艺术生高考数学专题讲义：考点42 椭圆

考点四十二  椭圆

知识梳理

1．椭圆的概念

把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．

椭圆定义用集合语言表示如下：

P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．

在椭圆定义中，特别强调到两定点的距离之和要大于|F1F2|．当到两定点的距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当到两定点的距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．

2．椭圆的标准方程和几何性质

说明：当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax2＋By2＝1的形式，其中A，B是不相等的正常数，或设成＋＝1(m2≠n2)的形式．

3．点P(x0，y0)和椭圆的关系

(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1.

(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.

(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.

3．椭圆的焦点三角形有关结论

椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形，与之有关的常用结论有：

(1)|PF1|＋|PF2|＝2a；

(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos θ；(其中，θ＝∠F1PF2)

(3)当P为短轴端点时，θ最大．

(4)S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin θ＝·b2＝b2tan ＝c·|y0|.

当y0＝±b，即P为短轴端点时，S△PF1F2有最大值为bc.

(5)焦点三角形的周长为2(a＋c)．

4．椭圆中的弦长公式

(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|AB|＝|x1－x2|＝ |y1－y2|.

(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a.

5．椭圆中点弦有关的结论

AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．

(1)斜率：k＝－.

(2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－.

典例剖析

题型一  椭圆的定义和标准方程

例1　(1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是________．

 (2) 设P是椭圆＋＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则△PF1F2的周长为________．

答案　(1) ＋＝1    (2) 16

解析　(1)由题意知c＝1，e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆方程为＋＝1.

(2) △PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋6＝16.

变式训练  已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，

P2(－，－)，则椭圆的方程为________．

答案　＋＝1

解析  设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．

∵椭圆经过P1，P2两点，∴P1，P2点坐标适合椭圆方程，

则

①②两式联立，解得∴所求椭圆方程为＋＝1.

解题要点  1.求解椭圆标准方程一般用待定系数法，如果能确定焦点位置，则设标准方程为

＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，若焦点位置不明确，可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．

2.若P是椭圆上一点，则由椭圆定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a，从而△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c．

题型二  二次方程表示椭圆的条件

例2　“2<m<6”是“方程＋＝1表示椭圆”的________条件

答案　必要不充分条件

解析　若＋＝1表示椭圆．则有

∴2<m<6且m≠4.

故“2<m<6”是“＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．

变式训练  若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．

答案  (3，4)∪(4，5)

解析  由已知得，解得3<k<5且k≠4.

解题要点  关于x,y的二次方程表示Ax2＋By2＝1表示椭圆，则需系数满足．

题型三  椭圆的几何性质

例3　已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．

答案　－1

解析　设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A，则|AF1|＝c，|AF2|＝c，有2a＝(1＋)c，

∴e＝＝＝－1.

变式训练  椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．

答案　－或21

解析　若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，

由＝，即＝，得k＝－；

若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，

由＝，即＝，解得k＝21.

解题要点  椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方法：

(1)求出a，c代入公式e＝；

(2)只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

需要注意的是，若焦点位置未指明在x轴还是y轴，则应进行讨论．

题型四  直线与椭圆的位置关系

例4　过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．

答案  

解析  由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.

联立，解得交点A(0，－2)，B(，)，

∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×|－2－|＝.

变式训练  已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为________．

答案  －

解析  设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，两式相减，

得＋＝0，

∴＝－，∴k＝＝－.

说明：本题也可以直接利用结论：k＝－＝－＝－.

解题要点  直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般可以直接联立方程，“设而不求”，把方程组转化成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解．同时，还应记住一些常用结论：(1)中点弦斜率：k＝－.；(2)最短的焦点弦为通径长，最长为2a.

(3)弦长公式|AB|＝|x1－x2|＝ |y1－y2|.

当堂练习

1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为________．

答案  ＋＝1

解析  由e＝，得＝①.又△AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，代入①得c＝1，

∴b2＝a2－c2＝2，故C的方程为＋＝1.

2．(2015新课标Ⅰ文)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|等于________．

答案　6 

解析　因为e＝＝，y2＝8x的焦点为(2,0)，所以c＝2，a＝4，故椭圆方程为＋＝1，将x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3，所以|AB|＝6.

