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    高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第1章 1.2 第2课时 空间向量基本定理的初步应用(含解析)

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    人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理优秀第2课时课时训练

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    这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理优秀第2课时课时训练,共16页。试卷主要包含了会用基底法表示空间向量,即CD=eq \r等内容,欢迎下载使用。
    2课时 空间向量基本定理的初步应用学习目标 1.会用基底法表示空间向量. 2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想.知识点一 证明平行、共线、共面问题(1) 对于空间任意两个向量ab(b0)ab的充要条件是存在实数λ,使aλb.(2) 如果两个向量ab不共线,那么向量p与向量ab共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(xy),使pxayb.思考 怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题?答案 平行和点共线都可以转化为向量共线问题;点线共面可以转化为向量共面问题.知识点二 求夹角、证明垂直问题(1)θab的夹角,则cos θ.(2)ab是非零向量,则aba·b0.思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题?答案 几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题,解题中要注意角的范围.知识点三 求距离(长度)问题( )思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题?答案 几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模,用数量积可以求得.1四点ABCD构成平行四边形ABCD的充要条件是.( × )2.若,则ABCD四点共线.( × )3.已知两个向量 的夹角为 60°,则 NMP60°.( × )4.如果,则四点OPMN一定共面.(  )一、证明平行、共面问题1 如图,已知正方体ABCDABCDEF分别为AACC的中点.求证:BFED.证明 直线BFED没有公共点,BFED.反思感悟 证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行.(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.跟踪训练1 如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,EF分别在B1BD1D上,且BEBB1DFDD1.求证:AEC1F四点共面.证明 因为所以共面,所以AEC1F四点共面.二、求夹角、证明垂直问题2 如图所示,在三棱锥 ABCD 中,DADBDC两两垂直,且DBDCDA2EBC的中点.(1)证明:AEBC (2)求直线AEDC的夹角的余弦值.(1)证明 因为()所以··() 22··DADBDC两两垂直, 且DBDCDA2所以·0AEBC.(2)解 ·· ·2·22222226,得.所以cos〉= .故直线AEDC的夹角的余弦值为.反思感悟 求夹角、证明线线垂直的方法利用数量积定义可得cosab〉=,求〈ab〉的大小,进而求得线线角,两直线垂直可作为求夹角的特殊情况.跟踪训练2 在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB2BCB1B1MN分别是ADDC的中点.求异面直线MNBC1所成角的余弦值.解 ()=-所以··2所以 cos〉=故异面直线MNBC1所成角的余弦值为.三、求距离(长度)问题3 已知平面α平面β,且αβl ,在l上有两点AB,线段ACα ,线段BDβ ,并且ACl BDlAB6BD24AC8,则 CD________.答案 26解析 平面α平面β,且αβl,在l上有两点AB,线段ACα,线段BDβAC l BD l AB6BD24AC82 ( )2222 6436576676CD26.反思感悟 求距离(长度)问题的思路选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量,利用基底表示向量,将距离(长度)问题转化为向量的模的问题.跟踪训练3 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点NB1B的中点,则||等于(  )A.a   B.aC.a   D.a答案 A解析 ()|| a.1(多选)已知ABC三点不共线,O为平面ABC外的任一点,则M与点ABC共面的充分条件是(  )A.2B. C.D. 答案 BD解析 根据xyz ,若 xyz1,则点M与点ABC 共面因为2(1)(1)01,11(1)1,111由上可知,BD满足要求.2.设ABCD是空间不共面的四点,且满足·0·0·0,则BCD(  )A.钝角三角形   B.锐角三角形C.直角三角形   D.不确定答案 B解析 BCD中,·()·()20B为锐角,同理,CD均为锐角.3.如图,三棱锥SABC中,SA底面 ABCABBCABBC2SA2,则SCAB所成角的大小为(  )A90°   B60°C45°   D30° 答案 B解析 因为SA底面ABC,所以SAACSAAB,所以·0ABBCABBC2所以 BAC45° AC2 .因此·cos 45°2×2×4所以···4SA2,所以 SC4 因此cos〉=所以SCAB所成角的大小为60° .4.如图,已知ABCD中,AD4CD3D60°PA平面ABCD,且PA6,则PC的长为________答案 7解析 ||2·()2||2||2||22·2·2·6242322||||cos 120°611249.PC7.5.已知ab是空间两个向量,若|a|2|b|2|ab|,则cosab〉=________.