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    高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第2章 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(含解析)

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    这是一份高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第2章 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(含解析),共10页。
    21.2 两条直线平行和垂直的判定学习目标 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.知识点一 两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1α290°α1α290°对应关系l1l2k1k2l1l2两直线的斜率都不存在图示 知识点二 两条直线垂直的判定图示对应关系l1l2(两直线的斜率都存在)k1k2=-1l1的斜率不存在,l2的斜率为0l1l2 思考 两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗?答案 不是,垂直于x轴的两条直线,虽然平行,但斜率不存在.1l1l2,则k1k2.( × )2.若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直.( × )3.若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行.(  )一、两条直线平行的判定1 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)B(2,-1)C(4,2)D(2,3),试判断四边形ABCD是否为平行四边形,并给出证明.解 四边形ABCD是平行四边形,证明如下:AB边所在直线的斜率kAB=-CD边所在直线的斜率kCD=-BC边所在直线的斜率kBCDA边所在直线的斜率kDA.因为kABkCDkBCkDA,所以ABCDBCDA.因此四边形ABCD是平行四边形.反思感悟 判断两条不重合的直线是否平行的方法跟踪训练1 (1)已知l1经过点A(3,2)B(3,10)l2经过点M(5,-2)N(5,5),判断直线l1l2是否平行.解 l1l2都与x轴垂直,且l1l2不重合,l1l2.(2)试确定m的值,使过点A(m1,0)B(5m)的直线与过点C(4,3)D(0,5)的直线平行.解 由题意直线CD的斜率存在,则与其平行的直线AB的斜率也存在.kABkCD,由于ABCD,所以kABkCD,即,得m=-2.经验证m=-2时直线AB的斜率存在,所以m=-2.二、两条直线垂直的判定2 已知ABC的顶点为A(5,-1)B(1,1)C(2m),若ABC为直角三角形,求m的值.解 A为直角,则ACABkAC·kAB=-1·=-1,解得m=-7B为直角,则ABBCkAB·kBC=-1·=-1,解得m3C为直角,则ACBCkAC·kBC=-1·=-1,解得m±2.综上所述,m=-7m3m±2.反思感悟 判断两条直线是否垂直在这两条直线都有斜率的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可,但应注意有一条直线与x轴垂直,另一条直线与x轴平行或重合时,这两条直线也垂直.跟踪训练2 判断下列各题中l1l2是否垂直.(1)l1的斜率为-10l2经过点A(10,2)B(20,3)(2)l1经过点A(3,4)B(3,10)l2经过点M(10,40)N(10,40)解 (1)k1=-10k2k1k2=-1l1l2.(2)l1的倾斜角为90°,则l1x轴;k20,则l2x轴,l1l2.垂直与平行的综合应用典例 已知A(4,3)B(2,5)C(6,3)D(3,0)四点,若顺次连接ABCD四点,试判定图形ABCD的形状.解 由题意知ABCD四点在坐标平面内的位置,如图所示,由斜率公式可得kABkCDkAD=-3kBC=-.所以kABkCD,由图可知ABCD不重合,所以ABCD.kADkBC所以ADBC不平行.又因为kAB·kAD×(3)=-1所以ABAD故四边形ABCD为直角梯形.[素养提升] 用代数运算解决几何图形问题(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法,先由图形作出猜测,然后利用直线的斜率关系进行判定.(2)明确运算对象,探究运算思路,是对逻辑推理与数学运算核心素养的考查.1.若过点P(3,2m)和点Q(m2)的直线与过点M(2,-1)和点N(3,4)的直线平行,则m的值是(  )A.  B.-  C2  D.-2答案 B解析 kPQkMN,即,得m=-.经检验知,m=-符合题意.2.已知直线l1的斜率为al2l1,则l2的斜率为(  )A.   B.-Ca   D.-或不存在答案 D解析 a0时,由k1·k2=-1知,k2=-a0时,l2的斜率不存在.3.已知两条直线l1l2的斜率是方程3x2mx30(mR)的两个根,则l1l2的位置关系是(  )A.平行   B.垂直C.可能重合   D.无法确定答案 B解析 由方程3x2mx30,知Δm24×3×(3)m236>0恒成立.故方程有两相异实根,即l1l2的斜率k1k2均存在.设两根为x1x2,则k1k2x1x2=-1,所以l1l2,故选B.4(多选)l1l2为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别是α1α2,斜率分别为k1k2,则下列命题正确的是(  )A.若l1l2,则斜率k1k2B.若k1k2,则l1l2C.若l1l2,则倾斜角α1α2D.若α1α2,则l1l2答案 ABCD5.若不同两点PQ的坐标分别为(ab)(3b3a),则线段PQ的垂直平分线的斜率为________答案 1解析 a3b,则PQ两点重合,不合题意.