选择性必修 第一册3.1 椭圆精品同步测试题

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3．1.1 椭圆及其标准方程
学习目标 1.理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程.2.掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程．
知识点一 椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
知识点二 椭圆的标准方程
思考 能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？
答案 能．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．
1．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．( × )
2．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( × )
3．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．( × )
4．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2.( √ )
一、求椭圆的标准方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(5,2)))；
(3)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2))).
解 (1)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝1.))
所以所求的椭圆的标准方程为eq \f(y2,4)＋x2＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义知，
2a＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋2))2)＋eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－2))2)＝2eq \r(10)，
即a＝eq \r(10)，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,10)＋eq \f(x2,6)＝1.
(3)方法一 ①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,0＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1,4).))
由a>b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2,a2)＋0＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(1,5).))
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1.
方法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,9)m＋\f(1,9)n＝1，,\f(1,4)n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝5，,n＝4.))
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1.
反思感悟 确定椭圆标准方程的方法
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))；
(2)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同的焦点．
解 (1)方法一 (分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝8，,b2＝4.))
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b2＝8，,a2＝4.))
则a2b>0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
方法二 (待定系数法)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
将两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))代入，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(eq \r(3)，－eq \r(5))在椭圆上，所以eq \f(－\r(5)2,a2)＋eq \f(\r(3)2,b2)＝1，
即eq \f(5,a2)＋eq \f(3,b2)＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为
eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
二、椭圆的定义及其应用
例2 已知P为椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解 由已知得a＝2eq \r(3)，b＝eq \r(3)，
所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(12－3)＝3，
从而|F1F2|＝2c＝6，
在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4eq \r(3)，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
所以＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝eq \r(3).
延伸探究
若将本例中“ ∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．
解 由已知得a＝2eq \r(3)，b＝eq \r(3)，
所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(12－3)＝3.
从而|F1F2|＝2c＝6.
在△PF1F2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2eq \r(3)＝4eq \r(3)，
所以|PF2|＝4eq \r(3)－|PF1|.
从而有(4eq \r(3)－|PF1|)2＝|PF1|2＋36，
解得|PF1|＝eq \f(\r(3),2).
所以△PF1F2的面积S＝eq \f(1,2)·|PF1|·|F1F2|＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)×6＝eq \f(3\r(3),2)，
即△PF1F2的面积是eq \f(3\r(3),2).
反思感悟 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
跟踪训练2 (1)已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
答案 8
解析 由直线AB过椭圆的一个焦点F1，
知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，
所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，
又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.
(2)椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，F1，F2为椭圆的焦点，P是椭圆上一点．若＝eq \r(3)，求∠F1PF2的大小．
解 由已知得a＝2，b＝eq \r(3)，c＝1，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝α，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝4， ①,m2＋n2－2mncs α＝4， ②,\f(1,2)mnsin α＝\r(3)， ③))
①2－②得mn(1＋cs α)＝6，④
eq \f(④,③)得eq \f(1＋cs α,\f(sin α,2))＝eq \f(6,\r(3))，
即eq \f(2cs2 \f(α,2),sin \f(α,2)·cs \f(α,2))＝2eq \r(3)，
∴tan eq \f(α,2)＝eq \f(\r(3),3)，
∴eq \f(α,2)＝30°，α＝60°，
即∠F1PF2＝60°.
三、与椭圆有关的轨迹问题
例3 (1)已知P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为__________．
答案 x2＋eq \f(y2,2)＝1
解析 设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又eq \f(x\\al(2,0),4)＋eq \f(y\\al(2,0),8)＝1.
所以eq \f(2x2,4)＋eq \f(2y2,8)＝1，即点Q的轨迹方程为x2＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程．
解 设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，
其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，
其轨迹方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1.
