艺术生高考数学专题讲义：考点32空间几何体的三视图与直观图

考点三十二  空间几何体的三视图与直观图

知识梳理

1．简单多面体的结构特征

棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边也都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．

棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥．

正棱锥：如果一个棱锥的底面是多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．

棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，在截面和底面之间的部分叫做棱台．

多面体的结构特征：

(1)棱柱

(2)棱锥

(3)棱台　棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分

(4)正棱锥：

(5)正四面体：一个特殊的正三棱锥，它的各个面都是全等的正三角形

2.简单旋转体

(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转得到．

(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转得到．

(3)圆台可以由直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．

(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.

3．三视图及其特征

(1)空间几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

(2)三视图的画法

①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．

②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽.

③看不到的线画虚线，看的到的线画实线．

(3)由三视图换原实物图时，一般从最能反映物体特征的视图出发，然后结合另两个视图进行换原．

4．斜二测画法与物体的直观图

(1)基本几何体的直观图常用斜二测画法，规则是：

①在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；

②已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段；

③已知图形中平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.

(2)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形的面积S之间的关系是S′＝．

典例剖析

题型一  简单几何体的概念

例1　下列结论正确的是________．

①                                                                                                                                  各个面都是三角形的几何体是三棱锥

②                                                                                                                                  以正方形的一条对角线旋转一周围成的几何体叫圆锥

③                                                                                                                                  棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则此棱锥可能是正六棱锥

④                                                                                                                                  圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

答案　④

解析  三棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，选项①错；由正方形的一条对角线旋转一周围成的几何体为两个圆锥形成的一个组合体，选项②错；六棱锥的侧棱长大于底面多边形的边长，选项③错；选项④正确．故选④.

变式训练  下列命题中，正确的是________．

①                                                                                                                                                       有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

②                                                                                                                                                       侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥

③                                                                                                                                                       侧面都是矩形的四棱柱是长方体

④                                                                                                                                                       底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱

答案  ④

解析  对于①，两个侧面是矩形并不能保证侧棱与底面垂直，故①错误；对于②，侧面都是等腰三角形，不能确保此棱锥顶点在底面在底面的射影在底面正多边形的中心上，且也不能保证底面是正多边形，故②错误；对于③，侧面是矩形不能保证底面也是矩形，因而③错误．

解题要点  准确弄懂简单几何体的概念是解题的关键

题型二  简单几何体的三视图

例2　一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是________．

     ①                   ②          ③                  ④

答案　②

解析  该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选②.

变式训练  (1)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是________．

①                                                                                                                              圆柱　　　　　　　 ②圆锥

③四面体   ④三棱柱

(2) 已知一个几何体的三视图如图所示，分析此几何体的组成为________．

①                                                                                                                                 上面为棱台，下面为棱柱

②                                                                                                                                 上面为圆台，下面为棱柱

③                                                                                                                                 上面为圆台，下面为圆柱

④                                                                                                                                 上面为棱台，下面为圆柱

答案　(1)①  (2) ③

解析  (1)由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选①.

(2) 由俯视图可知，该几何体的上面与下面都不可能是棱台或棱柱，故排除选项①、②、④.故选③.

解题要点  1. 注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．

2. 由实物图画三视图或判断、选择三视图，此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则；

3. 由三视图还原实物图，解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉，再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次，要遵循以下三步：①看视图，明关系；②分部分，想整体；③综合起来，定整体．

题型三  空间几何体的直观图

例3　如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是________．

①                                                                                                                                                       等腰三角形

②                                                                                                                                                       直角三角形

③                                                                                                                                                       等腰直角三角形

④                                                                                                                                                       钝角三角形

答案  ①

解析  由斜二测画法知②正确．

变式训练  一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则原梯形的面积为________．

答案  4

解析  设原梯形的面积为S，则＝，∴S＝4.

