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高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第2章 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(含解析)
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这是一份高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第2章 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(含解析),共10页。
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定学习目标 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.知识点一 两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1=α2≠90°α1=α2=90°对应关系l1∥l2⇔k1=k2l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在图示 知识点二 两条直线垂直的判定图示对应关系l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2=-1l1的斜率不存在,l2的斜率为0⇔l1⊥l2 思考 两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗?答案 不是,垂直于x轴的两条直线,虽然平行,但斜率不存在.1.若l1∥l2,则k1=k2.( × )2.若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直.( × )3.若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行.( √ )一、两条直线平行的判定例1 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD是否为平行四边形,并给出证明.解 四边形ABCD是平行四边形,证明如下:AB边所在直线的斜率kAB=-,CD边所在直线的斜率kCD=-,BC边所在直线的斜率kBC=,DA边所在直线的斜率kDA=.因为kAB=kCD,kBC=kDA,所以AB∥CD,BC∥DA.因此四边形ABCD是平行四边形.反思感悟 判断两条不重合的直线是否平行的方法跟踪训练1 (1)已知l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5),判断直线l1与l2是否平行.解 ∵l1与l2都与x轴垂直,且l1与l2不重合,∴l1∥l2.(2)试确定m的值,使过点A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点C(-4,3),D(0,5)的直线平行.解 由题意直线CD的斜率存在,则与其平行的直线AB的斜率也存在.kAB==,kCD==,由于AB∥CD,所以kAB=kCD,即=,得m=-2.经验证m=-2时直线AB的斜率存在,所以m=-2.二、两条直线垂直的判定例2 已知△ABC的顶点为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,求m的值.解 若∠A为直角,则AC⊥AB,∴kAC·kAB=-1,即·=-1,解得m=-7;若∠B为直角,则AB⊥BC,∴kAB·kBC=-1,即·=-1,解得m=3;若∠C为直角,则AC⊥BC,∴kAC·kBC=-1,即·=-1,解得m=±2.综上所述,m=-7或m=3或m=±2.反思感悟 判断两条直线是否垂直在这两条直线都有斜率的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可,但应注意有一条直线与x轴垂直,另一条直线与x轴平行或重合时,这两条直线也垂直.跟踪训练2 判断下列各题中l1与l2是否垂直.(1)l1的斜率为-10,l2经过点A(10,2),B(20,3);(2)l1经过点A(3,4),B(3,10),l2经过点M(-10,40),N(10,40).解 (1)k1=-10,k2==,k1k2=-1,∴l1⊥l2.(2)l1的倾斜角为90°,则l1⊥x轴;k2==0,则l2∥x轴,∴l1⊥l2.垂直与平行的综合应用典例 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判定图形ABCD的形状.解 由题意知A,B,C,D四点在坐标平面内的位置,如图所示,由斜率公式可得kAB==,kCD==,kAD==-3,kBC==-.所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,所以AB∥CD.由kAD≠kBC,所以AD与BC不平行.又因为kAB·kAD=×(-3)=-1,所以AB⊥AD,故四边形ABCD为直角梯形.[素养提升] 用代数运算解决几何图形问题(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法,先由图形作出猜测,然后利用直线的斜率关系进行判定.(2)明确运算对象,探究运算思路,是对逻辑推理与数学运算核心素养的考查.1.若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与过点M(2,-1)和点N(-3,4)的直线平行,则m的值是( )A. B.- C.2 D.-2答案 B解析 由kPQ=kMN,即=,得m=-.经检验知,m=-符合题意.2.已知直线l1的斜率为a,l2⊥l1,则l2的斜率为( )A. B.-C.a D.-或不存在答案 D解析 当a≠0时,由k1·k2=-1知,k2=-,当a=0时,l2的斜率不存在.3.已知两条直线l1,l2的斜率是方程3x2+mx-3=0(m∈R)的两个根,则l1与l2的位置关系是( )A.平行 B.垂直C.可能重合 D.无法确定答案 B解析 由方程3x2+mx-3=0,知Δ=m2-4×3×(-3)=m2+36>0恒成立.故方程有两相异实根,即l1与l2的斜率k1,k2均存在.设两根为x1,x2,则k1k2=x1x2=-1,所以l1⊥l2,故选B.4.(多选)若l1与l2为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别是α1,α2,斜率分别为k1,k2,则下列命题正确的是( )A.若l1∥l2,则斜率k1=k2B.若k1=k2,则l1∥l2C.若l1∥l2,则倾斜角α1=α2D.若α1=α2,则l1∥l2答案 ABCD5.若不同两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线的斜率为________.答案 -1解析 若a=3-b,则P,Q两点重合,不合题意.故PQ斜率存在.由kPQ==1,得线段PQ的垂直平分线的斜率为-1.1.知识清单:两直线平行或垂直的条件.2.方法归纳:分类讨论,数形结合.3.