3. 椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于__________．

答案  －1

解析  ∵直线y＝(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为60°，

∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，

∴∠F1MF2＝90°，即F1M⊥F2M.

∵|MF1|＝c，|MF1|＋|MF2|＝2a，∴|MF2|＝2a－c.

∵|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2.∴c2＋(2a－c)2＝4c2，即c2＋2ac－2a2＝0.

∴e2＋2e－2＝0，解得e＝－1.

4．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为________．

答案  

解析  将原方程变形为x2＋＝1，由题意知a2＝，b2＝1，

∴a＝，b＝1.∴＝2，∴m＝.

5．已知△ABC中，A、B的坐标分别为(2,0)和(－2,0)，若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是________．

答案  ＋＝1(y≠0)

解析  点C到两个定点A、B的距离之和为6,6>4，故所求点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其中2a＝6,2c＝4，则b2＝5.所以顶点C的轨迹方程为＋＝1，

又A、B、C三点不共线，即y≠0.

课后作业

一、    填空题

1． (2015广东文)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m等于________．

答案　3

解析　由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.

2．过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为________．

答案  ＋＝1

解析  由题意得c2＝9－4＝5，又已知椭圆的焦点在x轴上，

故所求椭圆方程可设为＋＝1(λ＞0)，代入点A的坐标得＋＝1，

解得λ＝10或λ＝－2(舍去)．故所求椭圆的方程为＋＝1.

3．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈(，1)，则实数k的取值范围是________．

答案  (0,3)∪(，＋∞)

解析  当k>4时，c＝，由条件知<<1，解得k>；

当0<k<4时，c＝，由条件知<<1，解得0<k<3.

4．椭圆＋＝1的焦距等于2，则m的值为________．

答案  5或3

解析  当m＞4时，m－4＝1，m＝5；当m＜4时，4－m＝1，m＝3.

5．若椭圆＋＝1过点(－2，)，则其焦距为________．

答案　4

解析　∵椭圆过(－2，)，则有＋＝1，b2＝4，c2＝16－4＝12，c＝2，2c＝4.

6．已知斜率为－的直线l交椭圆C：＋＝1(a>b>0)于A，B两点，若点P(2,1)是AB的中点，则C的离心率等于________．

答案　

解析　kAB＝－，kOP＝，由kAB·kOP＝－，得×(－)＝－.∴＝.

∴e＝＝＝.

7．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．

答案　

解析　设PF1的中点为M，连接PF2，由于O为F1F2的中点，则OM为△PF1F2的中位线，所以OM∥PF2.

所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.

由于∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|.

由勾股定理，得

|F1F2|＝＝|PF2|.

由椭圆定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|⇒a＝，2c＝|F1F2|＝|PF2|⇒c＝.

所以椭圆的离心率为e＝＝·＝.

8．(2015福建文)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是________．

答案　

解析　左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．

∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.

设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.

离心率e＝＝＝＝∈.

9．椭圆＋y2＝1的弦被点(，)平分，则这条弦所在的直线方程是________．

答案  2x＋4y－3＝0

解析  设该弦与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由点(，)平分弦AB可得x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，再将点A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程后作差可得kAB＝－，然后根据点斜式方程可求得直线AB的方程为2x＋4y－3＝0.

10．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．

答案  4

解析  如图，

设椭圆的另外一个焦点为F，

则△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4a＝4.

11．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点距离为________．

答案  4

解析  ∵|OM|＝3，∴|PF2|＝6，又|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝4.

二、解答题

12． (2015安徽文)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.

(1)求E的离心率e；

(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.

解析   (1)解　由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝.

进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.

(2)证明　由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝，

又＝(－a，b)，

从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．

由(1)的计算结果可知a2＝5b2，

所以·＝0，故MN⊥AB.

13．(2015北京文节选)已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；

解析　(1)椭圆C的标准方程为＋y2＝1，所以a＝，b＝1，c＝.

所以椭圆C的离心率e＝＝.

(2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，－y1)，

直线AE的方程为y－1＝(1－y1)(x－2)，

令x＝3，得M(3,2－y1)，所以直线BM的斜率kBM＝＝1.