高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第1章 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示(含解析)

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§1.4　空间向量的应用1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示学习目标　理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量．知识点一　空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．知识点二　空间中直线的向量表示式直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，①把＝a代入①式得＝＋t，②①式和②式都称为空间直线的向量表示式．思考　直线的方向向量是不是唯一的？答案　直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．知识点三　空间中平面的向量表示式1．平面ABC的向量表示式空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.③我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．2．平面的法向量如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}．思考　平面的法向量是不是唯一的？答案　一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取．1．若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．(　√　)2．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(　×　)3．直线的方向向量是唯一的．(　×　)一、直线的方向向量例1　(1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线 l 过 A(0，y，3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于(　　)A．0  B．1  C.  D．3答案　A解析　∵A(0，y，3)和B(－1,2，z)，＝(－1,2－y，z－3), ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3) ，故设＝km.∴－1＝2k ,2－y＝－k，z－3＝3k.解得 k＝－，y＝z＝.∴y－z＝0.(2) 在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线 BC1 的一个方向向量为________．答案　(不唯一)(0,0,1)　 (0,1,1)解析　∵DD1∥AA1，＝(0,0,1)，直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；BC1∥AD1， ＝(0，1,1), 故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)．反思感悟　理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．(2)直线的方向向量不唯一．跟踪训练1　(1)(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　)A．(2,2,6)   B．(1,1,3)C．(3,1,1)   D．(－3,0,1)答案　AB解析　∵M，N在直线l上，∴＝(1,1,3)，故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量．(2)从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为(　　)A．(18,17，－17)   B. (－14，－19,17)C.   D. 答案　A解析　设B点坐标为 (x，y，z) ，则 ＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12) ，因为||＝34，即＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17.二、求平面的法向量例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．解　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，，0)，P(0,0,1)，E，C(1，，0)，于是＝.＝(1，，0)．设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即所以令y＝－1，则x＝z＝.所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．延伸探究本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量？解　如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1，，0)，所以＝(1，，－1)，即直线PC的一个方向向量．设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)．因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1)．由即所以令y＝1，则z＝.所以平面PCD的一个法向量为(0,1，)．反思感悟　求平面法向量的方法与步骤(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，；(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；(3)联立方程组并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．跟踪训练2　已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，试求出平面ABC的一个法向量．解　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．∵A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，∴＝(－2,1,3)，＝(1，－1,0)．则有即解得令z＝1，则x＝y＝3.故平面ABC的一个法向量为n＝(3,3,1)．1．若A( －1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)A．(1,2,3)   B．(1,3,2)C．(2,1,3)   D．(3,2,1)答案　A解析　因为＝(2,4,6) ，所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量．2．已知直线l1的方向向量a＝(2，－3,5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若a∥b，则x，y的值分别是(　　)A．6和－10   B．－6和10C．－6和－10   D．6和10答案　A解析　由题意得＝＝，且x≠0，y≠0，所以x，y的值分别是6和－10.3．若n＝(2，－3, 1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　)A．(0，－3,1)   B．(2,0,1)C．(－2，－3,1)   D．(－2,3，－1)答案　D解析　求与n共线的一个向量．易知(2，－3,1)＝－(－2，3，－1)．4．(多选)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(　　)A.  B.  C.  D.答案　BC 5．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________．答案　x＋2y－3z＝0解析　由题意得e⊥，则·e＝(x，y，z)·(1,2，－3)＝0，故x＋2y－3z＝0.1．知识清单：(1)直线的方向向量．(2)平面的法向量．2．方法归纳：待定系数法．3．常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性．1．已知向量a＝(2, －1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　)A．－1   B．1或－1C．－3   D．1答案　A解析　由题意得a∥b，所以解得x＝－1.2．已知平面α的一个法向量是(2，－1，－1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　)A. (4,2，－2)   B. (2,0,4)C. (2，－1，－5)   D. (4，－2，－2)答案　D解析　∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2，－2)＝2(2，－1，－1)，故选D.3．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是(　　)A.⊥   B.⊥C.⊥   D.⊥答案　C解析　∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.又AC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴PC⊥BD.故选项B成立，选项A和D显然成立．故选C.4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是(　　)A．(1,1，－1)   B．(1，－1,1)C．(－1,1,1)   D．(－1，－1，－1)答案　D解析　＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)．5．(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是(　　)A．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)B．平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)C．平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)D．平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)答案　AC解析　∵＝(0,1,0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；∵＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，∴ B不正确；∵＝(0,1，－1)，＝(－1,0,1)，(1,1,1)·＝0，(1,1,1)·＝0，B1C∩CD1＝C，∴(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量，∴C正确；∵＝(0,1,1)，而·(0,1,1)＝2≠0，∴(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量，即D不正确．6．已知平面ABC，且A(1,2，－1)，B(2,0，－1)，C(3，－2,1)，则平面ABC的一个法向量为________．答案　(2,1,0)(答案不唯一)解析　＝(1，－2,0)，＝(2，－4,2)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1，得x＝2，z＝0，故平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,0)．7．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．答案　或解析　由OP⊥OQ，得·＝0，即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0.∴cos x＝0或cos x＝.∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.8.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)．其中正确的是________．(填序号)答案　①②③解析　＝＝(0,0,1)，故①正确；＝＝(0,1,1)，故②正确；直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0,1,0)，故③正确；向量的坐标为(1,1,1)，与平面B1CD不垂直，∴④错．9．已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2, －2)．(1)写出直线BC的一个方向向量；(2)设平面α经过点A，且BC是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．解　(1)∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)，∴＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC的一个方向向量．(2)由题意＝(x－2，y－2，z－2)，∵⊥平面α，AM⊂α，∴⊥，∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0.∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0. 化简得x－y＋z－2＝0.10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量．证明　设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E，D1(0,0,1)，F，A1(1,0,1)，＝，＝，＝(－1,0,0)．∵·＝·＝－＝0，又·＝0，∴⊥，⊥.又A1D1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1D1F，∴是平面A1D1F的法向量．11．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面(　　)A．xOy平行   B．xOz平行C．yOz平行   D．yOz相交答案　C解析　因为＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB∥平面yOz.12．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)A．(1，－1,1)   B.C.   D.答案　B解析　要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直，即·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0，故B正确；同理可排除C，D.故选B.13．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是(　　)A．(1，－4,2)   B.C.   D．(0，－1,1)答案　D解析　因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的一个法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.14．若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.答案　2∶3∶(－4)解析　由已知得，＝，＝，∵a是平面α的一个法向量，∴a·＝0，a·＝0，即解得∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．15．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．(填序号)答案　①②③解析　∵·＝0，·＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．又与不平行，∴是平面ABCD的法向量，则③正确，由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，∴与不平行，故④错误．16.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．解　以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，则＝，＝.向量＝是平面SAB的一个法向量．设n＝(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，则即取x＝2，得y＝－1，z＝1，故平面SDC的一个法向量为(2，－1,1)．