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    艺术生高考数学专题讲义:考点40 圆的方程

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    艺术生高考数学专题讲义:考点40 圆的方程

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    这是一份艺术生高考数学专题讲义:考点40 圆的方程,共7页。试卷主要包含了圆的定义等内容,欢迎下载使用。
    考点四十  圆的方程知识梳理1圆的定义在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径.2. 圆的标准方程(1) (ab)为圆心,r (r>0)为半径的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(2) 特殊的,以(00)为圆心,r (r>0)为半径的圆的标准方程为x2y2r23. 圆的一般方程方程x2y2DxEyF0可变形为.(1) D2E24F>0时,方程表示以为圆心,为半径的圆;(2) D2E24F0时,该方程表示一个点(3) D2E24F0时,该方程不表示任何图形.4. 点与圆的位置关系M(x0y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系:(1)点在圆上:(x0a)2(y0b)2r2(2)点在圆外:(x0a)2(y0b)2>r2(3)点在圆内:(x0a)2(y0b)2<r2.5. 解决与圆有关的最值问题的常用方法(1) 形如μ形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(2) 形如taxby形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3) 形如(xa)2(yb)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.典例剖析题型一  求圆的方程1 若圆C经过(1,0)(3,0)两点,且与y轴相切,则圆C的方程为                    答案 (x2)2(y±)24解析  因为圆C经过(1,0)(3,0)两点,所以圆心在直线x2上,又圆与y轴相切,所以半径r2,设圆心坐标为(2b),则(12)2b24b23b±变式训练  (1)圆心在y轴上且经过点(31)的圆与x轴相切,则该圆的方程是               (2) 已知圆C经过A(5,1)B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为______________答案 (1) x2y210y0    (2) (x2)2y210解析  (1)设圆心为(0b),半径为r,则r|b|圆的方程为x2(yb)2b2.(31)在圆上,9(1b)2b2,解得:b5.圆的方程为x2y210y0.(2) 设圆心坐标为(a,0),易知解得a2圆心为(2,0),半径为C的方程为(x2)2y210.解题要点  求圆的方程一般用待定系数法,根据题意,可以选择标准方程或一般方程求解.题型二  点与圆的位置关系2 已知圆的方程是(x2)2(y3)24,则点P(32)满足           答案 在圆内解析 因为(32)2(23)22<4,故点P(32)在圆内.变式训练  P(1,-2)和圆Cx2y2m2xym20的位置关系是________.答案 在圆C外部解析 将点P(1,-2)代入圆的方程,得14m22m22m23>0P在圆C外部.题型三  二次方程表示圆的条件3 方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件的是              答案  m<m>1解析  (4m)244×5m>0,得m<m>1.变式训练  方程2x22y24x8y100表示的图形是           答案  一个点解析  方程2x22y24x8y100,可化为x2y22x4y50(x1)2(y2)20方程2x22y24x8y100表示点(1,-2)解题要点  1.方程x2y2DxEyF0表示圆的条件是D2E24F02.二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件:即方程中不含xy项, x2y2前系数相同,且D2E24AF0题型四  与圆有关的最值问题4 已知实数xy满足方程x2y24x10.求:(1)的最大值和最小值;(2)yx的最小值;(3)x2y2的最大值和最小值.解析 (1)如图,方程x2y24x10表示以点(2,0)为圆心,以为半径的圆.k,即ykx则圆心(2,0)到直线ykx的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值.,解得k23kmaxkmin=-.(也可由平面几何知识,得OC2CPPOC60°,直线OP的倾斜角为60°,直线OP的倾斜角为120°)(2)yxb,则yxb,仅当直线yxb与圆切于第四象限时,截距b取最小值,由点到直线的距离公式,得,即b=-,故(yx)min=-2.(3)x2y2是圆上点与原点的距离的平方,故连接OC,与圆交于B点,并延长交圆于C,则(x2y2)max|OC′|2(2)274(x2y2)min|OB|2(2)274.解题要点 (1)与圆相关的最值,若几何意义明显时,可充分利用几何性质,借助几何直观求解.否则可转化为函数求最值.