故PQ斜率存在.由kPQ1得线段PQ的垂直平分线的斜率为-1.1知识清单:两直线平行或垂直的条件.2.方法归纳:分类讨论,数形结合.3.常见误区:研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况.1.过点A(2,5)和点B(4,5)的直线与直线y3的位置关系是(  )A.相交  B.平行  C.重合  D.以上都不对答案 B解析 斜率都为0且不重合,所以平行.2.已知过A(2m)B(m4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值是(  )A.-8  B0  C2  D10答案 A解析 由题意可知,kAB=-2,所以m=-8.3.直线l1的斜率为2l1l2,直线l2过点(1,1)且与y轴交于点P,则P点坐标为(  )A(3,0)   B(3,0)C(0,-3)   D(0,3)答案 D解析 P(0y),因为l1l2,所以2,所以y3.P(0,3)4.若直线l经过点(a2,-1)(a2,1),且与斜率为-的直线垂直,则实数a的值为(  )A.-  B.-  C.  D.答案 A解析 易知a0不符合题意.a0时,直线l的斜率k=-由-·=-1,得a=-,故选A.5(多选)设点P(4,2)Q(6,-4)R(12,6)S(2,12),下面四个结论正确的是(  )APQSR   BPQPSCPSQS   DPRQS答案 ABD解析 由斜率公式知,kPQ=-kSR=-kPSkQS=-4kPRPQSRPQPSPRQS.kPSkQSPSQS不平行,故ABD正确.6.若经过点(m3)(2m)的直线l与斜率为-4的直线互相垂直,则m的值是________答案 解析 由题意可知kl,又因为kl所以,解得m.7.直线l1l2的斜率k1k2是关于k的方程2k24km0的两根,若l1l2,则m________,若l1l2,则m________.答案 2 2解析 由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2l1l2,则=-1m=-2.l1l2,则k1k2,即关于k的二次方程2k24km0有两个相等的实根,Δ(4)24×2×m0m2.8.已知点A(3,-2)B(6,1),点Py轴上,且BAP90°,则点P的坐标是________答案 (0,-11)解析 P(0y),由BAP90°知,kAB·kAP×=-1解得y=-11.所以点P的坐标是(0,-11)9.当m为何值时,过两点A(1,1)B(2m21m2)的直线:(1)倾斜角为135°(2)与过两点(3,2)(0,-7)的直线垂直;(3)与过两点(2,-3)(4,9)的直线平行.解 (1)kABtan 135°=-1解得m=-m1.(2)kAB,且3=-,解得mm=-3.(3)=-2,解得mm=-1.经检验,当mm=-1时,均符合题意.10.已知ABCD中,A(1,2)B(5,0)C(3,4)(1)求点D的坐标;(2)试判定ABCD是否为菱形?解 (1)D点坐标为(ab),因为四边形ABCD为平行四边形,所以kABkCDkADkBC所以  解得所以D(1,6)(2)因为kAC1kBD=-1所以kAC·kBD=-1所以ACBD,所以ABCD为菱形.11(多选)已知点A(m3)B(2mm4)C(m1,2)D(10),且直线AB与直线CD平行,则m的值为(  )A.-1   B0C1   D2答案 BC解析 m0时,直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合,此时ABCD.m0时,kABkCDkABkCD,即,得m1m01.12.如图所示,在平面直角坐标系中,以O(0,0)A(1,1)B(3,0)为顶点构造平行四边形,下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(  )A(3,1)   B(4,1)C(2,1)   D(2,-1)答案 A解析 如图所示,因为经过三点可构造三个平行四边形,即AOBC1ABOC2AOC3B.根据平行四边形的性质,可知BCD分别是点C1C2C3的坐标,故选A.13.若点P(ab)Q(b1a1)关于直线l对称,则l的倾斜角为(  )A135°  B45°  C30°  D60°答案 B解析 ab1,则PQ重合,不合题意,故直线PQ斜率存在.kPQ=-1kPQ·kl=-1l的斜率为1,倾斜角为45°.14.下列直线l1与直线l2(l1l2不重合)平行的有________(填序号)l1经过点A(2,1)B(3,5)l2经过点C(3,-3)D(8,-7)l1的斜率为2l2经过点A(1,1)B(2,2)l1的倾斜角为60°l2经过点M(1)N(2,-2)l1经过点E(2,6)F(2,3)l2经过点P(3,-3)Q(3,-6)答案 ①③④解析 ①∵kAB=-kCD=-kABkCDl1l2.②∵12l1不平行于l2.③∵tan 60°l1l2.l1l2的斜率均不存在,l1l2.15.直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1m1)B(m2),则m________.答案 4解析 如图,直线l1的倾斜角为30°30°60°直线l1的斜率k1tan 60°.l1l2知,直线l2的斜率k2k1.直线AB的斜率存在,且kAB=-=-.=-解得m4.16.已知ABC三个顶点坐标分别为A(2,-4)B(6,6)C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率.解 由斜率公式可得kABkBC0kAC5.kBC0知直线BCx轴,BC边上的高线与x轴垂直,其斜率不存在.ABAC边上高线的斜率分别为k1k2k1·kAB=-1k2·kAC=-1k1·=-1k2·5=-1解得k1=-k2=-.BC边上的高所在直线的斜率不存在;AB边上的高所在直线的斜率为-AC边上的高所在直线的斜率为-.

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