高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第1章 再练一课(范围：1.4.1)(含解析)

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再练一课(范围：1.4.1)1．若平面α与β的法向量分别是a＝(1,0，－2)，b＝(－1,0,2)，则平面α与β的位置关系是(　　)A．平行   B．垂直C．相交不垂直   D．无法判断答案　A解析　∵a＝(1,0，－2)，b＝(－1,0,2)，∴a＋b＝0，由此可得a∥b，∴平面α与β的法向量平行，可得平面α与β互相平行．2．已知直线l的方向向量a＝(－1,2,4)，平面α的法向量b＝(－2,4,8)，则直线l与平面α的位置关系是(　　)A．l∥α   B．l⊥αC．l⊂α   D．l∈α答案　B解析　∵b＝2a，∴则b与a共线，可得，l⊥α.3．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　)A．相交   B．平行C．在平面内   D．平行或在平面内答案　D解析　∵＝λ＋μ，∴，，共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．4．(多选)已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，点D满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为(　　)A．(1,1,1)   B.C.   D.答案　AD解析　设D(x，y，z)，则＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y，z)，＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)，＝(0，－1,1)．又DB⊥AC⇔－x＋z＝0，①DC⊥AB⇔－x＋y＝0，②AD＝BC⇔(x－1)2＋y2＋z2＝2，③联立①②③得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－，所以点D的坐标为(1,1,1)或.故选AD.5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是(　　)A．重合   B．垂直C．平行   D．无法确定答案　B解析　＝＋＋，＝＋＝－(＋)．设正方体的棱长为1，于是·＝(＋＋)·＝0－－0＋0－0－＋1－0－0＝0，故⊥，即AC1与CE垂直．6.如图，在正三棱锥S－ABC中，点O是△ABC的外心，点D是棱BC的中点，则平面ABC的一个法向量可以是________，平面SAD的一个法向量可以是________．答案　　解析　由题意知SO⊥平面ABC，BC⊥平面SAD.因此平面ABC的一个法向量可以是，平面SAD的一个法向量可以是.7．若a＝(2x，1,3)，b＝(1，－2y，9)，且a与b为共线向量，则x＝________，y＝________.答案　　－解析　由题意得＝＝，∴x＝，y＝－.8．已知空间三点A(－1,1,1)，B(0,0,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．答案　解析　设M(x，y，z)，∵＝(1，－1,0)，＝(x，y，z－1)， ＝(x－1，y－2，z＋3)，由题意，得∴x＝－，y＝，z＝1，∴点M的坐标为.9．如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.证明　如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO⊂平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，OB，OO1，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2，0)．所以＝(1,2，－)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)．因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0.·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0.所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.又因为BA1∩BD＝B，BA1，BD⊂平面A1BD，所以AB1⊥平面A1BD.10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，利用向量法证明：(1)MN∥平面CC1D1D；(2)平面MNP∥平面CC1D1D.证明　(1)以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)．由正方体的性质知AD⊥平面CC1D1D，所以＝(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量．由于＝(0,1，－1)，则·＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥.又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.(2)方法一　由于＝(0,2,0)，＝(0,2,0)，所以∥，即MP∥DC.由于MP⊄平面CC1D1D，DC⊂平面CC1D1D，所以MP∥平面CC1D1D.又由(1)，知MN∥平面CC1D1D，MN∩MP＝M，MN，MP⊂平面CC1D1D，所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP∥平面CC1D1D.方法二　＝(0,1，－1)，＝(0,2,0)，设平面MNP的法向量为n＝(x，y，z)，则所以取n＝(1,0,0)，因为＝2n，所以DA∥n，所以平面MNP∥CC1D1D.11．已知＝(－3,1,2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2，4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为(　　)A．AB⊥α   B．AB⊂αC．AB与α相交但不垂直   D．AB∥α答案　D解析　因为n·＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n⊥.又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α.12.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC＝2，E是PC的中点，则CD与AE的位置关系________．答案　垂直解析　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(1，，0)，D，P(0,0,2)，E，所以＝，＝，所以·＝－1×＋×＋0×1＝0，所以CD⊥AE.13．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________．答案　解析　以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设||＝a，||＝b，点P坐标为(0,0，b)，则B1(a，0,1)，D(0,1,0)，E，＝(a，0,1)，＝，＝(0，－1，b)，∵DP∥平面B1AE，∴存在实数λ，μ，设＝λ＋μ，即(0，－1，b)＝λ(a，0,1)＋μ＝，∴∴b＝λ＝，即AP＝.14.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________.答案　a或2a解析　建立空间直角坐标系，如图所示，依题意得B1(0,0,3a)，D，C(0，a，0)．＝，设E(a，0，z)(0≤z≤3a)，则＝(a，－a，z)，＝(a，0，z－3a)．·＝0，要使CE⊥平面B1DE，即B1E⊥CE，得·＝2a2－0＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a.15.如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a＝________.答案　2解析　如图，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，a，0)，设Q(1，x，0)(0≤x≤a)，P(0,0，z)，则＝(1，x，－z)，＝(－1，a－x，0)，由PQ⊥QD，得－1＋x(a－x)＝0，即x2－ax＋1＝0，由题意知方程x2－ax＋1＝0只有一解．∴Δ＝a2－4＝0，a＝2，这时x＝1∈[0，a]，满足题意．16.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝AD.(1)求证：CD⊥平面PAC；(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．(1)证明　因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD，所以PA⊥底面ABCD.又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD＝2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．(1)＝(0,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,1,0)，可得·＝0，·＝0，所以AP⊥CD，AC⊥CD.又因为AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC.(2)解　设侧棱PA的中点是E，则E，＝.设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则因为＝(－1,1,0)，＝(0,2，－1)，所以取x＝1，则y＝1，z＝2，所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,2)．所以n·＝(1,1,2)·＝0，所以n⊥.因为BE⊄平面PCD，所以BE∥平面PCD.综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD.