艺术生高考数学专题讲义：考点30 数列前n项和与数列的通项

考点三十  数列前n项和与数列的通项

知识梳理

1．数列{an}的前n项和Sn

Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an

2．数列的通项an与前n项和Sn的关系

an＝

3．已知数列的前n项和Sn，求an的方法

(1)第一步，令n=1,求出a1＝S1；

(2)第二步，当n≥2时，求an＝Sn－Sn－1；

(3)第三步，检验a1是否满足n≥2时得出的an，如果适合，则将an用一个式子表示；若不适合，将an用分段形式写出。

4．已知an与Sn的关系式，求an的方法

(1)第一步，令n=1,求出a1＝S1；

(2)第二步，当n≥2时，根据已有an与Sn的关系式，令n＝n＋1(或n＝n－1)，再写出一个an+1与Sn+1(或an－1与Sn－1)的关系式，然后两式相减，利用公式an＝Sn－Sn－1消去Sn，得出an与an+1(或an与an－1)的关系式，从而确定数列{an}是等差数列、等比数列或其他数列，然后求出通项公式。

5．根据an与an+1(或an与an－1)的递推关系求通项公式

当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；

当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；

当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；

当出现＝f(n)时，用累乘法求解．

典例剖析

题型一  已知数列的前n项和Sn求an

例1　已知下面数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求{an}的通项公式

解析  a1＝S1＝2－3＝－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，

由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.

变式训练  已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________________．

答案　an＝

解析　当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]

＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．

故数列的通项公式为an＝

解题要点  数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．

题型二  已知an与Sn的关系式求an

例2　(2013·课标全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.

答案　(－2)n－1

解析　当n＝1时，a1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，故＝－2，故an＝(－2)n－1.

当n＝1时，也符合an＝(－2)n－1.

综上，an＝(－2)n－1.

变式训练  已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，求{an}的通项公式

解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，

∴＝，又由S1＝2a2，得a2＝，且＝ ≠

∴{an}是从第2项开始的等比数列，当n≥2时，an＝

∴an＝

解题要点  已知an与Sn的关系式求an时，需要分析所推出的递推式是对n∈N+成立，还是对n≥2时成立。对于求出的an也需进行检验，看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．

题型三  利用递推式求an

例3　(1)设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝________.

(2)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，则它的一个通项公式为an＝________.

答案　(1)＋1　(2)2×3n－1－1

解析　(1)由题意得，当n≥2时，

an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)

＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1.

又a1＝2＝＋1，符合上式，

因此an＝＋1.

(2)方法一　(待定系数法)

设an＋1＋＝3(an＋)，展开得an＋1＝3an＋2，

与an＋1＝3an＋2比较可知：2，

∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3，因为a1＝1，

所以数列{an＋1}为以a1＋1＝2为首项，3为公比的等比数列，

所以an＋1＋1＝2×3n，即an＋1＝2×3n－1(n≥1)，

所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，

又a1＝1也满足上式，

故数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1.

方法二　(迭代法)

an＋1＝3an＋2，

即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)，

所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，

又a1＝1也满足上式，

故数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1.

变式训练  已知数列{an}中，a1＝1，若an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5的值是________.

答案　31

解析　由题意得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.

解题要点  形如an＋1＝pan＋q(p,q为常数)这类递推数列称为一阶线性递推数列，求解的基本策略是待定系数法，即假设an＋1＋＝p(an＋)，展开与原式an＋1＝pan＋q比较系数后求出参数，然后再转化为等差数列或等比数列求通项。

当堂练习

1．(2015湖南理)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________.

答案　3n－1

解析　由3S1，2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，∴公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.

2．已知数列满足a1＝1，an＋1＝2an＋3(n∈N*)，则a11等于________.

答案  212－3

解析  ∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，

∴是公比为2的等比数列，∴an＋3＝(a1＋3)·2n－1＝2n＋1，

∴an＝2n＋1－3，∴a11＝212－3.

