2023高考数学艺体生一轮复习 专题09 指数与指数函数（解析版）

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专题09 指数与指数函数 【题型归纳目录】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式题型二：指数函数的图像及性质题型三：指数函数中的恒成立问题题型四：指数函数的综合问题【考点预测】1、指数及指数运算（1）根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．（2）根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数．（3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘．（4）有理数指数幂的分类①正整数指数幂；②零指数幂；③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．（5）有理数指数幂的性质①，，；②，，；③，，；④，，．2、指数函数    图象  性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数  【方法技巧与总结】1、指数函数常用技巧（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．（2）当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．（3）指数函数与的图象关于轴对称．【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.例1．（2023·全国·高三专题练习）下列计算正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】A、，故A错误；B、，故B错误；C、，故C错误；D、，故D正确.故选：D例2．（2023·全国·高三专题练习）化简的结果为（     ）A．－ B．－C．－ D．－6ab【答案】C【解析】原式＝.故选：C.例3．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由，所以A正确；由，所以B正确；由，因为，，所以，所以C错误；由，所以D正确．故选：ABD．变式1．（2023·全国·高三专题练习）(a>0，b>0)＝________.【答案】【解析】原式＝＝.故答案为：变式2．（1991·全国·高考真题）不等式的解集是___________.【答案】【解析】，则，整理得，解得.故答案为：.变式3．不等式的解集是___________.【答案】【解析】．故答案为：．变式4．（2023春·山西运城·高三校考阶段练习）的解集为________.【答案】【解析】由得：，解得：，即的解集为.故答案为：.题型二：指数函数的图像及性质【方法技巧与总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.例4．（2023·全国·高三专题练习）函数(a>0且a≠1)的图象可能为（    ）A．B．C． D．【答案】C【解析】当时，，显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，函数图象的渐近线为，而，故AB不符合；对于CD，因为渐近线为，故，故时，，故选项C符合，D不符合；当时，，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为，而，故ABD不符合；故选：C例5．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项；分析可知：函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确.故选：D例6．（2023·广东·高三统考学业考试）函数（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（　　）A．（0，－3） B．（0，－2）C．（1，－3） D．（1，－2）【答案】D【解析】令x－1＝0，则x＝1，此时，y＝a0－3＝－2，∴图象过定点（1，－2）．故选：D．变式5．（2023·全国·高三专题练习）若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以当，即时，函数值为定值0，所以点P坐标为.另因为可以由向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由过定点，所以过定点.故选：B变式6．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域与值域均为R的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】A. 函数的定义域为，值域为R；B. 函数的定义域为R，值域为；C. 函数的定义域为R，值域为R；D. 函数的定义域为，值域为，故选：C变式7．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，值域为的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数的值域为，，故排除；函数的值域为，故排除；函数的值域为，故满足条件；函数的值域为，，故排除，故选：．变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据指数函数性质知，解得．故选：C．变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（    ）A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减【答案】B【解析】定义域为，且，所以为奇函数，又与在定义域上单调递增，所以在上单调递增；故选：B变式10．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵函数在上单调递减，∴，解得，实数的取值范围是.故选：A.变式11．（2023·全国·高三专题练习）指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为指数函数在R上单调递减，所以，得，所以实数a的取值范围是，故选：D变式12．（2023·全国·高三专题练习）设函数则满足的实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】①当时，，此时，不合题意；②当时，，可化为，所以，解得．综上，实数的取值范围是．故选：B．题型三：指数函数中的恒成立问题【方法技巧与总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．例7．（2023·全国·高三专题练习）若函数，在上恒成立，则的取值范围是________．【答案】【解析】因为恒成立，所以在上恒成立；设，则，，因为时，，所以.例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是奇函数.(1)求a的值并判断函数的单调性（不需要证明）；(2)若对任意的实数t，不等式恒成立，求实数k的取值范围.【解析】（1）因为函数是奇函数，定义域为R，所以，令，有，即，经检验符合题意，所以，又因为函数在R上递增，函数在R上递减，所以函数是R上的增函数．（2）不等式可化为，由函数是R上的增函数，所以，即，而，所以，故实数k的取值范围为．例9．（2023春·山西长治·高三校考阶段练习）已知定义在上的函数是奇函数．(1)求实数；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】(1)∵是定义域为的奇函数，∴，∴，则．，满足，所以成立.(2)中，函数单调递减，单调递增，故在上单调递增．原不等式化为，∴即恒成立，∴，解得．变式13．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，又恒成立，即恒成立，因为在上单调递减，所以，所以，即；故选：B题型四：指数函数的综合问题 例10．（2023·全国·高三专题练习）设函数且是定义域为的奇函数；（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；（2）若，且，求在上的最小值．【解析】（1）因为函数且是定义域为的奇函数，可得，从而得，即当时，函数，满足，所以，由，可得且，解得，所以是增函数，又由，可得，所以，解得，即不等式的解集是．（2）由（1）知，，因为，即，解得，故，令，则在上是增函数，故，即，此时函数的对称轴为，且开口向上，所以当，函数取得最小值，最小值为，即函数的最小值为．例11．（2023春·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）已知指数函数，当时，有，若不等式  解集为，函数的值域为B．