数学人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线精品当堂达标检测题

这是一份数学人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线精品当堂达标检测题，共11页。试卷主要包含了3.1　抛物线及其标准方程，定义，焦点，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
§3.3　抛物线3．3.1　抛物线及其标准方程学习目标　1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程．知识点一　抛物线的定义1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．2．焦点：定点F.3．准线：定直线l.思考　抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F?答案　若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．知识点二　抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)x＝－y2＝－2px(p>0)x＝x2＝2py(p>0)y＝－x2＝－2py(p>0)y＝ 思考　抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？答案　p的几何意义是焦点到准线的距离．1．到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　×　)2．抛物线的方程都是二次函数．(　×　)3．抛物线y2＝2px(p＞0)中p是焦点到准线的距离．(　√　)4．方程x2＝2ay(a≠0)表示开口向上的抛物线．(　 ×　)一、求抛物线的标准方程例1　分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．解　(1)因为点(－3，－1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝.故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，＝4，所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.反思感悟　用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．跟踪训练1　(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．答案　2　x＝－1　解析　因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1.(2)求焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________．答案　x2＝10y和x2＝－10y解析　设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.二、抛物线定义的应用例2　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)A．1  B．2  C．4  D．8答案　A解析　∵＋x0＝x0，∴x0＝1.(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．解　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P，点(0,2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝ ＝.延伸探究1．若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值．解　将x＝3代入y2＝2x，得y＝±.所以点A在抛物线内部．设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－的距离为d，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是.即|PA|＋|PF|的最小值是.2.若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．解　如图，作PQ垂直于准线l于点Q，|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.|A1F|的最小值为点F到直线3x－4y＋＝0的距离d＝＝1.即所求最小值为1.反思感悟　 抛物线定义的应用实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．跟踪训练2　(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为________．答案　4解析　把点(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A到焦点的距离为4.(2)设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为(　　)A．1  B．2  C．3  D．4答案　C解析　由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是|PF|＝d＋1，所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值为|AF|－1＝4－1＝3.抛物线的实际应用问题典例　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？解　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航．[素养提升]　首先确定与实际问题相匹配的数学模型．此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为(1)建系：建立适当的坐标系．(2)假设：设出合适的抛物线标准方程．(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程．(4)求解：求出需要求出的量．(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(　　)A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x答案　B2．已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为(　　)A．(1,0)  B.  C.  D．(0,1)答案　C解析　由抛物线y＝2px2过点(1,4)，可得p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝y，则焦点坐标为，故选C.3．准线为y＝－的抛物线的标准方程是(　　)A．x2＝3y   B．y＝－x2C．x＝3y2   D．x＝－y2答案　A解析　准线为y＝－的抛物线的标准方程是x2＝3y，故选A.4．一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x2＝4y上，则l的方程为(　　)A．x＝1   B．x＝C．y＝－1   D．y＝－答案　C解析　因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x2＝4y上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l为抛物线的准线，所以l：y＝－1.5．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________．答案　(－9,6)或(－9，－6)解析　由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)． 1．知识清单：(1)抛物线的定义．(2)抛物线的标准方程的四种形式．(3)抛物线定义的应用．2．方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归．3．常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式．1．抛物线y＝－x2的准线方程为(　　)A．x＝   B．x＝1C．y＝1   D．y＝2答案　C解析　抛物线的标准方程为x2＝－4y，则准线方程为y＝1.2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为(　　)A．(－1,0)  B．(1,0)  C．(0，－1)  D．(0,1)答案　B解析　抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，由题设知－＝－1，即p＝2，故焦点坐标为.故选B.3．(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为(　　)A．y2＝x   B. y2＝8xC．y2＝－8x   D．x2＝－8y答案　AD解析　当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，所以p1＝，所以抛物线方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.4．若抛物线y＝ax2的焦点与椭圆＋y2＝1的上顶点重合，则a等于(　　)A.  B.  C．2  D．4答案　B解析　椭圆＋y2＝1的上顶点是 抛物线y＝ax2的焦点坐标为，因为两点重合，所以＝1，所以a＝.5．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于(　　)A．2  B．3  C．4  D．8答案　D解析　因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，所以3p－p＝2，解得p＝8.6．已知双曲线－y2＝1的右焦点恰好是抛物线y2＝8x的焦点，则m＝________.答案　3解析　由题意得m＋1＝22，解得m＝3.7．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是____________．答案　(－6,6)或(－6，－6)解析　由方程y2＝－12x，知焦点F(－3,0)，准线l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由定义知|PF|＝3－x.又|PF|＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6.所以所求点的坐标为(－6,6)或(－6，－6)．8．已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为________，准线方程为________．答案　(1,0)　x＝－1解析　圆M的圆心为(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1.9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．解　方法一　如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋＝5，即p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2.方法二　设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F.∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，故解得∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.10．花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，点P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1 m)解　如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．依题意有P(－1，－1)在抛物线上，代入得p＝.故得抛物线方程为x2＝－y.又点B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝，即|AB|＝ m，则|O′B|＝|O′A|＋|AB|＝(＋1) m，因此所求水池的直径为2(1＋) m，约为5 m，即水池的直径至少应设计为5 m.11．已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为(　　)A．1  B．2  C．3  D．4答案　B解析　由题意，知抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为抛物线y2＝4x上的一点P到焦点的距离为5，由抛物线的定义可知，点P到准线x＝－1的距离是5，则点P到y轴的距离是4，所以P(4，±4)，所以△PFO的面积为×1×4＝2.12．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.答案　6解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)．由＋＋＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3，||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6.13．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.答案　解析　根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8，则m＝±4，不妨取M(1,4)，又A(－1,0)，则直线AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.14．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．答案　2解析　如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为到点F的距离，由图可知，距离和的最小值，即F(1,0)到直线l1的距离d＝＝2.15．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)答案　②④解析　抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．16．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．解　(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为＝.(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±，因为>2，所以点B在抛物线内部．自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.