(2)形如u形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;形如taxby形式的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;形如(xa)2(yb)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.  当堂练习1.圆心在直线2x3y10上的圆与x轴交于A(10)B(30)两点,则圆的方程为                  答案  (x2)2(y1)22解析  所求圆与x轴交于A(10)B(30)两点,故线段AB的垂直平分线x2过所求圆的圆心,又所求圆的圆心在直线2x3y10上,所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标,解之得圆心坐标为(21),进一步可求得半径为,所以圆的标准方程为(x2)2(y1)222已知圆C1(x1)2(y1)21,圆C2与圆C1关于直线xy10对称,则圆C2的方程为                答案  (x2)2(y2)21解析  C1(x1)2(y1)21的圆心为(11).圆C2的圆心设为(ab)C1C2关于直线xy10对称,解得C2的半径为1C2的方程为(x2)2(y2)21.3. 圆心和半径分别                 答案  解析  将圆配方得:,故知圆心为(2,-1),半径为.4若坐标原点在圆(xm)2+(y+m)2=4的内部,则实数m的取值范围是                    答案  解析  原点O在圆(xm)2+(y+m)2=4的内部,(0m)2+(0+m)24,得2m24解得-m,即实数m的取值范围为:-m5方程x2+y2x+y+m=0表示一个圆,则m的取值范围是           答案  m 解析  方程x2+y2x+y+m=0表示一个圆,m0,解得m  课后作业一、    填空1以点A(54)为圆心且与x轴相切的圆的标准方程是             答案  (x+5)2+(y4)2=16解析  所求的圆以点A(54)为圆心,且与x轴相切,所求圆的半径R=4圆的标准方程为(x+5)2+(y4)2=162若一圆的标准方程为,则此圆的的圆心和半径分别为          答案  解析  圆的标准方程为 ,表示圆心为,半径为的圆.3.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x3y0x轴都相切,则该圆的标准方程是               答案  (x2)2(y1)21解析  设圆心坐标为(ab),由题意知a>0,且b1.圆和直线4x3y0相切,1,即|4a3|5a>0a2.所以圆的方程为(x2)2(y1)21.4(2aa1)在圆x2+y22y4=0的内部,则a的取值范围是            答案 a1解析  由题意,4a2+(a1)22(a1)405a24a10,解之得:-a15的圆心坐标是              答案  (2,-3)解析  将方程化为圆的标准方程得,所以圆心是(2,-3).6.圆x2+y2=16上的点到直线xy=3的距离的最大值为             答案  4+解析  圆心即原点到直线的距离,所以直线与圆相交,则圆上的点到直线的最大距离为.7若方程x2+y2x2y+c=0(cR)是一个圆的一般方程,则c的范围是           答案  c解析  化为标准方程为:,由题意得,8.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x3y0x轴都相切,则该圆的标准方程是                    答案  (x2)2(y1)21解析  由已知设所求圆的圆心坐标为:C(ab)(a>0b>0),由已知有:,所以所求圆的方程为:(x2)2(y1)219圆的方程过点和原点,则圆的方程为                    答案  解析  设圆的一般方程为将三点代入得:,解得所以圆的方程为.10方程x2y26x0表示的圆的圆心坐标是________;半径是__________答案  (30)3解析  (x3)2y29,圆心坐标为(30),半径为3.11从直线xy30上的点向圆x2y24x4y70引切线,则切线长的最小值为  答案  解析  把圆的方程化为标准式后,找出圆心坐标和圆的半径,利用图形可知,当圆心A与直线xy30垂直时,过垂足作圆的切线,切线长最短,连接AB,根据圆的切线垂直于过切点的直径可得三角形ABC为直角三角形,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线xy30的距离即为|AC|的长,然后根据半径和|AC|的长,利用勾股定理即可求出此时的切线长.由于圆心(22),半径为1,那么可知圆心到直线的距离为  ,那么利用勾股定理可知切线长的最小值为二、解答题12.求下列各圆的标准方程:(1)圆心在y=x上且过两点(20)(0,-4)(2)圆心在直线2x+y=0上,且与直线x+y1=0切于点(2,-1)解析  (1)设圆心坐标为(),则所求圆的方程为圆心在上,       圆过(20)(0,-4)      ①②③联立方程组,可得.所求圆的方程为.(2)圆与直线相切,并切于点M(2,-1),则圆心必在过点M(2,-1)且垂直于的直线上,,即圆心为C(1,-2)=所求圆的方程为:13求经过三点A(1,-1)B(80)C(06)的圆的方程,并指出这个圆的半径和圆心坐标.解析  设所求圆的方程为 A(1,-1)B(80)C(06)的坐标满足上述方程,分别代入方程,可得           解得:D=8E=6F=0 .        于是得所求圆的方程为: ,      圆的半径r=   ,圆心坐标是.

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