(1)求集合；(2)当时，求的取值范围．【解析】（1）根据题意，指数函数，当时，有，可得，所以，函数为上的减函数，由可得，解得，故.（2），故，因为，则，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.例12．（2023春·山西太原·高三校考期中）已知是偶函数．(1)求实数k的值；(2)求不等式的解集．【解析】（1）由题意，，则，解得.（2）由（1）可知，则，整理为，，，，，，解得，即. 【过关测试】一、单选题1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）当时，函数与函数在同一坐标系内的图象可能是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，是减函数，排除CD，，，是增函数，又排除B，故选：A．2．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）“”是“”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为指数函数单调递增，由可得：，充分性成立，当时，，但不一定，必要性不成立，故选：A3．（2023·全国·高三专题练习）下图中的函数图象所对应的解析式可能是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据图象可知，函数关于对称，且当时，，故排除B、D两项；当时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C项，当时，单调递减，故排除C项.故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则=（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】由题意，函数，因为，可得，解得，即，所以.故选：B.5．（2023·全国·高三专题练习）若函数满足，且当时，，则（    ）A． B．10 C．4 D．2【答案】B【解析】由，得，∴函数是周期函数，且4是它的一个周期，又当时，，∴；故选：B.6．（2023·全国·高三专题练习）不等式成立是不等式成立的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式，得，解不等式，得，又，所以不等式成立是不等式成立的必要不充分条件.故选：B.7．（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【解析】令，则方程可化为，甲写错了常数b，所以和是方程的两根，所以，乙写错了常数c，所以1和2是方程的两根，所以，则可得方程，解得，所以原方程的根是或故选：D8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，即，函数单调递增，所以，解得．故选：B9．（2023·全国·高三专题练习）函数在的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数是单调递增函数，所以函数也是单调递增函数，所以.故选：C10．（2023·全国·高三专题练习）已知指数函数（，且），且，则的取值范围（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】由指数函数（，且），且根据指数函数单调性可知所以，故选：A11．（2023·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数,则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】二次函数的开口向上，对称轴为，左减右增，所以且在上递减.故，解得，所以实数的取值范围是.故选：B12．（2023春·四川德阳·高三校考期中）世界人口在过去​年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（    ）（参考数据​，​）A．​ B．​ C．​ D．​【答案】A【解析】设40年前人口数为，则现在人口数为，假设每年的增长率为，则经过40年增长人口数为​，即，​， ​，​， ​.故选::A.二、多选题13．（2023·全国·高三专题练习）下列函数是指数函数的有（     ）A． B． C． D．【答案】BC【解析】对于A，函数不是指数函数，对于B，函数是指数函数；对于C，函数是指数函数；对于D，函数不是指数函数.故选：BC.14．（2023·全国·高三专题练习）关于函数的结论正确的是（    ）A．值域是 B．单调增区间是C．值域是 D．单调减区间是【答案】AB【解析】令，则，又为增函数，所以，所以函数的值域为，故A正确，C错误；因为在上单调递增，为增函数，所以函数的单调增区间是，故选：AB15．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】CD【解析】命题意图本题考查不等式的性质.∵，∴，∴，A错误；，B错误；，C正确，，D正确． 故选：CD.三、填空题16．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递减，则k的取值范围为____________．【答案】【解析】因为函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示：由图象知，其在上单调递减，所以k的取值范围是．故答案为：17．（2023·全国·高三专题练习）若函数为指数函数，则a＝________.【答案】2【解析】因为函数为指数函数，所以，解得a＝2.故答案为：218．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则不等式的解集为________.【答案】【解析】当时，则不等式可转化为或解得或，所以，则不等式的解集为,故答案为：.19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】当时，，当时，，因为函数的值域为，所以，解得：.故答案为：20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则______．【答案】4043【解析】由题意，函数，可得，设，则两式相加，可得，所以.故答案为：.21．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，满足“”的单调递增函数是________. （填序号）①；②；③；④f（x）＝3x【答案】④【解析】①，，，不满足.②，，，不满足.③，是上的减函数，不符合题意.④，，，且在上递增，符合题意.故答案为：④四、解答题22．（2023·全国·高三专题练习）化简：（1） （2）(a>0，b>0).（3）.【解析】（1）原式 （2）原式＝.（3）原式.23．（2023·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）原式 ；（2）原式；（3）原式；（4）原式.24．（2023·全国·高三专题练习）已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，求实数a的取值范围．【解析】①当0<a<1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象如图1．若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(0<a<1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，所以0<a<．②当a>1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象如图2．若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，此时无解．所以实数a的取值范围是．25．（2023春·天津武清·高三校考阶段练习）已知函数是定义域在R上的奇函数，当时，.(1)求在上的解析式；(2)若，求a的取值范围.【解析】（1）因为函数是定义域在R上的奇函数，所以，则.当时，，所以，则，所以在上的解析式为（2）当时，，则在上单调递增，又函数为奇函数，所以在R上单调递增，因为，所以，所以，解得，即a的取值范围是26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，(1)当时，求函数在的值域(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围．【解析】（1）∵，，令，∵，∴，∴，，而对称轴，开口向上，∴当时，当时，∴的值域是.（2）方程有解，即有解，即有解，∴有解，令，则，∴.27．（2023春·黑龙江鸡西·高三校考开学考试）已知函数是指数函数.(1)求实数的值；(2)解不等式【解析】（1）由题可知解得（2）由（1）得∵在上单调递增，∴，解得，故原不等式的解集为