常见误区:研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况.1.过点A(2,5)和点B(-4,5)的直线与直线y=3的位置关系是( )A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对答案 B解析 斜率都为0且不重合,所以平行.2.已知过A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值是( )A.-8 B.0 C.2 D.10答案 A解析 由题意可知,kAB==-2,所以m=-8.3.直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2过点(-1,1)且与y轴交于点P,则P点坐标为( )A.(3,0) B.(-3,0)C.(0,-3) D.(0,3)答案 D解析 设P(0,y),因为l1∥l2,所以=2,所以y=3.即P(0,3).4.若直线l经过点(a-2,-1)和(-a-2,1),且与斜率为-的直线垂直,则实数a的值为( )A.- B.- C. D.答案 A解析 易知a=0不符合题意.当a≠0时,直线l的斜率k==-,由-·=-1,得a=-,故选A.5.(多选)设点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四个结论正确的是( )A.PQ∥SR B.PQ⊥PSC.PS∥QS D.PR⊥QS答案 ABD解析 由斜率公式知,kPQ==-,kSR==-,kPS==,kQS==-4,kPR==,∴PQ∥SR,PQ⊥PS,PR⊥QS.而kPS≠kQS,∴PS与QS不平行,故ABD正确.6.若经过点(m,3)和(2,m)的直线l与斜率为-4的直线互相垂直,则m的值是________.答案 解析 由题意可知kl=,又因为kl=,所以=,解得m=.7.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根,若l1⊥l2,则m=________,若l1∥l2,则m=________.答案 -2 2解析 由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2=,若l1⊥l2,则=-1,∴m=-2.若l1∥l2,则k1=k2,即关于k的二次方程2k2-4k+m=0有两个相等的实根,∴Δ=(-4)2-4×2×m=0,∴m=2.8.已知点A(-3,-2),B(6,1),点P在y轴上,且∠BAP=90°,则点P的坐标是________.答案 (0,-11)解析 设P(0,y),由∠BAP=90°知,kAB·kAP=×==-1,解得y=-11.所以点P的坐标是(0,-11).9.当m为何值时,过两点A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直线:(1)倾斜角为135°;(2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直;(3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行.解 (1)由kAB==tan 135°=-1,解得m=-或m=1.(2)由kAB=,且=3,则=-,解得m=或m=-3.(3)令==-2,解得m=或m=-1.经检验,当m=或m=-1时,均符合题意.10.已知▱ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).(1)求点D的坐标;(2)试判定▱ABCD是否为菱形?解 (1)设D点坐标为(a,b),因为四边形ABCD为平行四边形,所以kAB=kCD,kAD=kBC,所以 解得所以D(-1,6).(2)因为kAC==1,kBD==-1,所以kAC·kBD=-1,所以AC⊥BD,所以▱ABCD为菱形.11.(多选)已知点A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线AB与直线CD平行,则m的值为( )A.-1 B.0C.1 D.2答案 BC解析 当m=0时,直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合,此时AB∥CD.当m≠0时,kAB=,kCD=,则kAB=kCD,即=,得m=1,∴m=0或1.12.如图所示,在平面直角坐标系中,以O(0,0),A(1,1),B(3,0)为顶点构造平行四边形,下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( )A.(-3,1) B.(4,1)C.(-2,1) D.(2,-1)答案 A解析 如图所示,因为经过三点可构造三个平行四边形,即▱AOBC1,▱ABOC2,▱AOC3B.根据平行四边形的性质,可知B,C,D分别是点C1,C2,C3的坐标,故选A.13.若点P(a,b)与Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则l的倾斜角为( )A.135° B.45° C.30° D.60°答案 B解析 若a=b-1,则P,Q重合,不合题意,故直线PQ斜率存在.kPQ==-1,kPQ·kl=-1,∴l的斜率为1,倾斜角为45°.14.下列直线l1与直线l2(l1与l2不重合)平行的有________.(填序号)①l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7);②l1的斜率为2,l2经过点A(1,1),B(2,2);③l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,),N(-2,-2);④l1经过点E(2,6),F(2,3),l2经过点P(-3,-3),Q(-3,-6).答案 ①③④解析 ①∵kAB==-,kCD==-,∴kAB=kCD,∴l1∥l2.②∵==1≠=2,∴l1不平行于l2.③∵=tan 60°=,==,∴,∴l1∥l2.④l1,l2的斜率均不存在,∴l1∥l2.15.直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则m=________.答案 4+解析 如图,直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,∴直线l1的斜率k1=tan 60°=.由l1∥l2知,直线l2的斜率k2=k1=.∴直线AB的斜率存在,且kAB=-=-.∴==-,解得m=4+.16.已知△ABC三个顶点坐标分别为A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率.解 由斜率公式可得kAB==,kBC==0,kAC==5.由kBC=0知直线BC∥x轴,∴BC边上的高线与x轴垂直,其斜率不存在.设AB,AC边上高线的斜率分别为k1,k2,由k1·kAB=-1,k2·kAC=-1,即k1·=-1,k2·5=-1,解得k1=-,k2=-.∴BC边上的高所在直线的斜率不存在;AB边上的高所在直线的斜率为-;AC边上的高所在直线的斜率为-.
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