高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第1章 1.4.2 第2课时 夹角问题(含解析)

第2课时　夹角问题

学习目标　1.会用向量法求线线、线面、面面夹角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．

知识点一　两个平面的夹角

平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．

知识点二　 空间角的向量法解法

1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，

设正方体棱长为1，

则＝，＝，cos 〈，〉＝＝0.

∴〈，〉＝.

2．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　)

A．30°  B．60°  C．150°  D．120°

答案　B

解析　设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝60°，故选B.

3．已知平面α的法向量u＝(1,0，－1)，平面β的法向量v＝(0，－1,1)，则平面α与β的夹角为________．

答案　

解析　∵cos〈u，v〉＝＝－，∴〈u，v〉＝π，

∴平面α与β的夹角是.

4．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2,0)，B(2,1，)，则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．

答案　

解析　设平面xOz的法向量为n＝(0,1, 0) ，＝(1,3，)，

所以cos〈n，〉＝＝  ，

所以sin〈n，〉＝  ＝.

故向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为.

一、两条异面直线所成的角

例1　如图，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值．

解　以O为坐标原点，，的方向为x轴，y轴的正方向．建立如图所示的空间直角坐标系，

则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，

∴＝(－，1，－)，＝(，－1，－)．

∴|cos〈，〉|＝

＝＝.

∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.

反思感悟　求异面直线夹角的方法

(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解．

(2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别为a，b的方向向量，则cos θ＝.

跟踪训练1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，

则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，

∴＝(－1，－1，－2)，

＝(1,0，－2)，

∴cos〈，〉＝＝.

二、直线与平面所成的角

例2　如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．

(1)证明：CM⊥SN；

(2)求SN与平面CMN所成角的大小．

(1)证明　设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(如图)．

则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，

又AN＝AB，M，S分别为PB，BC的中点，

∴N，M，S，

＝，＝，

∴·＝·＝0，

∴⊥，

因此CM⊥SN.

(2)解　由(1)知，＝，

设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，

∴·a＝0，·a＝0.

则

∴

取y＝1，得a＝(2,1，－2)．

设SN与平面CMN所成的角为θ，

∵sin θ＝|cos〈a，〉|＝＝.

∴SN与平面CMN所成角为.

反思感悟　利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤

(1)建立空间直角坐标系．

(2)求直线的方向向量u.

(3)求平面的法向量n.

(4)设线面角为θ，则sin θ＝ .

跟踪训练2　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点．求A1B与平面AEF所成角的正弦值．

解　以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，

所以＝(2,0，－2)，＝(0,2,1)，＝(1,1,0)．

设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)，

由得

令a＝1可得n＝(1，－1,2)．

设A1B与平面AEF所成角为θ，

所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，

即A1B与平面AEF所成角的正弦值为.

三、两个平面的夹角

例3　如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．

(1)证明：O1O⊥平面ABCD；

(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值．

(1)证明　因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，

又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，

因为AC∩BD＝O，

AC，BD⊂平面ABCD，

所以O1O⊥平面ABCD.

(2)解　因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥平面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．

如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

设棱长为2，因为∠CBA＝60°，

所以OB＝，OC＝1，

所以O(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，

平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)，

设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，

由m⊥，m⊥，得x＋2z＝0，y＋2z＝0，

取z＝－，则x＝2，y＝2，

所以m＝(2,2，－)，

所以cos〈m，n〉＝＝＝.

所以平面C1 OB1与平面OB1D夹角的余弦值为.

延伸探究

本例不变，求平面B A1C与平面A1CD夹角的余弦值．

解　B(，0,0)，A1(0，－1,2)，C(0,1,0)，D(－，0,0)，

设平面BA1C的法向量为m＝(x1，y1，z1)，

＝(0,2，－2)，＝(－，1,0)，

则即

令x1＝1，则y1＝，z1＝，

∴m＝(1，，)，

同理得，平面A1CD的法向量n＝(1，－，－)，

cos〈m，n〉＝＝－，

则平面BA1C与平面A1CD夹角的余弦值为.

反思感悟　求两平面夹角的两种方法

(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．

(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉

跟踪训练3　如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB夹角的余弦值．

解　如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，∴点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为，则有D(0,0,0)，S(－1，，0)，A(0,0,2)，C(2,0,0)，B(2,0,1)，

设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)，

∵＝(0,0，－2)，＝(－1，，－2)，

∴取x＝，得平面SAD的一个法向量为m＝(，1,0)．

又＝(2,0，－1)，设平面SAB的法向量为n＝(a，b，c)，则

即令a＝，

则n＝(，5,2)，

∴cos〈m，n〉＝＝＝，

故平面SAD与平面SAB夹角的余弦值是.

空间向量和实际问题

典例　如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处．从A，B到直线 (库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c， 甲乙之间拉紧的绳长为d，求库底与水坝所在平面夹角的余弦值．

解　由题意可知AC＝a，BD＝b，CD＝c，AB＝d，

所以d2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)

＝a2＋c2＋b2＋2·＝a2＋c2＋b2－2·，

则2·＝a2＋b2＋c2－d2，

设向量与的夹角为θ，θ就是库底与水坝所在平面的夹角，

因此2abcos θ＝a2＋b2＋c2－d2，所以cos θ＝，

故库底与水坝所在平面夹角的余弦值为.

[素养提升]　利用空间向量解决实际问题

(1)分析实际问题的向量背景，将题目条件、结论转化为向量问题．

(2)对于和垂直、平行、距离、角度有关的实际问题，可以考虑建立向量模型，体现了数学建模的核心素养．

1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为(　　)

A.   B.

C.或   D．以上均不对

答案　A

解析　l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为，故选A.

