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人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理优秀第2课时课时训练
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理优秀第2课时课时训练,共16页。试卷主要包含了会用基底法表示空间向量,即CD=eq \r等内容,欢迎下载使用。
第2课时 空间向量基本定理的初步应用学习目标 1.会用基底法表示空间向量. 2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想.知识点一 证明平行、共线、共面问题(1) 对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.(2) 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.思考 怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题?答案 平行和点共线都可以转化为向量共线问题;点线共面可以转化为向量共面问题.知识点二 求夹角、证明垂直问题(1)θ为a,b的夹角,则cos θ=.(2)若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0.思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题?答案 几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题,解题中要注意角的范围.知识点三 求距离(长度)问题=( = ).思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题?答案 几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模,用数量积可以求得.1.四点A,B,C,D构成平行四边形ABCD的充要条件是=.( × )2.若=,则A,B,C,D四点共线.( × )3.已知两个向量 , 的夹角为 60°,则 ∠NMP=60°.( × )4.如果=+,则四点O,P,M,N一定共面.( √ )一、证明平行、共面问题例1 如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′,E,F分别为AA′和CC′的中点.求证:BF∥ED′.证明 =+=+=+,=+=+=+,∴=,∴∥,∵直线BF与ED′没有公共点,∴BF∥ED′.反思感悟 证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行.(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.跟踪训练1 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1.求证:A,E,C1,F四点共面.证明 因为=++=+++=+=+++=+,所以,,共面,所以A,E,C1,F四点共面.二、求夹角、证明垂直问题例2 如图所示,在三棱锥 A-BCD 中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=DA=2,E为BC的中点.(1)证明:AE⊥BC ;(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值.(1)证明 因为=-=(+)-,=-,所以·=·(-) =2-2-·+·,又DA,DB,DC两两垂直, 且DB=DC=DA=2,所以·=0,故 AE⊥BC.(2)解 ·=· =·+2-·=2=2,由2=2=2+2+2=6,得=.所以cos〈,〉=== .故直线AE与DC的夹角的余弦值为.反思感悟 求夹角、证明线线垂直的方法利用数量积定义可得cos〈a,b〉=,求〈a,b〉的大小,进而求得线线角,两直线垂直可作为求夹角的特殊情况.跟踪训练2 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=B1B=1,M,N分别是AD,DC的中点.求异面直线MN与BC1所成角的余弦值.解 =-=(-),=+=-+ ,所以·=·=2=,又==, =,所以 cos〈,〉===,故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为.三、求距离(长度)问题例3 已知平面α⊥平面β,且α∩β=l ,在l上有两点A,B,线段AC⊂α ,线段BD⊂β ,并且AC⊥l ,BD⊥l,AB=6,BD=24,AC=8,则 CD= ________.答案 26解析 ∵平面α⊥平面β,且α∩β=l,在l上有两点A,B,线段AC⊂α,线段BD⊂β,AC⊥ l ,BD⊥ l ,AB=6,BD=24,AC=8,∴=++ ,∴2 =(++ )2=2+2+2 =64+36+576=676,∴CD=26.反思感悟 求距离(长度)问题的思路选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量,利用基底表示向量,将距离(长度)问题转化为向量的模的问题.