高中数学新教材同步课时精品讲练必修第二册 第十章 10.1.2　事件的关系和运算(含解析)

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10.1.2　事件的关系和运算学习目标　1.理解事件的关系与运算.2.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念.知识点一　事件的关系 定义符号图示包含关系一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等A＝B 知识点二　交事件与并事件 定义符号图示并事件(或和事件)一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(或积事件)一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB) 知识点三　互斥事件和对立事件 定义符号图示互斥事件一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)A∩B＝∅对立事件一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A∪B＝ΩA∩B＝∅ 1.若A，B表示随机事件，则A∩B与A∪B也表示事件.(　√　)2.若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.(　×　)3.若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.(　√　)4.若事件A与B是互斥事件，则在一次试验中事件A和B至少有一个发生.(　×　)一、互斥事件和对立事件的判断例1　某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件.(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.解　(1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件.由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件.(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件.(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”.即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件.(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.反思感悟　判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生.这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件.跟踪训练1　(1)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是(　　)A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有两个红球答案　D解析　根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件.(2)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　)A.互斥但非对立事件   B.对立事件C.非互斥事件   D.以上都不对答案　A解析　由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.二、事件的运算例2　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.解　(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.反思感悟　事件间运算方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.跟踪训练2　抛掷相同硬币3次，设事件A＝{至少有一次正面向上}，事件B＝{一次正面向上，两次反面向上}，事件C＝{两次正面向上，一次反面向上}，事件D＝{至少一次反面向上}，事件E＝{3次都正面向上}.(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；(2)试求事件A与事件D的交事件，事件B与事件C的并事件，并判断二者的关系.解　(1)B⊆A，C⊆A，E⊆A，且A＝B＋C＋E.(2)A∩D＝{有正面向上，也有反面向上}，B∪C＝{1次正面向上或2次正面向上}，A∩D＝B∪C.三、随机事件的表示及含义例3　设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.(1)三个事件都发生；(2)三个事件至少有一个发生；(3)A发生，B，C不发生；(4)A，B都发生，C不发生；(5)A，B至少有一个发生，C不发生；(6)A，B，C中恰好有两个发生.解　(1)ABC　(2)A∪B∪C　(3)A　(4)AB　(5)(A∪B)　(6)AB∪AC∪BC延伸探究本例条件不变，试用A，B，C表示以下事件.(1)三个事件都不发生；(2)三个事件至少有两个发生.解　(1)  　(2)ABC∪AB∪AC∪BC(或AB∪BC∪AC)反思感悟　清楚随机事件的运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题.符号事件的运算集合的运算A随机事件子集A的对立事件A的补集AB事件A与B的交事件集合A与B的交集A∪B事件A与B的并事件集合A与B的并集跟踪训练3　5个相同的小球，分别标上数字1,2,3,4,5，依次有放回的抽取两个小球.记事件A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”，事件B为“抽取的两个小球上的数字至少有一个是偶数”，事件C为“两个小球上的数字之和为偶数”，试用集合的形式表示A，B，C，A∩B，∩，∩C.解　总的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，B＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,2)，(5,4)}，C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.A∩B＝{(1,2)，(1,4)，(3,2)，(3,4)，(5,2)，(5,4)}，∩＝{(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)}，∩C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.1.某人射击一次，设事件A为“击中环数小于4”，事件B为“击中环数大于4”，事件C为“击中环数不小于4”，事件D为“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是(　　)A.A与B为对立事件B.B与C为互斥事件C.C与D为对立事件D.B与D为互斥事件答案　D2.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)A.至多有2件次品   B.至多有1件次品C.至多有2件正品   D.至少有2件正品答案　B解析　至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件.共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品.3.设M，N，P是三个事件，则M，N至少有一个不发生且P发生可表示为(　　)A.(∪)P   B.( )PC.(∪)∪P   D.(N)∪(M)答案　A4.甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则B∪A表示的含义是________，事件“密码被破译”可表示为________.答案　只有一人破译密码　B∪A∪AB5.从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个不重复的两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A∩B用样本点表示为_______.答案　{10,20,30,40,50,32,42,52,54}1.