2．已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则α与β的夹角为(　　)

A．30°  B．60°  C．120°  D．150°

答案　B

解析　设α与β所成的角为θ，且0°≤θ≤90°，

则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝60°.

3．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系，

设CA＝CB＝1，则B(0,1,0)，M，A(1,0,0)，N.

故＝，＝，

所以cos〈，〉＝＝＝.

4.如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0,0,2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝________.

答案　

解析　cos θ＝＝＝.

5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为________．

答案　

解析　设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图．

则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)．

平面ACD1的一个法向量为＝(1,1,1)．

又＝(0,0,1)，

则cos〈，〉＝＝＝.

1．知识清单：

(1)两条异面直线所成的角．

(2)直线和平面所成的角．

(3)两个平面的夹角．

2．方法归纳：转化与化归．

3．常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念，把握空间角的范围．

1．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　A

解析　∵＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)，

∴cos〈，〉＝＝＝，

∴直线AB，CD所成角的余弦值为.

2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面夹角为(　　)

A．45°   B．135°

C．45°或135°   D．90°

答案　A

解析　cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.所以两平面的夹角为45°.

3．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　线面角的范围是.

∵〈a，n〉＝，∴l与法向量所在直线所成角为，

∴l与α所成的角为.

4．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的余弦值为(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　D

解析　设α与l所成的角为θ，

则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝＝＝，

故直线l与α所成角的余弦值为＝.

5．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　)

A．30°  B．45°  C．60°  D．90°

答案　B

解析　如图所示，建立空间直角坐标系，

设PA＝AB＝1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．

于是＝(0,1,0)，取PD的中点E，则E，

∴＝，易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，

∴cos〈，〉＝，

∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.

6.如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为________．

答案　

解析　建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体棱长为2，A1P＝x，

则O(1,1,0)，P(2，x，2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)，

＝(1，x－1,2)，＝(－2,0,1)．

所以·＝0，

所以直线BM与OP所成的角为.

7．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为________．

答案　

解析　如图所示，建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，

∴＝(－2,0,1)．

连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，

∴平面BB1D1D的一个法向量为a＝＝(－2,2,0)．

∴所求角的正弦值为|cos〈a，〉|＝＝＝.

8．已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值等于 ________.

答案　

解析　如图，建立空间直角坐标系．

设正方体的棱长为1，

平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，

平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．

所以A(1,0,0)，E，F，

所以＝，＝，

则即

取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)．

所以cos〈n1，n2〉＝＝.

所以平面AEF与平面ABC夹角的余弦值为.

9.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．

解　以点A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)，

∴＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)，

∴cos〈，〉＝＝，

∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.

10．四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．

(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；

(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成角的大小．

(1)证明　如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，

设AB＝a，PD＝h，

则A(a，0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，

∴＝(－a，a，0)，＝(0,0，h)，＝(a，a，0)，

∴·＝0，·＝0，

∴AC⊥DP，AC⊥DB，又DP∩DB＝D，DP，DB⊂平面PDB，

∴AC⊥平面PDB，

又AC⊂平面AEC，

∴平面AEC⊥平面PDB.

(2)解　当PD＝AB且E为PB的中点时，

P(0,0，a)，E，

设AC∩BD＝O，O，

连接OE，由(1)知AC⊥平面PDB，

∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，

∵＝，＝，

∴cos∠AEO＝＝，

∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成角的大小为45°.

11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，

则＝(－2,2,1)，＝(0，－2,1)，

所以cos〈，〉＝

＝＝－.

所以所求角的余弦值为.

12．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为(　　)

A．60°   B．90°

C．45°   D．以上都不对

答案　B

解析　以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．

由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，

所以＝(0,1，－1)，＝(1,1，－1)，＝(0，－1，－1)．

设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则得

令z＝1，得y＝1，x＝0，所以n＝(0,1,1)，

cos〈n，〉＝＝＝－1，

设直线与平面A1ED1所成角为θ，则sin θ＝1，

所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.

13．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.

答案　

解析　平面xOy的法向量n＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，则

即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝.

而cos〈n，u〉＝＝，又∵a>0，∴a＝.

14．已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则平面ABD与平面BDC夹角的余弦值为____．

答案　

解析　取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系．

设BC＝1，则A，B，D.

所以＝，＝，＝.

由于＝为平面BCD的一个法向量．

设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，

则所以

取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，

所以cos〈n，〉＝.

15．如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝，则异面直线AC与VD所成角的余弦值为________．

答案　

解析　∵AC＝BC＝2，D是AB的中点，

∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．

当θ＝时，在Rt△VCD中，CD＝，

∴V(0,0，)，

∴＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)，

∴cos〈，〉＝＝＝－.

∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为.

16.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点．

(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值；

(2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值；

(3)求平面B1EDF与平面ABCD夹角的余弦值．

解　以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.

(1)A1(0,0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E，

∴＝(a，a，－a)，＝，

∴cos〈，〉＝＝，

故A1C与DE所成角的余弦值为.

(2)连接DB1，∵∠ADE＝∠ADF，

∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上．

又四边形B1EDF为菱形，∴DB1为∠EDF的平分线，

故直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1.

由A(0,0,0)，B1(a，0，a)，D(0，a，0)，

得＝(0，－a，0)，＝(a，－a，a)，

∴cos〈，〉＝＝，

又直线与平面所成角的范围是，

故直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值为.

(3)由已知得A(0,0,0)，A1(0,0，a)，B1(a，0，a)，D(0，a，0)，E，

则＝，＝，

平面ABCD的一个法向量为m＝＝(0,0，a)．

设平面B1EDF的一个法向量为n＝(1，y，z)，

由得

∴n＝(1,2,1)，∴cos〈n，m〉＝＝，

∴平面B1EDF与平面ABCD夹角的余弦值为.