答案 解析 |ab|化为(ab)27,求得a·b再由a·b|a||b|cosab〉求得cosab〉=.1知识清单:(1)空间向量基本定理.(2)空间向量共线、共面的充要条件.(3)向量的数量积及应用.2.方法归纳:转化化归.3.常见误区:(1)向量夹角和线线角的范围不同,不要混淆.(2)转化目标不清:表示向量时没有转化目标,不理解空间向量基本定理的意义.1.已知OAB是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足20,则等于(  )A2   B.-2C.   D.-答案 A解析 由已知得2()()02.2.如图,已知空间四边形ABCD中,ACBD,顺次连接各边中点PQRS,所得图形是(  )A.长方形B.正方形C.梯形D.菱形答案 D解析 因为.同理,所以所以四边形PQRS为平行四边形.所以||||,即PSBD.||||PQAC,而ACBD所以PSPQ,故四边形ABCD为菱形.3.如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1AB2AD1EFG分别是DCABCC1的中点,则异面直线A1EGF所成角的余弦值是(  )A0   B.C.   D. 答案 A解析 根据题意可得,·()·() ()·() 2 2 2×41×40从而得到垂直,故其所成角的余弦值为0.4.在正三棱柱ABCA1B1C1 中,若ABBB1,则 CA1 C1B 所成的角的大小是(  )A60°   B75°C90°   D105°答案 C解析 ||mabcacbc·(ac)·(bc)a·bb·ca·cc2m·mcos 00m20 CA1 C1B 所成的角的大小是 90°.5.如图,二面角αlβ等于AB是棱l上两点, BD, AC 分别在平面αβ内,ACl BDl ,且 2ABACBD2,则CD的长等于(  )A2   B.C4   D5答案 B解析 二面角αlβ等于ACl,BDl,所以〈〉=π22222·2·2· 221222002×2×2×cos 13.CD.6.已知向量ab满足条件|a|3|b|4,若mabnaλb,〈ab〉=135°mn,则实数λ________.答案 解析 因为m·n0,所以(ab)·(aλb)0所以a2(1λ)a·bλb20所以18(1λ)×3×4×16λ0解得λ=-.7.如图,在空间四边形ABCD 中,ABDCBDABCBCBD1AB,则异面直线 AB CD 所成角的大小是________答案  解析 依题意可知CD··()··0···cos 45°1.设直线ABCD所成角为α,则cos α,故α.8.如图,平行六面体ABCDA1B1C1D1中,|AB||AD||AA1|1BADBAA1120°DAA160°,则线段AC1的长度是________答案  解析  22222·2·2·1112×1×1×2×1×1×2×1×1×2AC1.9.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,设abcEF分别是AD1BD的中点.(1)用向量abc表示(2)xaybzc,求实数xyz的值.解 (1)如图,连接ACEFD1FBD1=-abc=-()()(ac)(2)()()(cabc)abcxy=-z=-1.10.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,EF分别是C1D1D1D的中点,正方体的棱长为1.(1)求〈〉的余弦值;(2)求证:.(1)解 .因为·0·0·0所以··.||||,所以cos〉=.(2)证明 =-()所以·0,所以.11.在四面体OABC中,G是底面ABC的重心,且xyz,则log3|xyz|等于(  )A.-3   B.-1C1   D3答案 A解析 连接AG(图略)()()xyzxyz,则log3|xyz|log3=-3.12.在三棱柱ABCA1B1C1中, AA1底面ABC, ABBCAA1, ABC90°, 点EF分别是棱ABBB1的中点, 则直线EFBC1所成的角是(  )A30°   B45°C90°   D60°答案 D解析 因为点EF分别是棱ABBB1的中点,所以  ()所以·()()2 设所求异面直线的夹角为 θ,则 cos θ,所以θ60° .13.如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1BM所成的角的大小是________答案 90°解析 不妨设棱长为2,则cos〉=0则〈〉=90°.14.如图,一个结晶体的形状为平行六面体 ABCDA1B1C1D1 ,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是________(填序号) ()22()2 ·()0 向量的夹角是60°BD1AC所成角的余弦值为.答案 ①②解析 以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°可设棱长为1,则···1×1×cos 60°()22222·2·2· 1113×2×62()22()22(222·)22×36,所以正确.·()()·()··2··20,所以正确.向量显然AA1D为等边三角形,则AA1D60° .所以向量的夹角是 120°,向量的夹角是 120° ,则不正确.||||··()1所以cos〉=所以不正确,故①②正确.15(多选)在四面体PABC 中,以上说法正确的有(  )A.若,则可知 3 B.若QABC 的重心,则 C.若·0·0,则 ·0 D.若四面体PABC各棱长都为2MN分别为PABC的中点,则||1答案 ABC解析 对于A, 3222233,故A正确;对于B,若QABC 的重心,则0333,即,故B正确;对于C·0·0···0(·0··0·0·0,故C正确; 对于D()(), ||||||2.||,故D错误,故选ABC .16.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,PDD1的中点,O是底面ABCD的中心.求证:B1O平面PAC.证明 如图,连接BD,则BD过点O,令abc,则|a||b||c|1ab()abc .·(ab |a|2a·ba·b|b|2a·cb·c0.,即ACOB1.bc··a·b|b|2c·ba·cb·c|c|2=-0OB1AP.ACAPAACAP平面PACOB1平面PAC.

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