高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第2章 2.2.2 直线的两点式方程(含解析)

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2．2.2　直线的两点式方程学习目标　1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求线段的中点坐标．知识点　直线的两点式方程和截距式方程名称两点式截距式条件两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2)在x，y轴上的截距分别为a，b( a≠0，b≠0)示意图方程＝＋＝1适用范围斜率存在且不为0斜率存在且不为0，不过原点 思考1　过点(x0，y0)且斜率为0的直线有两点式方程吗？答案　没有．其方程为y＝y0.思考2　方程－＝1是直线的截距式方程吗？答案　不是．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1.1．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示．(　×　)2．能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(　√　)3．直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.(　√　)4．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　√　)一、直线的两点式方程例1　已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，(1)求BC边所在的直线方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．解　(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0.(2)设BC的中点为M(a，b)，则a＝＝，b＝＝－3，所以M，又BC边的中线过点A(－3,2)，所以＝，即10x＋11y＋8＝0，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.延伸探究若本例条件不变，试求BC边的垂直平分线所在的直线方程．解　kBC＝＝－，则BC边的垂直平分线的斜率为，又BC的中点坐标为，由点斜式方程可得y＋3＝，即10x－4y－37＝0.反思感悟　利用两点式求直线的方程(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式．(2) 若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．跟踪训练1　(1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为________．答案　4x＋5y＋3＝0解析　因为直线过点(－2,1)和(3，－3)，所以＝，所以＝，化简得4x＋5y＋3＝0.(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m，1)，求这条直线的方程．解　由直线经过点A(1,0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．(1)当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；(2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0.综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.二、直线的截距式方程例2　求过点A(5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0.(2)当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为＋＝1，即x－y＝a，又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，解得a＝3，∴l的方程为x－y－3＝0.综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.延伸探究　(变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0，符合题意．(2)当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1，又l过点(5,2)，∴＋＝1，解得a＝.∴l的方程为x＋2y－9＝0.综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x＋2y－9＝0.反思感悟　截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．跟踪训练2　(多选)过点(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(　　)A．y＝x   B．x＋y＝5C．y＝－x   D．x＋y＋5＝0答案　AB解析　设直线在两坐标轴上的截距分别为a，b.当a＝b≠0时，直线方程为＋＝1，∴＋＝1，∴a＝5，∴x＋y＝5，当a＝b＝0时，k＝，∴y＝x，综上所述，y＝x和x＋y＝5.直线方程的灵活应用典例　已知△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠ABC，∠ACB的平分线方程分别为x＝0，y＝x.(1)求直线BC的方程；(2)求直线AB的方程．解　如图．(1)因为∠ABC，∠ACB的平分线方程分别是x＝0，y＝x，所以AB与BC关于x＝0对称，AC与BC关于y＝x对称．A(3，－1)关于x＝0的对称点A′(－3，－1)在直线BC上，A关于y＝x的对称点A″(－1,3)也在直线BC上．由两点式求得直线BC的方程为y＝2x＋5.(2)因为直线AB与直线BC关于x＝0对称，所以直线AB与BC的斜率互为相反数，由(1)知直线BC的斜率为2，所以直线AB的斜率为－2，又因为点A的坐标为(3，－1)，所以直线AB的方程为y－(－1)＝－2(x－3)，即2x＋y－5＝0.[素养提升]　(1)理解题目条件，角的两边关于角平分线对称．(2)画出图形，借助图形分析A关于直线x＝0的对称点A′在BC上，A关于y＝x的对称点A″也在BC上，体现了直观想象的数学核心素养．(3)分别求出A′，A″两点的坐标，再根据两点式求出BC边所在直线方程，突出体现了数学运算的数学核心素养．1．在x轴，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是(　　)A.＋＝1   B.＋＝1C.－＝1   D.＋＝1答案　A2．经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为(　　)A．x＝2  B．y＝2  C．x＝3  D．x＝6答案　B解析　由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B.3．过坐标平面内两点P1(2,0)，P2(0,3)的直线方程是(　　)A.＋＝1   B.＋＝0C.