∵图象关于直线x＝对称，∴＋φ＝＋kπ，(k∈Z)，∴φ＝＋kπ(k∈Z)，

又∵φ∈(－，)，∴φ＝.  ∴y＝sin(2x＋).

当x＝时，y＝sin(＋)＝，故①不正确．

当x＝时，y＝0，故②正确；

当x∈[0，]时，2x＋∈[，]，y＝sin(2x＋)不是增函数，即③不正确；

当x∈[－，0]时，2x＋∈[0，]⊆[0，]，故④正确．

11． (2015湖南文)已知ω>0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.

答案　

解析　由得sin ωx＝cos ωx，

∴tan ωx＝1，ωx＝kπ＋ (k∈Z)．

∵ω>0，∴x＝＋ (k∈Z)．

设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1＝，x2＝，

则|x2－x1|＝＝.

又结合图形知|y2－y1|＝＝2，

且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为2，

∴(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(2)2，

∴2＋(2)2＝12，∴ω＝.

二、解答题

12． 已知函数f(x)＝sin＋1.

(1)求它的振幅、最小正周期、初相；

(2)画出函数y＝f(x)在上的图象．

解析  (1)振幅为，最小正周期T＝π，初相为－.

(2)图象如图所示．

13．(2015湖北文)

某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

(1) 请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；

(2) 将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．

解析　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：

且函数表达式为f(x)＝5sin.

(2)由(1)知f(x)＝5sin，

因此g(x)＝5sin＝5sin.

因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.

令2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z.

即y＝g(x)图象的对称中心为，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为.