反思感悟 求轨迹方程的常用方法
(1)直接法
设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式；
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程；
(3)相关点法(代入法)
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去．
跟踪训练3 在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝eq \f(3,2)，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程．
解 以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，设其方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
因为|AB|＝2，|AC|＝eq \f(3,2)，
所以|BC|＝eq \r(|AC|2＋|AB|2)＝eq \f(5,2)，
则2a＝|AC|＋|BC|＝eq \f(3,2)＋eq \f(5,2)＝4,2c＝|AB|＝2，
所以a＝2，c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3.
所以曲线E的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
1．椭圆eq \f(x2,25)＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 D
解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2，
结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，可得|PF2|＝8.
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 椭圆方程可化为x2＋eq \f(y2,\f(4,k))＝1，
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,k)>1，,\f(4,k)－1＝1，))解得k＝2.
3．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(0,2)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
答案 D
解析 ∵方程x2＋ky2＝2，即eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\f(2,k))＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴eq \f(2,k)>2，故00)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1
C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 D
解析 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－b2＝9，,0＋\f(9,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝18，,b2＝9，))
故椭圆的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
3．“20，,m－2≠6－m，))解得2b>0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－b2＝4，,\f(1,a2)＋\f(4,5b2)＝1，))化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－eq \f(16,5)(舍)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，
设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为eq \f(1,2)×4×|y0|＝1，
得y0＝±eq \f(1,2).
又eq \f(x\\al(2,0),5)＋yeq \\al(2,0)＝1，所以xeq \\al(2,0)＝eq \f(15,4)，x0＝±eq \f(\r(15),2)，
所以点P有4个，它们的坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(15),2)，\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(15),2)，－\f(1,2))).
11．P是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为( )
A．60° B．30° C．120° D．150°
答案 A
解析 由椭圆的定义得
|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2eq \r(7)，
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64，
∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，
在△F1PF2中，cs∠F1PF2＝eq \f(40－28,2×12)＝eq \f(1,2)，
∵0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝60°.
12．椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为( )
A．±eq \f(3,4) B．±eq \f(\r(2),2) C．±eq \f(\r(3),2) D．±eq \f(\r(3),4)
答案 D
解析 ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，
∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是3，
∵点P在椭圆上，∴eq \f(32,12)＋eq \f(y2,3)＝1，即y2＝eq \f(3,4)，∴y＝±eq \f(\r(3),2).
∴点M的纵坐标为±eq \f(\r(3),4).
13．已知P为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 B．7
C．13 D．15
答案 B
解析 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，
从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
14．已知椭圆C：eq \f(x2,9) ＋eq \f(y2,4)＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 |AN|＋|BN|＝________.
答案 12
解析 取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝eq \f(1,2)|AN|，|GF2|＝eq \f(1,2)|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.
15．如图所示，F1，F2分别为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为eq \r(3)的正三角形，则b2＝________.
答案 2eq \r(3)
解析 设正三角形POF2的边长为c，则eq \f(\r(3),4)c2＝eq \r(3)，
解得c＝2，从而|OF2|＝|PF2|＝2，
连接PF1(图略)，由|OF1|＝|OF2|＝|OP|知，PF1⊥PF2，
则|PF1|＝eq \r(|F1F2|2－|PF2|2)＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3)，
所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(3)＋2，即a＝eq \r(3)＋1，
所以b2＝a2－c2＝(eq \r(3)＋1)2－4＝2eq \r(3).
16．如图，点A是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线l交椭圆于点B，若点P的坐标为(0,1)，且满足BP∥x轴，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝9，求椭圆C的方程．
解 由题意得A(0，－b)，
直线AB的方程为y＝x－b，
由P(0,1)且BP∥x轴，得B(1＋b，1)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(1＋b，1＋b)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(0,1＋b)，
因为eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝9，故0＋(1＋b)2＝9，
因为b>0，于是b＝2，所以B(3,1)，
将B(3,1)代入椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1，
得eq \f(9,a2)＋eq \f(1,4)＝1，解得a2＝12，
综上所述，椭圆C的方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1.焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝a2－c2