高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第1章 微专题1 数形结合的桥梁 空间直角坐标系(含解析)

微专题1　数形结合的桥梁——空间直角坐标系

利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的四种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如．

一、利用共顶点的互相垂直的三条棱

例1　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(1,1，)，D1(0,0，)，

所以＝(－1,0，)，＝(1,1，)，

因为cos〈，〉＝＝＝.

所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.

反思感悟　本例以长方体为背景，求异面直线所成角．显然可以是从长方体中的共点的三条棱互相垂直关系处着手，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可．

二、利用线面垂直关系

例2　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，E为棱C1C的中点，已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．

解　过点B作BP垂直BB1交C1C于点P，

因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BP，AB⊥BB1，

以B为坐标原点，分别以BP，BB1，BA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz.

因为AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝，

所以CP＝，C1P＝，BP＝，则各点坐标分别为

B(0,0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，C，

C1，E，A1(0,2，)，P.

(答案不唯一)

反思感悟　空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的垂直关系“AB⊥平面BB1C1C”，可作为建系的突破口．

三、利用面面垂直关系

例3　如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成角的余弦值是________．

答案　

解析　由题设易知，AB，AD，AQ两两垂直．以A为原点，AB，AD，AQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

设正方形边长为2，则A(0,0,0)，E(1,0,0)，M(0,1,2)，F(2,1,0)，

＝(－1,1,2)，＝(2,1,0)，

cos 〈，〉＝＝＝，

又异面直线所成的角为锐角或直角，

所以异面直线EM与AF所成角的余弦值为.

反思感悟　本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系．

四、利用底面的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系

例4　如图所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O.

(1)求证：平面O1DC⊥平面ABCD；

(2)若点E，F分别在棱AA1，BC上，且AE＝2EA1，问点F在何处时，EF⊥AD?

(1)证明　如图所示，以O为坐标原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

设OA＝1，OA1＝a.

则A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0，a)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，O1(－1,0，a)．

则＝(0,0，－a)，

∴O1C∥z轴，又z轴和平面ABCD垂直，

∴O1C⊥平面ABCD，

又O1C⊂平面O1DC，

∴平面O1DC⊥平面ABCD.

(2)解　由(1)可知，＝，＝(－1,0，a)，＝＝(－1，－1,0)．

设＝γ，则＝(－γ，－γ，0)，故点F的坐标为(－γ，1－γ，0)，∴＝.

EF⊥AD⇔·＝0，而·＝－－γ－γ＋1＝0，解得γ＝.

故当F为BC的三等分点(靠近B)时，有EF⊥AD.

反思感悟　依托于平行六面体的高所在直线与底面正方形的两对角线便可建立空间直角坐标系．