＋＝1   D.－＝1答案　C4．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________________________．答案　2x－y＝0或x－y＋1＝0解析　当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；当在坐标轴上的截距不为零时，可设直线方程为－＝1，将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，得直线方程为x－y＋1＝0.∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.5．已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为________．答案　2x－y＋1＝0解析　AB的中点坐标为(1,3)，由直线的两点式方程可得＝，即2x－y＋1＝0.1．知识清单：(1)直线的两点式方程．(2)直线的截距式方程．2．方法归纳：分类讨论法、数形结合法．3．常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解．1．(多选)下列说法中不正确的是(　　)A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)来表示B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b来表示C．不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成截距式D．不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式答案　ABC2．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是(　　)A．x＋y＋1＝0   B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0   D．x－y－1＝0答案　D解析　由直线的两点式方程，得＝，化简得x－y－1＝0.3．直线－＝1在y轴上的截距是(　　)A．|b|   B．－b2C．b2   D．±b答案　B解析　令x＝0，得y＝－b2.4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为(　　)A．－  B．－  C.  D．2答案　A解析　由两点式＝，得y＝2x＋3，令y＝0，得x＝－，即为在x轴上的截距．5．若直线l过点(－1，－1)和(2,5)，且点(1 010，b)在直线l上，则b的值为(　　)A．2 021   B．2 020C．2 019   D．2 018答案　A解析　由直线的两点式方程得直线l的方程为＝，即y＝2x＋1，令x＝1 010，则有b＝2×1 010＋1，即b＝2 021.6．过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________．答案　3x＋y－6＝0解析　由题意知直线过点(2,0)，又直线过点(1,3)，由两点式可得，＝，整理得3x＋y－6＝0.7．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是________________．答案　＋＝1解析　设A(m，0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，即A，B的坐标分别为(2,0)，(0,6)，则l的截距式方程是＋＝1.8．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.答案　－2解析　由直线方程的两点式，得＝，即＝.∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，∵点P(3，m)在直线AB上，∴m＋1＝－3＋2，得m＝－2.9．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．解　设直线方程的截距式为＋＝1.则＋＝1，解得a＝2或a＝1，则直线方程是＋＝1或＋＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.10．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的截距式方程．解　(1)设C(x0，y0)，则AC边的中点为M，BC边的中点为N，因为M在y轴上，所以＝0，解得x0＝－5.又因为N在x轴上，所以＝0，解得y0＝－3.即C(－5，－3)．(2)由(1)可得M，N(1,0)，所以直线MN的截距式方程为＋＝1.11．直线＋＝1过第一、三、四象限，则(　　)A．a>0，b>0   B．a>0，b<0C．a<0，b>0   D．a<0，b<0答案　B12．若直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距都是负数，则(　　)A．l的倾斜角为锐角且不过第二象限B．l的倾斜角为钝角且不过第一象限C．l的倾斜角为锐角且不过第四象限D．l的倾斜角为钝角且不过第三象限答案　B解析　依题意知，直线l的截距式方程为＋＝1(a>0，b>0)，显然直线l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.13．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)答案　A解析　两条直线化为截距式分别为＋＝1，＋＝1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A符合．14．在y轴上的截距是－3，且经过A(2，－1)，B(6,1)中点的直线方程为(　　)A.＋＝1   B.－＝1C.＋＝1   D.－＝1答案　B解析　A(2，－1)，B(6,1)的中点坐标为(4,0)，即可设直线的截距式方程为＋＝1，将点(4,0)代入方程得a＝4，则该直线的方程为－＝1.15．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．答案　3解析　直线AB的方程为＋＝1，设P(x，y)，则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3.即当P点坐标为时，xy取得最大值3.16．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程．解　∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)，则直线方程为＋＝1，即x＋y－a＝0.∵|a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6，∴直线方程为x＋y±6＝0.若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a(a≠0)，故直线方程为＋＝1，即x－y－a＝0.∵|－a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6，∴直线方程为x－y±6＝0.综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0.