跟踪训练3 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,=,点N为B1B的中点,则||等于( )A.a B.aC.a D.a答案 A解析 ∵=-=-=+-(++)=+-,∴||= =a.1.(多选)已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外的任一点,则“点M与点A,B,C共面”的充分条件是( )A.=2--B.=+- C.=++D.=++ 答案 BD解析 根据“=x+y+z ,若 x+y+z=1,则点M与点A,B,C 共面”, 因为2+(-1)+(-1)=0≠1,1+1+(-1)=1,1++=≠1,++=1,由上可知,BD满足要求.2.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD是( )A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定答案 B解析 在△BCD中,·=(-)·(-)=2>0,∴B为锐角,同理,C,D均为锐角.3.如图,三棱锥S-ABC中,SA⊥底面 ABC,AB⊥BC,AB=BC=2,SA=2,则SC与AB所成角的大小为( )A.90° B.60°C.45° D.30° 答案 B解析 因为SA⊥底面ABC,所以SA⊥AC,SA⊥AB,所以·=0,又AB⊥BC,AB=BC=2,所以 ∠BAC=45° ,AC=2 .因此·=cos 45°=2×2×=4,所以·=·-·=4,又SA=2,所以 SC==4 ,因此cos〈,〉=== ,所以SC与AB所成角的大小为60° .4.如图,已知▱ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,且PA=6,则PC的长为________.答案 7解析 ∵=++,∴||2=·=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=62+42+32+2||||cos 120°=61-12=49.∴PC=7.5.已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,则cos〈a,b〉=________.答案 解析 将|a-b|=化为(a-b)2=7,求得a·b=,再由a·b=|a||b|cos〈a,b〉求得cos〈a,b〉=.1.知识清单:(1)空间向量基本定理.(2)空间向量共线、共面的充要条件.(3)向量的数量积及应用.2.方法归纳:转化化归.3.常见误区:(1)向量夹角和线线角的范围不同,不要混淆.(2)转化目标不清:表示向量时没有转化目标,不理解空间向量基本定理的意义.1.已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2+=0,则等于( )A.2- B.-+2C.- D.-+答案 A解析 由已知得2(-)+(-)=0,∴=2-.2.如图,已知空间四边形ABCD中,AC=BD,顺次连接各边中点P,Q,R,S,所得图形是( )A.长方形B.正方形C.梯形D.菱形答案 D解析 因为=-=-=.同理=,所以=,所以四边形PQRS为平行四边形.又=-=-=,所以||=||,即PS=BD.又||=||,故PQ=AC,而AC=BD,所以PS=PQ,故四边形ABCD为菱形.3.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,E,F,G分别是DC,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是( )A.0 B.C. D. 答案 A解析 根据题意可得,·=(++)·(++) =(-++)·(---) =2 -2 -2=×4-1-×4=0,从而得到和垂直,故其所成角的余弦值为0.4.在正三棱柱ABC-A1B1C1 中,若AB=BB1,则 CA1 与 C1B 所成的角的大小是( )A.60° B.75°C.90° D.105°答案 C解析 设||=m,=a,=b,=c,则=a+c,=b-c,·=(a+c)·(b-c)=a·b+b·c-a·c-c2=m·mcos +0-0-m2=0,∴⊥,∴ CA1 与 C1B 所成的角的大小是 90°.5.如图,二面角α-l-β等于,A,B是棱l上两点, BD, AC 分别在平面α,β内,AC⊥l ,BD⊥l ,且 2AB=AC=BD=2,则CD的长等于( )A.2 B.C.4 D.5答案 B解析 ∵二面角α-l-β等于,AC⊥l,BD⊥l,所以〈,〉=π-=,∵=++,∴2=2+2+2+2·+2·+2· =22+12+22+0+0+2×2×2×cos =13.即CD=.6.已知向量a,b满足条件|a|=3,|b|=4,若m=a+b,n=a+λb,〈a,b〉=135°,m⊥n,则实数λ=________.答案 -解析 因为m·n=0,所以(a+b)·(a+λb)=0,所以a2+(1+λ)a·b+λb2=0,所以18+(1+λ)×3×4×+16λ=0,解得λ=-.7.如图,在空间四边形ABCD 中,∠ABD=∠CBD= ,∠ABC=,BC=BD=1,AB=,则异面直线 AB 与 CD 所成角的大小是________.