知识清单：(1)事件的包含关系与相等关系.(2)交事件和并事件.(3)互斥事件和对立事件.2.方法归纳：列举法、Venn图法.3.常见误区：互斥事件和对立事件之间的关系易混淆.1.下列各组事件中，不是互斥事件的是(　　)A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班级期中考试数学成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C.播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒D.检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%答案　B2.许洋说：“本周我至少做完三套练习题.”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为(　　)A.至多做完三套练习题 B.至多做完二套练习题C.至多做完四套练习题 D.至少做完二套练习题答案　B解析　至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6，…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题.3.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　)A.对立事件 B.相等C.互斥但不对立事件 D.以上说法都不对答案　C解析　因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；但这两个事件并不是必有一个发生，所以它们不是对立事件.4.向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件B用样本点表示为(　　)A.{(5,5)}   B.{(4,6)，(5,5)}C.{(6,5)，(5,5)}   D.{(4,6)，(6,4)，(5,5)}答案　D5.设A，B为两事件，则(A∪B)(∪)表示(　　)A.必然事件   B.不可能事件C.A与B恰有一个发生   D.A与B不同时发生答案　C解析　A∪B表示事件A，B至少有1个发生，∪表示事件A，B至少有一个不发生，∴(A∪B)(∪)表示A与B恰有一个发生.6.设某随机试验的样本空间Ω＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{2,3,4}，B＝{3,4,5}，C＝{5,6,7}.则：(1)A∪B＝________________；(2)∩B＝________；(3)A∩(B∩C)＝________.答案　(1){2,3,4,5}　(2){5}　(3)∅7.在某大学的学生中任选一名学生，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是大三学生，事件C表示该生是运动员，则事件AB的含义是________________.答案　该生是大三男生，但不是运动员8.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则事件取出的是理科书可记为________.答案　B∪D∪E解析　由题意可知事件“取到理科书”可记为B∪D∪E.9.从某大学数学系图书室中任选一本书.设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2000年后出版的书}.问：(1)A∩B∩表示什么事件？(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A?(3)如果＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？解　(1)A∩B∩＝{2000年或2000年前出版的中文版的数学书}.(2)在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A.(3)是.＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书.同时＝B又可等价成＝A，因而也可以解释为：图书室中所有数学书都不是中文版的，而且所有外文版的书都是数学书.10.盒子里有3个红球，2个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.求：(1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？(3)把红球记为1,2,3，白球记为a，b，试用集合的形式表示A∪C，C∩D.解　(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故C∩A＝A.(3)A∪C＝{(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(2,3，a)，(2,3，b)，(1,2,3)，(1，a，b)，(2，a，b)，(3，a，b)}，C∩D＝{(1，a，b)，(2，a，b)，(3，a，b)，(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(2,3，a)，(2,3，b)}.11.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是(　　)A.A⊆D   B.B∩D＝∅C.A∪C＝D   D.A∪B＝B∪D答案　D12.(多选)一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有(　　)A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品”B.“至少有1件次品”和“都是次品”C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品”D.“至少有1件次品”和“都是正品”答案　AD解析　对于A，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“2件都是次品”显然是互斥事件；对于B，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件；对于C，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”不是互斥事件；对于D，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”显然是互斥事件，故AD是互斥事件.13.盒子内分别有3个红球，2个白球，1个黑球，从中任取2个球，则下列选项中的两个事件互斥而不对立的是(　　)A.至少有1个白球，至多有1个白球B.至少有1个白球，至少有1个红球C.至少有1个白球，没有白球D.至少有1个白球，红球、黑球各1个答案　D解析　当取出的2个球是1白1红时，A中两个事件同时发生，所以A中的两个事件不是互斥事件，此时B也一样，所以排除A，B；C中，两个事件不可能同时发生，但是必有一个发生，所以C中的两个事件是对立事件，所以排除C；D中，两个事件不可能同时发生，但是当取出的2个球都是红球时，这两个事件都没有发生，所以D中的两个事件是互斥事件但不是对立事件.14.电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝____________.(用B，C，D间的运算关系式表示)答案　(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)15.如果A，B是互斥事件，那么(　　)A.∪是必然事件B.与一定是互斥事件C.与一定不是互斥事件D.A∪B是必然事件答案　A解析　由互斥事件的概念，A，B互斥即A∩B为不可能事件，所以∪是必然事件，故A正确；C选项中，当B＝时，与互斥，故C错误；D和B可举反例，如投掷骰子试验中，A表示向上数字1，B表示向上数字为2，A∪B不是必然事件，与不是互斥事件，故B，D错误.16.投掷一枚均匀的硬币，连续投掷3次.Ai表示第i次正面朝上，试用文字叙述下列事件.(1)A1∪A2；(2)A1∪A2∪A3；(3)2A3；(4)；(5)1∩2；(6)A1A2∪A2A3∪A1A3.解　(1)A1∪A2表示第1次和第2次投掷硬币至少有1次正面朝上.(2)A1∪A2∪A3表示3次投掷硬币中至少有1次正面朝上.(3)2A3表示第2次投掷硬币反面朝上且第3次正面朝上.(4)表示第1次和第2次投掷硬币均反面朝上.(5)1∩2表示第1次和第2次投掷硬币均反面朝上.(6)3次投掷硬币中至少有2次正面朝上.