2023高考数学艺体生一轮复习 专题08 幂函数与二次函数（原卷版）

这是一份2023高考数学艺体生一轮复习 专题08 幂函数与二次函数（原卷版），共14页。
专题08 幂函数与二次函数 【题型归纳目录】题型一：幂函数的定义及其图像题型二：幂函数性质的综合应用题型三：二次方程的实根分布及条件题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题【考点预测】1、幂函数的定义一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数．2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①的系数为1；  ②的底数是自变量； ③指数为常数．（3）幂函数的图象和性质3、常见的幂函数图像及性质：函数图象定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在上单调递增在上单调递减，在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点4、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：；（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程．（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标．5、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为．（1）单调性与最值①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；．（2）与轴相交的弦长当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，．6、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处．对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．【方法技巧与总结】1、幂函数在第一象限内图象的画法如下：①当时，其图象可类似画出；②当时，其图象可类似画出；③当时，其图象可类似画出．2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根（2）方程有两个不等负根（3）方程有一正根和一负根，设两根为3、一元二次方程的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示．根的分布图像限定条件   在区间内没有实根 在区间内有且只有一个实根在区间内有两个不等实根4、有关二次函数的问题，关键是利用图像．（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴．即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论．（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负．【典例例题】题型一：幂函数的定义及其图像【方法技巧与总结】确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负．当时，底数是非零的．例1．（2023·全国·高三专题练习）已知为幂函数， 且， 则（    ）A． B． C． D． 例2．（2023·全国·高三专题练习）当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（   ）A． B．C．或 D． 例3．（2023·全国·高三专题练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（    ）A． B．0或2 C．0 D．2 变式2．（2023·全国·高三专题练习）幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________. 题型二：幂函数性质的综合应用【方法技巧与总结】紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数．例4．（2023·全国·高三专题练习）设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（    ）A．或 B．或 C．或 D．、或 例5．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域与值域均为R的是（    ）A． B． C． D． 例6．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像过点，则 的值域是（   ）A． B．C． D． 变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像关于y轴对称．(1)求的解析式；(2)求函数在上的值域．    变式4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列结论中正确的是（    ）A．幂函数的图像都经过点，B．幂函数的图像不经过第四象限C．当指数取1，3，时，幂函数是增函数D．当时，幂函数在其整个定义域上是减函数 变式5．（2023·上海·高三专题练习）已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则取值的集合是______． 变式6．（2023·全国·高三专题练习）函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值：①恒大于0；②恒小于0；③等于0；④无法判断．上述结论正确的是__（填序号）． 变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则_______． 题型三：二次方程的实根分布及条件【方法技巧与总结】结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围．例7．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______． 例8．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______． 例9．（2023·全国·高三专题练习）已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________． 变式8．（2023春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____． 变式9．（2023春·上海宝山·高三上海市行知中学校考阶段练习）已知关于的方程有两个实数根，且一根小于，一根大于，则实数的取值范围为______． 变式10．（2023·上海·高三专题练习）当_________.时，方程只有正根. 题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题【方法技巧与总结】“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果．例10．（2023春·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知函数(1)若函数在上单调，求的取值范围：(2)是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．    例11．（2023春·上海杨浦·高三统考期中）已知函数(1)若关于x的不等式的解集为，求实数a和b的值；(2)若函数在上的最大值为2，求实数a的值．    例12．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知幂函数是偶函数．(1)求函数的解析式；(2)函数，，若的最大值为15，求实数a的值．    变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若，求在上的最大值和最小值；(2)若在为单调函数，求的值；(3)在区间上的最大值为4，求实数的值．    变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)当时，写出函数的单调区间和值域（不用写过程）；(2)求的最小值的表达式．    变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足且，．(1)求的解析式．(2)设函数，．(ⅰ)若在上具有单调性，求的取值范围；(ⅱ)讨论在上的最小值．    【过关测试】一、单选题1．（2023·甘肃平凉·静宁县第一中学校考一模）关于x方程在内恰有一解，则（    ）A． B． C． D．2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考开学考试）关于的方程的两根都大于2，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．3．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）若方程的两实根中一个小于，另一个大于2，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在x（0，+∞）上是减函数，则m＝（    ）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．15．（2023·全国·高三专题练习）幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为（    ）A． B． C． D．和6．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象经过点，则的值等于（    ）A． B．4 C．8 D．7．（2023·全国·高三专题练习）“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（    ）A．3 B．2 C．1 D．1或2二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论中错误的是（    ）A．的值域为 B．的图象与直线有两个交点C．是单调函数 D．是偶函数10．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的有（    ）A．函数是偶函数 B．函数是增函数C．当时， D．当时，三、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）（1）函数的定义域是________，值域是________；（2）函数的定义域是________，值域是________；（3）函数的定义域是________，值域是________；（4）函数的定义域是________，值域是________．12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是幂函数，则的值为_____．13．（2023·全国·高三专题练习）若幂函数的图像关于y轴对称，则实数______．14．（2023·全国·高三专题练习）写出一个在区间上单调递减的幂函数__________.15．（2023·全国·高三专题练习）写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．①；②当时，；③；16．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．17．（2023·全国·高三专题练习）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是________.18．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象如图所示，则______．（写出一个正确结果即可）19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为______．四、解答题20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若，求不等式的解集；(2)已知在上单调递增，求的取值范围；(3)求在上的最小值.    21．（2023·全国·高三专题练习）若函数y=f(x)=x2-6x+10在区间[0，a]上的最小值是2，求实数a的值.    22．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递增，函数.(1)求的值；(2)当时，记的值域分别为集合，若，求实数的取值范围.    23．（2023春·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考期中）已知幂函数在上是减函数，．(1)求的解析式；(2)若， 求的取值范围．    24．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）已知幂函数在上是减函数.(1)求的解析式；(2)若，求的取值范围.