2023高考数学艺体生一轮复习 专题17 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题（解析版）

专题17 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题

【考点预测】

一、证明不等式常用的方法和思路

作差构造函数，转化为最值问题

二、不等式恒成立问题常用的方法和思路

(1)直接法

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

三、零点问题常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

【题型归纳目录】

题型一：证明不等式

题型二：恒成立问题

题型三：零点问题

【典例例题】

题型一：证明不等式

1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）证明：当时，．

【解析】由题设，要证，只需证即可，

令，则，

∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；

故，即在上恒成立，

∴，得证．

2．（2023春·广东广州·高二校考阶段练习）求证：．

【解析】证明：令，则

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增

则在时求得最小值，

即在上恒成立，即在上恒成立

3．（2023·全国·高三专题练习）讨论函数的单调性，并证明当时，.

【解析】由已知得， .

因为，所以.

因为当时，，所以在上单调递增;

所以当时，，即.

题型二：恒成立问题

4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中.

(1)求函数的单调区间；

(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.

【解析】（1）函数的定义域为

①当时，令，可得，此时函数的增区间为，减区间为

②当时，令，可得，此时函数的增区间为，减区间为

综上所述：当时，函数的增区间为，减区间为；当时，函数的增区间为，减区间为

（2）在恒成立，则在恒成立

即在恒成立

令

令，，

，，则在上恒成立

在上单调递增，

在单调递增，

在恒成立，则

的范围是.

5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.

【解析】（1）当时，，

∴，，

∴切线方程为，

即

（2）∵，

∴原条件等价于：在上，恒成立.

化为

令，

则

令，则

在上，，

∴在上，

故在上，；在上，

∴的最小值为，∴

6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.

(1)求的图象在处的切线方程；

(2)当时，恒成立，求的取值范围.

【解析】（1）函数，切点为，

，∴，

∴的图象在处的切线方程为：，即.

（2）令，.

，设，，

∵，∴，在上单调递增，

即在上单调递增，，

当时，，∴在上单调递增，

∴，

∴当时，恒成立.

当时，，

∵函数在上存在唯一的零点，

∴函数在区间上单调递减，，不符合题意，舍去.

综上可得：的取值范围是.

题型三：零点问题

7．（2023·四川·高三统考）已知a，b为实数，是定义在R上的奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)证明：函数有唯一零点．

【解析】（1）因函数是定义在R上的奇函数，则，，

因此，恒成立，所以.

（2）由（1）知，，，在上单调递增，则函数至多有一个零点，

又，所以函数有唯一零点．

8．（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数.

(1)设，求在区间上的最值；

(2)讨论的零点个数.

【解析】（1）因为，

所以在区间上单调递减，

所以当时，取最大值；

当时，取最小值.

（2）先讨论在上的零点个数，

由（1）可知，在上递减，，

所以在上递减，因为，

所以在上有唯一零点，

又因为，

所以是偶函数，所以在上有两个零点.

9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数

(1)讨论函数在区间内的单调性；

(2)若函数在区间 内无零点，求的取值范围．

【解析】(1)，

（Ⅰ）当，即时，

，在单调递减

（Ⅱ）当，即时，

，在单调递增

（Ⅲ）当，即时，当时， ，单调递增；

当时，，单调递减

综上所述，（Ⅰ）当时，在单调递减

（Ⅱ）当时，在单调递增

（Ⅲ）当时，在单调递增，在单调递减

(2)由（1）知：当时，

即 ，在无零点

当时，

即，在无零点

当时，在单调递增，在单调递减

，

只需 即可

即 ，

综上所述，

【过关测试】

一、单选题

1．（2023·北京石景山·高一统考期末）已知函数，则的零点个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】的定义域为，

由题意可得，

因为单调递增且当时，当时，

所以存在唯一一点使得，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以至多有两个零点，

又因为，，所以有2个零点，

故选：C

2．（2023·山东潍坊·高三统考期中）函数与的图像有且只有一个公共点，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C．或 D．或或

【答案】C

【解析】∵过定点，且在上，

又∵，则，

∴在处的切线斜率为，

结合图象可得：

当时，与的图像有且只有一个公共点，则符合题意；

当时，与的图像有两个公共点，则不符合题意；

当时，与的图像有且只有一个公共点，则符合题意；

当时，与的图像有两个公共点，则不符合题意；

综上所述：实数的取值范围为或.

故选：C.

3．（2023·全国·高三对口高考）设函数，则（    ）

A．在区间，内均有零点

B．在区间，内均无零点

C．在区间内有零点，在区间内无零点

D．在区间内无零点，在区间内有零点

【答案】D

【解析】由题得，令解得；

令解得；

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

在点处有极小值；

又，，，

即，，

所以在区间内无零点，在区间内有零点.

故选：D．

4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】在恒成立.

当，记， 所以在单调递增，， 故

故，所以 ，

故选：C

5．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式，对恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为不等式，对恒成立，

当时，显然成立，

当，恒成立，

令，则，

令，

则在上成立，

所以在上递减，

则，

所以在上成立，

所以在上递减，

所以，

所以，

故选：A

6．（2023·全国·高三专题练习）函数有三个零点，则实数的取值范围是（   ）

A．（﹣4，4） B．[﹣4，4]

C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）

【答案】A

【解析】由题意，函数，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，

要使得函数有三个零点，则满足，解得，

即实数的取值范围是.

故选：A．

7．（2023·全国·高三专题练习）已知a∈R，则函数零点的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．与a有关

【答案】A

【解析】令，得.

令，，只需看两个图像的交点的个数.

所以在R上单调递增.