答案 解析 依题意可知CD==,·=·(-)=·-·=0+·=··cos 45°=1.设直线AB与CD所成角为α,则cos α===,故α=.8.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=|AA1|=1,∠BAD=∠BAA1=120°,∠DAA1=60°,则线段AC1的长度是________.答案 解析 ∵ =++,∴ 2=2+2+2+2·+2·+2·=1+1+1+2×1×1×+2×1×1×+2×1×1×=2,∴AC1=.9.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,E,F分别是AD1,BD的中点.(1)用向量a,b,c表示,;(2)若=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.解 (1)如图,连接AC,EF,D1F,BD1,=+=-+-=a-b-c,=+=+=-(+)+(+)=(a-c).(2)=(+)=(-+)=(-c+a-b-c)=a-b-c,∴x=,y=-,z=-1.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,D1D的中点,正方体的棱长为1.(1)求〈,〉的余弦值;(2)求证:⊥.(1)解 =+=+,=+=+=-.因为·=0,·=0,·=0,所以·=·=.又||=||=,所以cos〈,〉=.(2)证明 =+=-+,=+=-(+),所以·=0,所以⊥.11.在四面体O-ABC中,G是底面△ABC的重心,且=x+y+z,则log3|xyz|等于( )A.-3 B.-1C.1 D.3答案 A解析 连接AG(图略),=+=+(+)=+(-+-)=++=x+y+z,∴x=y=z=,则log3|xyz|=log3=-3.12.在三棱柱ABC- A1B1C1中, AA1⊥底面ABC, AB=BC=AA1, ∠ABC=90°, 点E,F分别是棱AB,BB1的中点, 则直线EF和BC1所成的角是( )A.30° B.45°C.90° D.60°答案 D解析 因为点E,F分别是棱AB,BB1的中点,所以 =-=(-),=+, 所以·=(-)(+)=2 ,设所求异面直线的夹角为 θ,则 cos θ==,所以θ=60° .13.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________.答案 90°解析 不妨设棱长为2,则=-,=+,cos〈,〉===0,则〈,〉=90°.14.如图,一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 ,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是________.(填序号)① (++)2=2()2 ;②·(-)=0 ;③向量与的夹角是60°;④BD1与AC所成角的余弦值为.答案 ①②解析 以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°,可设棱长为1,则·=·=·=1×1×cos 60°=,(++)2=2+2+2+2·+2·+2· =1+1+1+3×2×=6,而 2()2=2(+)2=2(2+2+2·)=2=2×3=6,所以①正确.·(-)=(++)·(-)=·-·+2-·+·-2=0,所以②正确.向量= ,显然△AA1D为等边三角形,则∠AA1D=60° .所以向量与的夹角是 120°,向量与的夹角是 120° ,则③不正确.又=+-,=+,则||==,||==,·=·(+)=1,所以cos〈,〉=== ,所以④不正确,故①②正确.15.(多选)在四面体P-ABC 中,以上说法正确的有( )A.若=+,则可知 =3 B.若Q为△ABC 的重心,则=++ C.若·=0,·=0,则 ·=0 D.若四面体P-ABC各棱长都为2,M,N分别为PA,BC的中点,则||=1答案 ABC解析 对于A, ∵=+,∴3=+2,∴2-2=-,∴2=,∴3=+,即3=,故A正确;对于B,若Q为△ABC 的重心,则++=0,∴3+++=3, ∴3=++,即=++,故B正确;对于C,∵·=0,·=0,∴·+·+·=0,∴(-)·+·=0,∴·+·=0,∴·=0,∴·=0,故C正确; 对于D,∵=-=(+)-=(+ -), ∴||=|--|,∵|--|=2.∴||=,故D错误,故选ABC .16.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O是底面ABCD的中心.求证:B1O⊥平面PAC.证明 如图,连接BD,则BD过点O,令=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,且=+=a+b,=+=+=(-)+=a-b+c .∴·=(a+b)· =|a|2+a·b-a·b-|b|2+a·c+b·c=-=0.∴⊥,即AC⊥OB1.又=+=b+c,∴·=·=a·b-|b|2+c·b+a·c-b·c+|c|2=-+=0,∴⊥,即OB1⊥AP.又AC∩AP=A,AC,AP⊂平面PAC,∴OB1⊥平面PAC.
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