艺术生高考数学专题讲义：考点49 古典概型

考点四十九  古典概型

知识梳理

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件都是互斥的．

(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．

2．古典概型

具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典的概率模型，简称古典概型．

(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果．

(2)每一个试验结果出现的可能性相等．

3．古典概型的概率公式

P(A)＝＝.

典例剖析

题型一  简单古典概型的求法

例1　（2015新课标Ⅰ文）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________．

答案　

解析　从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.

变式训练  (2014·高考天津卷)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．

(1)用表中字母列举出所有可能的结果；

(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率.

解析　(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．

(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．

因此，事件M发生的概率P(M)＝＝.

解题要点  求古典概型概率的基本步骤：

(1)算出所有基本事件的个数n.

(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.

(3)代入公式P(A)＝，求出P(A)．

题型二  较复杂古典概型的概率

例2　（2015山东文）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)

(1) 从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．

解析　(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，

故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15人，

所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.

(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：

{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，

{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，

{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，

共15个．

根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，

事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．

因此，A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.

变式训练  （2015天津文）(本小题满分13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．

(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；

(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．

①用所给编号列出所有可能的结果；

②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．

解析　(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.

(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．

②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．

因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.

解题要点  求较复杂事件的概率问题的方法：

(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．

(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解．

当堂练习

1．从1，2，3，4，5中随机抽三个不同的数，则其和为奇数的概率为________．

答案 

解析  从1，2，3，4，5中随机抽三个不同的数共有(1，2，3)、(1，2，4)、(1，2，5)、(1，3，4)、(1，3，5)、(1，4，5)、(2，3，4)、(2，3，5)、(2，4，5)、(3，4，5)共10种情况，其中(1，2，4)、(1，3，5)、(2，3，4)、(2，4，5)中三个数字和为奇数，所以概率为.

2．一枚硬币连掷两次，只有一次出现正面的概率为________．

答案 

解析  一枚硬币连掷两次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，其中只有一次出现正面的概率为P＝＝.

3. 从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是________．

答案 

解析  从1,2,3,4中任取2个不同的数，共有的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共有6种不同的情形，其中2个数之差的绝对值为2的情形有(1,3)，(2,4)共两种不同的情形，其概率P＝＝.

4．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．

答案 

解析  五人录用三人共有10种不同方式，分别为：{丙，丁，戊}，{乙，丁，戊}，{乙，丙，戊}，{乙，丙，丁}，{甲，丁，戊}，{甲，丙，戊}，{甲， 丙，丁}，{甲，乙，戊}，{甲，乙，丁}，{甲，乙，丙}．其中含甲或乙的情况有9种.

5．（2015江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．

答案　

解析　这两只球颜色相同的概率为，故两只球颜色不同的概率为1－＝.

课后作业

一、    填空题

1． （2015广东文）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________．

答案　0.6

解析　5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10种．恰有一件次品的结果有6种，则其概率为p＝＝0.6.

2．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是________．

答案 

解析  基本事件为：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，黑3)，(黑2，红1)，(黑2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，(红1，红2)共10个结果．同色球为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)共4个结果，∴P＝.

3．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是________．

答案 

解析  从A、B中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2,2)，(3,1)，故所求概率为＝.

4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．

答案　

解析　基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b>a的有3种，所以b>a的概率为＝.

5．袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是________．

答案　

解析　该试验中会出现(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共6种等可能的结果，事件“至少摸出1个黑球”所含有的基本事件为(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共5种，据古典概型概率公式，得事件“至少摸出1个黑球”的概率是.

6．(2014年广东卷)从字母a，b，c，d，e中任取两个不同的字母，则取到字母a的概率为________．

答案 

解析  从a，b，c，d，e中任取两个，共有如下10种不同的情形：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，其中取到a的有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，共有4种不同的情形，其概率P＝＝.

7．一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x＋y＝8上的概率为________．

答案 

解析  依题意，以(x，y)为坐标的点有6×6＝36个，其中落在直线2x＋y＝8上的点有(1,6)，(2,4)，(3,2)共3个．故所求事件的概率P＝＝.

8．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．

答案 

解析  两人玩游戏，共有6×6＝36种不同的情形，其中满足|a－b|≤1的情形有：若a＝1，b＝1,2；若a＝2，b＝1,2,3；若a＝3，b＝2,3,4；若a＝4，b＝3,4,5；若a＝5，b＝4,5,6；若a＝6，则b＝5,6.共有16种不同的情形，∴他们“心有灵犀”的概率为P＝＝.

9．(2014年全国卷Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．

答案 

解析  记2本数学书分别记为1,2,1本语文书记为3，将其排成一行，共有如下6种不同的情形(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)．其中2本数学书相邻的有(1,2,3)，(2,1,3)，(3,1,2)，(3,2,1)共4种不同的情形，∴其概率P＝＝.

10．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．

答案 

解析  三人站成一排，有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共6种，其中甲乙相邻的有4种，故所求概率为P＝＝.

11．有一质地均匀的正四面体，它的四个面上分别有1,2,3,4四个数字，现将它连续抛掷3次，其底面落于桌面，记三次在正四面体底面的数字和为S，则“S恰好为4”的概率为__________．

答案 

解析  本题是一道古典概型问题．用有序实数对(a，b，c)来记连续抛掷3次得到的数字，总事件中含4×4×4＝64个基本事件，取S＝a＋b＋c，事件“S恰好为4”中包含了(1,1,2)，(1,2,1)，(2,1,1)三个基本事件，则P(S恰好为4)＝＝.

二、解答题

12． （2015湖南文）(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1、b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．

(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；

(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．

解析  (1)所有可能结果为：(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)；(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)共计12种结果．

(2)设“中奖”为事件A，则P(A)＝＝，P()＝1－＝，P(A)＜P()，故此种说法不正确．

13．（2015安徽文）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．

解析  (1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.

(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4.

所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.

(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；

受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2，

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P＝.