当时，；当时，；

所以与有且只有一个交点.

故选：A

8．（2023·全国·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】存在，不等式成立，

则，能成立，

即对于，成立，

令，，

则，令，

所以当，单调递增，

当，单调递减，

又，所以，

所以.

故选：C

二、多选题

9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则实数的值可以是（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】AD

【解析】令，则有，令，则有，

所以在上单减，在上单增，当时，，，当时，故有唯一零点即或.

故选：AD

10．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数存在三个不同的零点

B．函数既存在极大值又存在极小值

C．若时，，则t的最小值为2

D．当时，方程有且只有两个实根

【答案】BD

【解析】，令，解得或，

当或时，，故函数在，上单调递减，当时，，故函数在上单调递增，

且函数有极小值，有极大值，当趋近负无穷大时，趋近正无穷大，当趋近正无穷大时，趋近于零，故作函数草图如下，

由图可知，选项BD正确，选项C错误，t的最大值为2．

故选：BD．

11．（2023·全国·高三专题练习）下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABCD

【解析】A：构造新函数，所以，

当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，最大值为：，

即，因此本选项不等式成立；

B：构造新函数，所以，

当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，最小值为：，

即，因此本选项不等式成立；

C：设，

当时，单调递增，当时，单调递减，

所以当时，函数有最小值，最小值为：，

即，因此本选项不等式成立；

D：设，

因为，所以单调递减，所以当时，

有，即，因此本选项不等式成立，

故选：ABCD

12．（2023·全国·高三专题练习）若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为　　

A．2 B．1 C．0 D．

【答案】BCD

【解析】函数的导数为；

所以过原点的切线的斜率为；

则过原点的切线的方程为：；

所以当时，函数与的图象恰有一个公共点；

故选：BCD

三、填空题

13．（2023·湖南岳阳·高二统考期末），若关于x的方程在上有根，则实数m的取值范围是 _____．

【答案】．

【解析】若关于x的方程在上有根，即在上有根，

令，则，

时，，时，，

则在上单调递增，在上单调递减，

，，

所以，

若使在上有根，

则．

故答案为：．

14．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的方程有解，则实数a的取值范围为________．

【答案】

【解析】有解，即，令，

，令，解得，令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以的值域为，故的取值范围为．

故答案为：．

15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，，，使不等式成立，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】因为对，，使不等式成立，所以，

当时，，由，得，由，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

因为在上单调递减，所以，

所以，即.

故答案为：.

16．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】根据题意，当时，分离参数，得恒成立．

令，∴时，恒成立．

令，则，

当时，，∴函数在上是减函数．

则，∴．

∴实数的取值范围是．

故答案为：

四、解答题

17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．

(1)求证：函数有唯一的零点，并求出此零点；

(2)求曲线过点的切线方程．

【解析】(1)函数的定义域为，，

令，而，

故在上单调递减，在单调递增．

所以，，即．

故在上是单调递增的．

又因为，因此，函数有唯一的零点，零点为0．

(2)（2）显然，点不在函数图像上，不妨设切点坐标为．

又，即，消去得，

由（1）知，则，，

故所求的切线方程为：．

18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数

(1)若在时取得极小值，求实数k的值；

(2)若过点可以作出函数的两条切线，求证：

【解析】(1)

∴，

∴

当时，令，得

∴在单调递减，在单调递增，

所以在时取得极小值，

∴

(2)证明：设切点为，

∴切线为，

又切线过点，

∴

∴，(*)

设

则

∴在单词递减，在单调递增.

∵过点可作的两条切线，

∴方程(*)有两解

∴，

由，得

∴，即.

19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若恰有一个零点，求a的值．

【解析】（1），

令，得．

因为，则，即原方程有两根设为

，所以（舍去），．

则当时，，当时，

在上是减函数，在上是增函数．

（2）由（1）可知．

①若，则，即，可得，

设，在上单调递减

所以至多有一解且，则，

代入解得．

②若，则，即，可得，

结合①可得，

因为，，

所以在存在一个零点．

当时，，

所以在存在一个零点．因此存在两个零点，不合题意

综上所述：．

20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝ax3﹣3lnx.

(1)若a＝1，证明：f（x）≥1；

(2)讨论f（x）的单调性.

【解析】(1)若a＝1，则f（x）＝x3﹣3lnx，x＞0，，

令f′（x）＝0，可得x＝1，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝1处取得极小值，也是最小值，最小值为f（1）＝1，故f（x）≥1.

(2)f（x）＝ax3﹣3lnx，x＞0，（x＞0），

当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；

当a＞0时，令f′（x）＞0，得x，令f′（x）＜0，得0＜x，

所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增.

综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；

当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增.

21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.

(1)若在上为单调函数，求实数a的取值范围；

(2)记的两个极值点为，，求证：.

【解析】（1）的定义域为，，又单调，∴对恒成立，即()恒成立，而，当且仅当时取等号，∴.

（2）由（1）知：，是的两个根，则，，且，∴，故，，而，∴，得证.

22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．

（1）若，求函数在区间上的最大值；

（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．

【解析】（1）当时，，所以，令，解得或，令，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值为，当时，所以函数在区间上的最大值为；

（2）由，所以，

当时所以函数在定义域上单调递增，则只有一个零点，故舍去；

所以，令得或，

函数有三个零点，等价于的图象与轴有三个交点，函数的极值点为，，

当时，令得或，所以函数在和上单调递增，

令得，所以函数在上单调递减，所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，解得；

当时，令得或，所以函数在和上单调递增，

令得，所以函数在上单调递减，所以函数在处取得极小值，所以的图象与轴不可能有三个交点；

综上可得，即