解题要点  直观图的面积S′与原平面图形的面积S之间的关系是S′＝．

当堂练习

1．有下列四个命题：

①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．

其中真命题的个数是________．

答案  1个

解析  命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．

2．以下关于几何体的三视图的叙述中，正确的是________．

①球的三视图总是三个全等的圆

②正方体的三视图总是三个全等的正方形

③水平放置的正四面体的三视图都是正方形

④水平面放置的圆台的俯视图是一个圆

答案  ①

解析  由于②中的正视方向不明确，故不正确；③中的三视图不全是正方形；④中的俯视图是两个同心圆．故选①.

3. 在棱柱中________．

① 只有两个面平行

②       所有的棱都平行

③       所有的面都是平行四边形

④       两底面平行，且各侧棱也互相平行

答案  ④

解析  由棱柱定义可知④正确．

4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是________．

①                                                                                                                                                                   ②             ③　             ④

答案  ④

解析  由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选④项．

5．一个几何体的三视图均为等腰直角三角形(如图)，则该几何体的直观图为________．

①               ②         ③         ④

答案  ③

解析  ①、②的正视图都应是图(1)，④的侧视图应为图(1)均不符合，故选③．

课后作业

一、    填空题

1．下列说法正确的命题的序号是________．

①圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．

②连接圆柱上、下底面圆周上的两点的线段是圆柱的母线

③在圆台的上下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线．

④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．

答案  ①④

解析  由圆柱、圆锥、圆台的母线的概念知，①④正确，②③错误.

2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是________．

答案  ②④

解析  根据题目要求三视图中有且仅有两个视图相同，其中①的三个视图可以都相同，故可以排除选项①，②，③.选④.

3．如图，网络纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是________．

答案   三棱柱

解析  根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如下图所示．

4．正方体的截平面不可能是：①钝角三角形；②直角三角形；③菱形；④正五边形；⑤正六边形．下述选项正确的是________．

答案　①②④

解析  正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；对四边形来讲，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；从正方体的一个顶点去切可得五边形但不可能是正五边形；过正方体的六个面可截得正六边形；

5．以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．其中，真命题的个数为________．

答案  3

解析  由正棱锥的定义可知所有侧棱相等，故①正确；由于直棱柱的底面的各边不一定相等，故侧面矩形不一定全等，因此②不正确；由圆柱母线的定义可知③正确；结合圆锥轴截面的作法可知④正确．综上，正确的命题有3个．

6．如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图形中△ABC是________．

答案  直角三角形

解析  将斜二测画法逆用，即与坐标系x′O′y′中坐标轴y′轴平行的线与坐标系xOy中坐标轴x轴垂直，且AB＝2A′B′，AC＝A′C′．如图，故为直角三角形．

7．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________．

答案  2＋

解析  由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45°，腰和上底长度均为1，得下底长为1＋，所以原图上、下底分别为1，1＋，高为2的直角梯形．所以面积S＝(1＋＋1)×2＝2＋．

8．水平放置的矩形ABCD长AB＝4，宽BC＝2，以AB，AD为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为________．

答案  2

解析  平行线在斜二测直观图中仍为平行线，

所以四边形A′B′C′D′为平行四边形，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝4，A′D′＝×2＝1，D′E＝1×sin 45°＝，所以四边形A′B′C′D′的面积为4×＝.

9．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个________．

答案  四棱台

10．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，正视图是边长为2的正方形，则其左视图的面积为________．

答案  2

解析  ∵左视图的高与正视图的高相等，故高为2，

左视图的宽与俯视图的宽相等，即为直三棱柱底面△ABC的高，故左视图的宽为，

∴左视图的面积为2×＝2.

11．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为________．

答案  a2

解析  如图①②所示的实际图形和直观图．

由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.

∴S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.

二、解答题

12．如图是一个几何体的正视图和俯视图．

(1)试判断该几何体是什么几何体．

(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．

解析  (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．

 (2)该几何体的侧视图如图：

其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC＝a，

AD是正棱锥的高，则AD＝a，所以该平面图形(侧视图)的面积为S＝×a×a＝a2

13．正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？

解析  如图所示，正四棱锥S－ABCD中，高OS＝，

侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝，在Rt△SOA中，OA＝＝2，

∴AC＝4.∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.

作OE⊥AB于E，则E为AB中点．

连接SE，则SE即为斜高，

在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝，SO＝，

∴SE＝，即斜高为.