高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第2章 2.5.1 第1课时 直线与圆的位置关系(含解析)

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§2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系2．5.1　直线与圆的位置关系第1课时　直线与圆的位置关系学习目标　1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．知识点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d＝d<rd＝rd>r代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0 思考　几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？答案　“几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”， 判断直线与圆的位置关系，一般用几何法．1．若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　×　)2．如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．(　√　)3．若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．(　√　)4．过圆外一点的直线与圆相离．(　×　)一、直线与圆的位置关系的判断例1　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．解　方法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.则Δ＝4m(3m＋4)．当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．方法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝ .当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．反思感悟　直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．跟踪训练1　(1)已知圆C: x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则(　　)A．l与C相交   B．l与C相切C．l与C相离   D．以上三个选项均有可能答案　A解析　将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3,0)在圆内．∴过点P的直线l必与圆C相交．(2)设m＞0，则直线l：(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为(　　)A．相切   B．相交C．相切或相离   D．相交或相切答案　C解析　圆心到直线l的距离为d＝，圆的半径为r＝，∵d－r＝－＝(m－2＋1)＝(－1)2≥0，∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离．二、圆的弦长问题例2　(1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．答案　解析　由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝＝，则有|AB|＝2＝2 ＝.(2)如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．解　圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，所以弦心距d＝＝＝3.因为圆心O(0,0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋＝0的距离等于3，于是＝3，解得k＝－.故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0.反思感悟　直线与圆相交时的弦长求法几何法利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋2解题代数法若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长弦长公式法设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝ 跟踪训练2　求直线l：3x＋y－6＝0被圆C: x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．解　方法一　由直线l与圆C的方程，得消去y，得x2－3x＋2＝0.设两交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2，|AB|＝＝＝＝.∴弦AB的长为.方法二　圆C: x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5.其圆心坐标为C(0,1)，半径r＝，点C(0,1)到直线l的距离为d＝＝，所以半弦长＝＝＝.所以弦长|AB|＝.三、求圆的切线方程例3　(1)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　)A．2  B．3  C．4  D．6答案　C解析　因为过圆外一点的圆的切线长l、半径长r和这点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2＝d2－r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题．由题意易知圆心C(－1,2)，半径长r＝，点(a，b)在直线y＝x－3上，所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，易求d＝＝3，所以切线长的最小值为＝＝4.(2)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为__________________．答案　y＝4或3x＋4y－13＝0解析　∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外．当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意．设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0.圆心(2,3)到切线l的距离为＝1，解得k＝0或k＝－，因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.反思感悟　求过某一点的圆的切线方程(1)点(x0，y0)在圆上．①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)点(x0，y0) 在圆外．①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．跟踪训练3　(1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为(　　)A．2x－y＋9＝0   B．2x＋y－9＝0C．2x＋y＋9＝0   D．2x－y－9＝0答案　B解析　x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，kPC＝，∴切线的斜率k＝－2，∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　)A．1  B．2  C.  D．3答案　C解析　圆心C(3,0)到y＝x＋1的距离d＝＝2.所以切线长的最小值为l＝＝.1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)A．相切   B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心   D．相离答案　B解析　∵圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝<1，∴直线与圆x2＋y2＝1相交，又(0,0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心．2．(多选)直线l: x－1＝m(y－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是(　　)A．相离   B．相切或相离C．相交   D．相切答案　CD解析　l过定点A(1,1)，又点A在圆上，当l斜率存在时，l与圆一定相交，又直线x＝1过点A且为圆的切线，∴l与圆相交或相切，故选CD.3．(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　)A．－2   B．－12C．2   D．12答案　CD解析　圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，由圆心(1,1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，得b＝2或12.4．过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线方程为________________．答案　x＝2或y＝3解析　∵P(2,3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外，∴过点P(2,3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条．当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，∴＝1，∴k＝0，∴切线方程为y＝3，当斜率不存在时，切线方程为x＝2.5．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为________．答案　2解析　设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，|CA|＝＝.∴半弦长＝＝＝.∴最短弦长为2.1．知识清单：(1)直线与圆的三种位置关系．(2)弦长公式．(3)圆的切线方程．2．方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法．3．常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况．1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)A．过圆心   B．相切C．相离   D．相交但不过圆心答案　D解析　圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝，0<d<r，所以相交但不过圆心．2．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是(　　)A．－5<m<15   B．m<－5或m>15C．m<4或m>13   D．4<m<13答案　B解析　圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径为2，由题意，圆心到直线3x＋4y＋m＝0的距离>2，∴m<－5或m>15.故选B.3．(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)A．0  B．4  C．－2  D.答案　AB解析　由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.4．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)A．[－3，－1]   B．[－1,3]C．[－3,1]   D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案　C解析　圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a，0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，则d≤r＝⇔≤⇔|a＋1|≤2⇔－3≤a≤1.5．圆心为(3,0)且与直线x＋y＝0相切的圆的方程为(　　)A．(x－)2＋y2＝1   B．(x－3)2＋y2＝3C．(x－)2＋y2＝3   D．(x－3)2＋y2＝9答案　B解析　由题意知所求圆的半径r＝＝，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝3，故选B.6．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝________.答案　2解析　直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝2.7．过点P(－1,6)且与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程是______________．答案　3x－4y＋27＝0或x＝－1解析　当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－6＝k(x＋1)，则d＝＝2，解得k＝，此时，直线方程为3x－4y＋27＝0；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝－1，验证可知，符合题意．8．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．答案　－或－解析　由已知得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－.9．已知圆C与y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为2，求圆C的方程．解　因为圆C与y轴相切，且圆心C在直线x－3y＝0上，故设圆C的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.又因为直线y＝x截圆得弦长为2，则有2＋()2＝9b2，解得b＝±1，故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.10．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．解　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为(a，b)，半径长为r.∵点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上．∴a＋2b＝0，①且(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②又∵直线x－y＋1＝0与圆相交的弦长为2，∴r2－d2＝r2－2＝()2.③解由方程①②③组成的方程组，得或∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.11．已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为(　　)A．y－2＝0   B．x＋2y－5＝0C．2x－y＝0   D．x－1＝0答案　B解析　当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直．已知圆心O(0,0)，所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k＝＝2，故所求直线的斜率为－，所以所求直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.12．已知直线l：3x＋4y＋m＝0(m>0)被圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m等于(　　)A．6  B．8  C．11  D．9答案　D解析　圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝8，圆心坐标为(－1,1)，半径为2，由题意可知，圆心到直线的距离d＝＝2.∵m>0，∴m＝9.13．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．答案　10解析　圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内，由圆的性质可知最长弦|AC|＝2，最短弦BD恰以E(0,1)为中点，且与AC垂直，设点F为其圆心，坐标为(1,3)．故|EF|＝，∴|BD|＝2＝2，∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝10.14．自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是________________．答案　x2＋y2＝2解析　设点P的坐标为(x，y)，则|PO|＝.∵∠MPN＝90°，∴四边形OMPN为正方形，∴|PO|＝|OM|＝，∴＝，即x2＋y2＝2.15．曲线y＝1＋与直线l：y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是________．答案　解析　直线l过点A(2,4)，又曲线y＝1＋的图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得k＝.当直线l过点B(－2,1)时，直线l的斜率为＝，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.16．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C: x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．(1)求四边形PACB面积的最小值；(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．解　(1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为.所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以当|PC|2最小时，|AP|最小．因为|PC|2＝(1－x)2＋2＝2＋9.所以当x＝－时，|PC|＝9.所以|AP|min＝＝2.即四边形PACB面积的最小值为2.(2)由(1)知圆心C到P点距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的．