高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精品第2课时复习练习题

第2课时　直线与圆的方程的应用

学习目标　1. 理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用.2.会用“数形结合”的数学思想解决问题．

知识点一　解决实际问题的一般程序

仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．

知识点二　用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题．

第二步：通过代数运算，解决代数问题．

第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．

1．一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是(　　)

A．x2＋y2＝25

B．x2＋y2＝25(y≥0)

C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)

D．随建立直角坐标系的变化而变化

答案　D

2．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　　)

A．4  B．3  C．2  D．1

答案　C

解析　圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＝1的距离d＝＝<1，

所以直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交．故选C.

3．已知点A(3,0)及圆x2＋y2＝4，则圆上一点P到点A距离的最大值和最小值分别是________．

答案　5, 1

解析　圆的半径为2，圆心到点A的距离为3，结合图形可知，圆上一点P到点A距离的最大值是3＋2＝5，最小值是3－2＝1.

4．如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12 m，拱高CD＝4 m，则拱桥的直径为________ m.

答案　13

解析　设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝，所以拱桥的直径为13 m.

一、直线与圆的方程的应用

例1　一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

解　以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，

其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，

港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，

则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0，

圆心(0,0)到l：4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，

因为>3，所以直线与圆相离．

故轮船不会受到台风的影响．

反思感悟　解决直线与圆的实际应用题的步骤

(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知．

(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素．

(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知．

(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．

跟踪训练1　(1)设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是________．

答案　－2

解析　从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即－2＝－2.

(2)如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________米．

答案　2

解析　如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系．

设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，

则圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，

将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝，

所以当水面下降1米后，水面宽为2x0＝2(米)．

二、坐标法的应用

例2　用坐标法证明：若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则该四边形的对角线互相垂直．

已知：四边形ABCD，AB2＋CD2＝BC2＋AD2.

求证：AC⊥BD.

证明　如图，以AC所在的直线为x轴，过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系，

设顶点坐标分别为A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(x，y)，

∵AB2＋CD2＝BC2＋AD2，

∴a2＋b2＋(x－c)2＋y2＝b2＋c2＋(x－a)2＋y2，

∴(a－c)x＝0，∵a≠c即a－c≠0，

∴x＝0，∴D在y轴上，∴AC⊥BD.

反思感悟　(1)坐标法建立直角坐标系应坚持的原则

①若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴．

②充分利用图形的对称性．

③让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称．

④关键点的坐标易于求得．

(2)通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算，求得结果．所以本例充分体现了数学建模和数学运算的数学核心素养．

跟踪训练2　如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且AB⊥CD，E为垂足．利用坐标法证明E是CD的中点．

证明　如图所示，以O为坐标原点，以直径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

设⊙O的半径为r，|OE|＝m，则⊙O的方程为

x2＋y2＝r2，设C(m，b1)，D(m，b2)．

则有m2＋b＝r2，m2＋b＝r2，

即b1，b2是关于b的方程m2＋b2＝r2的根，

解方程得b＝±，

不妨设b1＝－，b2＝，

则CD的中点坐标为，

即(m，0)．故E是CD的中点．

1．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为(　　)

A.  B.  C．1  D．3

答案　A

解析　由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即－＝.

2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值是(　　)

A．8  B．－4  C．6  D．无法确定

答案　C

解析　因为圆上两点A，B关于直线x－y＋3＝0对称，

所以直线x－y＋3＝0过圆心，

从而－＋3＝0，即m＝6.

3．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为(　　)

A．2.4米   B．3.5米

C．3.6米   D．2.0米

答案　B

解析　以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，

由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，

此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，

得y≈3.5(负值舍去)．

4．圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，则周长最小的圆的方程为__________________．

答案　x2＋y2－2y－9＝0

解析　当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．

即AB中点(0,1)为圆心，

半径r＝|AB|＝.

则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10，即x2＋y2－2y－9＝0.

5．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．

答案　

解析　∵点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，∴过点A与圆O相切的切线方程为x＋2y＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为.

1．知识清单：

(1)直线与圆的方程的应用．

(2)坐标法的应用．

2．方法归纳：数学建模、坐标法．

3．常见误区：不能正确进行数学建模．

1．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4在x轴上方所围成的图形的面积是(　　)

A.  B.  C.  D．π

答案　D

解析　数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的.

2．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋2a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦长为4，则实数a的值是(　　)

A．－1  B．－2  C．－3  D．－4

答案　B

解析　圆x2＋y2＋2x－2y＋2a＝0，即

(x＋1)2＋(y－1)2＝2－2a，

故弦心距d＝＝，

再由弦心距，半弦长和半径的关系可得2－2a＝2＋4，

∴a＝－2.