3. 如果数列{an}的前n项和Sn＝an－3，那么这个数列的通项公式是________.

答案  an＝2·3n

4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝________.

答案　()n－1

解析　当n＝1时，S1＝2a2，又因S1＝a1＝1，

所以a2＝，S2＝1＋＝．

5．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为________.

答案　15

解析　a1＝S1＝1，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)．a8＝2×8－1＝15．

课后作业

一、    填空题

1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则a2等于________.

答案  4

解析  ∵Sn＝2an－2，∴S1＝a1＝2a1－2.

即a1＝2，又S2＝a1＋a2＝2a2－2，∴a2＝4.

2．已知数列{an}中a1＝1，an＝an－1＋1(n≥2)，则an＝________.

答案　2－()n－1

解析　设an＋c＝(an－1＋c)，易得c＝－2，所以an－2＝(a1－2)()n－1＝－()n－1．

3．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝________.

答案  3×44

解析  ∵an＋1＝Sn＋1－Sn，n∈N*，∴3Sn＝Sn＋1－Sn，则Sn＋1＝4Sn，又S1＝a1＝1，

∴数列{Sn}是公比为4的等比数列，∴Sn＝1·4n－1＝4n－1，从而a6＝S6－S5＝45－44＝3×44.

4．若数列{an}的前n项和为Sn＝an－3，则这个数列的通项公式an＝________.

答案　2·3n

解析　an＝Sn－Sn－1．

5．数列{an}满足a1＝2，an＝，其前n项积为Tn，则T2 014＝________.

答案  －6

解析  由an＝得an＋1＝，而a1＝2，所以a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，则数列是以4为周期，且a1a2a3a4＝1，所以T2 014＝1503×2×(－3)＝－6．

6．在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，有an＝3an－1＋2，则an＝________.

答案　2·3n－1－1

解析　设an＋t＝3(an－1＋t)，则an＝3an－1＋2t.

∴t＝1，于是an＋1＝3(an－1＋1)．∴{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以3为公比的等比数列．

∴an＝2·3n－1－1.

7．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.

答案　

解析　由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1，将这n－1个等式叠乘，得

＝21＋2＋…＋(n－1)＝，故an＝.

8．已知{an}满足a1＝1，且an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．

答案　an＝

解析　由已知，可得当n≥1时，an＋1＝.

两边取倒数，得＝＝＋3.

即－＝3，所以{}是一个首项为＝1，公差为3的等差数列．

则其通项公式为＝＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×3＝3n－2.

所以数列{an}的通项公式为an＝.

9．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.

答案  (－2)n－1

解析  ∵Sn＝an＋，①∴当n≥2时，Sn－1＝an－1＋.②

①－②，得an＝an－an－1，即＝－2.

∵a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1.

∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2)n－1.

10．在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n＋1，则数列的通项an＝________.

答案  n2

解析  ∵an＋1－an＝2n＋1.

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5＋3＋1＝n2(n≥2)．当n＝1时，也适用an＝n2.

11．已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，则a16＝________.

答案 

解析  由题意知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此数列是以3为周期的周期数列，a16＝a3×5＋1＝a1＝.

二、解答题

12．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)．

(1)求证：数列{an＋1}是等比数列，并写出数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足···…·＝(an＋1)n，求数列{bn}的前n项和Sn.

解析  (1)证明：∵an＋1＝2an＋1，

∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，

∴a1＋1＝2≠0，an＋1≠0，

∴＝2，

∴数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．

∴an＋1＝2n，可得an＝2n－1.

(2)解：∵···…·＝(an＋1)n，

∴，

∴2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)－2n＝n2，

即2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)＝n2＋2n，

∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝n2＋n.

13．设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列．求{an}的通项公式；

解析  依题意，得2Sn＝an＋1－a1.

当n≥2时，有两式相减，得an＋1＝3an(n≥2)．

又因为a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，

所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列．

因此，an＝a1·3n－1(n∈N*)．