艺术生高考数学专题讲义：考点28 等差数列

这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点28 等差数列，共7页。试卷主要包含了数列的定义，数列的通项公式，数列的分类，等差数列的定义，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，等差中项，等差数列的常用性质等内容，欢迎下载使用。
考点二十八  等差数列知识梳理1．数列的定义按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．2．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．3．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝.4．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1>an其中n∈N＋递减数列an＋1<an常数列an＋1＝an5．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示．6．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.说明：等差数列{an}的通项公式可以化为an＝pn＋q(其中p，q为常数)的形式，即等差数列的通项公式是关于n的一次表达式，反之，若某数列的通项公式为关于n的一次表达式，则该数列为等差数列.7．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn，则Sn＝＝na1＋d.说明：数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．这表明d≠1时，等差数列的前n项和公式是关于n的二次表达式，并且没有常数项. 8．等差中项如果A＝，那么A叫作a与b的等差中项．9．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．(6) 若{an}是等差数列，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…(k∈N＋) 也是等差数列．10．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．典例剖析题型一  基本量法在等差数列中的运用例1　设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝3，S9－S6＝27，则该数列的首项a1等于________．答案  解析  由得解得a1＝.变式训练  等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是________．答案  48解析  设等差数列{an}的公差为d，由题意可得，解得，则S10－S7＝a8＋a9＋a10＝3a1＋24d＝48.解题要点  在等差数列中，a1，an，d，n，Sn这五个基本量，只要知道其中三个，就可以求出另外两个，即“知三求二”。解题时利用的是方程的思想，即构造基本量有关的方程或方程组求解。题型二  利用等差数列的性质解题例2　(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则__________.(2) 等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为________．答案　(1)35   (2) 2解析　(1)∵，为等差数列，∴为等差数列，∴(a1＋b1)＋(b5＋a5)＝2(a3＋b3)＝42，∴a5＋b5＝42－7＝35.(2) ∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，又∵a4＝7，∴d＝a4－a3＝2.变式训练  (1)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于________． (2) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.答案　(1) 88  (2) 60解析　(1)S11＝＝＝88.(2) ∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，∴S30－30＝10＋2×10＝30，∴S30＝60.解题要点  在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；{}也是等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．题型三  等差数列的前n项和例3　设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.答案  －72解析  设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知，得解得∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.变式训练  在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．解析  (1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝＝2n－n2.由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.解题要点  1. 等差数列前n项和Sn公式为：Sn＝＝na1＋d.在求解前n项和时，应根据题意选取合适的求和公式。2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．题型四  等差数列的前n项和的最值问题例4　在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．解析  ∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.法一：由an＝20＋(n－1)×＝－n＋.得a13＝0.即当n≤12时，an＞0，n≥14时，an＜0.∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.法二：∴Sn＝20n＋·＝－n2＋n＝－2＋.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.解题要点  求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)配方法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)不等式组法：①a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.当堂练习1．(2015重庆理)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝________．答案　0解析　由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0.2．(2015新课标Ⅰ文)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10等于________．答案　解析　∵公差为1，∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.3. 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是________．答案  48解析  设等差数列{an}的公差为d，由题意可得解得则S10－S7＝a8＋a9＋a10＝3a1＋24d＝48.4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－9，a3＋a7＝－6，则当Sn取得最小值时，n＝________．答案 6解析  ∵a3＋a7＝2a5＝－6，∴a5＝－3，∴d＝2，∴a6＝－1，a7＝1，∴S6最小.5．等差数列中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是________．答案  26解析  ∵a3＋a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a10，∴6(a4＋a10)＝24，故a4＋a10＝4.∴S13＝＝＝26.课后作业一、    填空题1． (2015新课标II文)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5等于________．答案　5解析　∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得a3＝1，∴S5＝＝5a3＝5.2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝________．答案  －6解析  由S8＝4a3知：a1＋a8＝a3，a8＝a3－a1＝2d＝a7＋d，所以a7＝d＝－2.所以a9＝a7＋2d＝－2－4＝－6.3．在等差数列中，a2＝2，a10＝15，则a18的值为________．答案  28解析  ∵为等差数列，∴a2＋a18＝2a10，∴a18＝2a10－a2＝28.4．在等差数列{an}中，若a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为________．答案　2解析　∵a1＋a5＝10＝2a3，∴a3＝5.故d＝a4－a3＝7－5＝2.5．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d等于________．答案　2解析　由已知得S3＝3a2＝12，即a2＝4，∴d＝a3－a2＝6－4＝2.6．已知等差数列{an}中，a3＋a4－a5＋a6＝8，则S7＝________．答案  28解析  ∵{an}为等差数列，∴a4＋a6＝2a5，∴a3＋a4－a5＋a6＝a3＋a5＝2a4＝8，∴a4＝4，∴S7＝7a4＝28.7．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为________．答案　8解析　∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16.∴a7－a8＝＝＝8.8．已知等差数列{an}满足a1>0,5a8＝8a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为________．答案  21解析  由5a8＝8a13得5(a1＋7d)＝8(a1＋12d)⇒d＝－a1，由an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)≥0，得n≤＝21，∴数列{an}前21项都是正数，以后各项都是负数，故Sn取最大值时，n的值为21.9．(2015安徽文)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．答案　27解析　由已知数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列．∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.10．(2015广东理)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.答案　10解析　因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.11．(2015陕西理)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．答案　5解析　由题意设首项为a1，则a1＋2 015＝2×1 010＝2 020，∴a1＝5.二、解答题12． (2015四川文)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．  (1)求数列{an}的通项公式；  (2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.解析　(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)，从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.(2)由(1)得＝，所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.13．等差数列{an}满足a3＝3，a6＝－3，求数列{an}的前n项和Sn的最大值.解析  法一　由a3＝3，a6＝－3得，解得∴Sn＝na1＋d＝－n2＋8n＝－(n－4)2＋16.∴当n＝4时Sn有最大值16.法二　由a3＝3，a6＝－3得解得所以an＝9－2n.则n≤4时，an>0，当n≥5时，an<0，故前4项和最大且S4＝4×7＋×(－2)＝16.