3．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)

A．6  B．4  C．3  D．2

答案　B

解析　如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.

又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.

4．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为(　　)

A．2  B．1  C.  D.

答案　B

解析　x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，

又点(0,0)在圆内，所以由几何意义可知最小值为14－＝1.

5．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是(　　)

A．6－2  B．8  C．4  D．10

答案　B

解析　点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，A′与圆心(5,7)的距离为＝10. ∴所求最短路程为10－2＝8.

6．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是________．

答案　6

解析　圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，

圆心为(2,2)，半径为3.

圆心(2,2)到直线x＋y－14＝0的距离为＝5>3，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r＝6.

7．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________________．

答案　x＋y－2＝0

解析　由题意知，点P(1,1)在圆x2＋y2＝4内，

则过点P截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，

则所求直线与圆心O和P(1,1)的连线垂直，

∴该直线斜率为－1，

由点斜式方程，得y－1＝－(x－1)，

即x＋y－2＝0.

8．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为________h.

答案　1

解析　如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，

则台风中心经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，

即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，可求得|MN|＝20，

所以时间为1 h.

9．如图，AB为圆的定直径，CD为直径，自D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|＝|AB|，求证：直线CP必过一定点．

证明　以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，如图，

设圆的方程为x2＋y2＝r2，直径AB位于x轴上，动直径为CD.

令C(x0，y0)，则D(－x0，－y0)，

所以P(－x0，－y0－2r)．

所以直线CP的方程为y－y0＝(x－x0)，

即(y0＋r)x－(y＋r)x0＝0.

所以直线CP过直线：x＝0，y＋r＝0的交点(0，－r)，

即直线CP过定点．

10．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)

解　如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，

则A(40,0)，B(0,30)，

圆O方程为x2＋y2＝252.

直线AB方程为＋＝1，

即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，

则d＝＝24<25，

所以外籍轮船能被海监船监测到．

设监测时间为t，

则t＝＝0.5(h)．

答　外籍轮船能被海监船监测到，持续时间为0.5 h.

11．若方程＝kx＋2有唯一解，则实数k的取值范围是(　　)

A．k＝±

B．k∈(－2,2)

C．k<－2或k>2

D．k<－2或k>2或k＝±

答案　D

解析　方程＝kx＋2有唯一解等价于y＝与y＝kx＋2有唯一公共点．

由图象(图略)知选D.

12．已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，n＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是(　　)

A．[－3，3]   B．[－3,3]

C．(－3,3]   D．[－3，3)

答案　C

解析　数形结合法，注意y＝，y≠0等价于x2＋y2＝9(y>0)，

它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示)．

结合图形不难求得，

当－3<b≤3时，

直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)有公共点．

13．已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－2,0)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围为________________．

答案　∪

解析　由题意知，AB所在直线与圆C相切或相离时，视线不被挡住，

直线AB的方程为y＝(x＋2)，即ax－5y＋2a＝0，所以d＝≥1，

即a≥或a≤－.

14．某圆拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低____ m时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m)

答案　22

解析　以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，

设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，

∵圆经过点B(10,0)，C(0,4)，

∴解得

∴圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)，令x＝4.5，得y≈3.28，故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22 (m)，船才能安全通过桥洞.

15．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是(　　)

A．[2－，1]   B．[2－，2＋]

C.   D．[0，＋∞)

答案　B

解析　圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，

则圆心为(2,2)，半径为3.

由圆上至少有三个不同的点到直线l的距离为2，

可得圆心到直线l的距离d≤3－2＝，

即≤，

则a2＋b2＋4ab≤0.①

若b＝0，则a＝0，不符合题意，

所以b≠0，则①式可化为1＋2＋4≤0.②

又直线l的斜率k＝－，所以②式可化为1＋k2－4k≤0，解得2－≤k≤2＋.

16．如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan ∠BCO＝.

(1)求新桥BC的长；

(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

解　(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.

由条件知，A(0,60)，C(170,0)，

直线BC的斜率kBC＝－tan ∠BCO＝－.

又因为AB⊥BC，

所以直线AB的斜率kAB＝.

设点B的坐标为(a，b)，

则kBC＝＝－，

kAB＝＝，

解得a＝80，b＝120.

所以BC＝＝150.

因此新桥BC的长为150 m.

(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，OM＝d m(0≤d≤60)．

由条件知，直线BC的方程为y＝－(x－170)，

即4x＋3y－680＝0.

由于圆M与直线BC相切，

故点M(0，d)到直线BC的距离是r，

即r＝＝.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，

所以

即

解得10≤d≤35.

故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大．

所以当OM＝10 m时，圆形保护区的面积最大．