高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线优秀第1课时同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线优秀第1课时同步训练题，共12页。试卷主要包含了掌握抛物线的几何性质等内容，欢迎下载使用。
3．3.2　抛物线的简单几何性质第1课时　 抛物线的简单几何性质学习目标　1.掌握抛物线的几何性质.2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．知识点一　抛物线的简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标FFFF准线方程x＝－x＝y＝－y＝顶点坐标O(0,0)离心率e＝1通径长2p 知识点二　直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．1．抛物线关于顶点对称．(　×　)2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(　√　)3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　√　)4．抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同．(　√　)5．“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．(　√　)一、抛物线的几何性质的应用例1　(1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　)A．8p2  B．4p2  C．2p2  D．p2答案　B解析　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.由方程组得或不妨设A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p)．所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线方程．解　由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上．故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，∴点A与B关于x轴对称，∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2，∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4，得x2＋3＝4，∴x＝±1，∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，得()2＝±a，∴a＝±3.∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.反思感悟　把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1　(1)边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　)A．y2＝x   B．y2＝－xC．y2＝±x   D．y2＝±x答案　C解析　设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C.(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则抛物线的焦点坐标为(　　)A．(2,0)   B．(1,0)C．(8,0)   D．(4,0)答案　B解析　因为＝2，所以＝＝4，于是b2＝3a2，则＝，故双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.而抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，不妨设A，B，则|AB|＝p，又三角形的高为，则S△AOB＝··p＝，即p2＝4.因为p>0，所以p＝2，故抛物线焦点坐标为(1,0)．二、直线与抛物线的位置关系命题角度1　直线与抛物线位置关系的判断例2　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．解　联立消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k＝0时，(*)式只有一个解x＝，∴y＝1，∴直线l与C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴．当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；当k>1时，l与C没有公共点．命题角度2　直线与抛物线的相交问题例3　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．解　由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠p，不满足题意．所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k，k≠0.由消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2.所以|AB|＝＝·＝2p＝p，解得k＝±2.所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.延伸探究本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．解　如图，过A，B，M分别作准线x＝－的垂线交准线于点C，D，E.由定义知|AC|＋|BD|＝p，则梯形ABDC的中位线|ME|＝p，∴M点到y轴的距离为p－＝p.反思感悟　直线与抛物线的位置关系(1)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况．(2)一般弦长：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|.(3)焦点弦长：设焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.跟踪训练2　(1)过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有(　　)A．4条   B．3条C．2条   D．1条答案　B解析　如图，过P可作抛物线的两条切线，即y轴和l1均与抛物线只有一个公共点，过P可作一条与x轴平行的直线l2与抛物线只有一个公共点．故过点P与抛物线只有一个公共点的直线共3条，故选B.(2)设抛物线C：x2＝4y焦点为F，直线y＝kx＋2与C交于A，B两点，且·＝25，则k的值为(　　)A．±2  B．－1  C．±1  D．－2答案　A解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线y＝kx＋2代入x2＝4y，消去x得y2－(4＋4k2)y＋4＝0，所以y1·y2＝4，y1＋y2＝4＋4k2，抛物线C：x2＝4y的准线方程为y＝－1，因为＝y1＋1，＝y2＋1，所以·＝y1·y2＋(y1＋y2)＋1＝4＋4＋4k2＋1＝25⇒k＝±2.1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)A．－  B．－1  C．－  D．－答案　C解析　因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2,3)在准线上，所以＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2,0)，故直线AF的斜率k＝＝－.2．(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)A．y2＝8x   B．y2＝－8xC．x2＝8y   D. x2＝－8y答案　CD解析　设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，依题意得y＝，代入x2＝2py或x2＝－2py得|x|＝p，∴2|x|＝2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是(　　)A．(2，±2)   B．(1，±2)C．(1,2)   D．(2,2)答案　B解析　由题意知F(1,0)，设A，则＝，＝.由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B.4．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4，则焦点F到直线AB的距离为________．答案　2解析　由抛物线的方程可知F(1,0)，由|AB|＝4且AB⊥x轴得y＝(2)2＝12，∴xA＝＝3，∴所求距离为3－1＝2.5．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.答案　0或1解析　当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.1．知识清单：(1)抛物线的几何性质．(2)直线与抛物线的位置关系．2．方法归纳：待定系数法、数形结合法、代数法．3．常见误区：四种形式的抛物线性质混淆；忽略直线的特殊情况．1．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　)A．4  B．5  C．6  D．7答案　A解析　由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则P(3，±2)，∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.2．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)A．有且仅有一条   B．有且仅有两条C．有无穷多条   D．不存在答案　B解析　当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意．当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)，可设直线方程为y＝k(x－1)，k≠0，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝＝5，∴k2＝，即k＝±.因而这样的直线有且仅有两条．3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于(　　)A．4  B．8  C．8  D．16答案　B解析　由抛物线方程y2＝8x，可得准线l：x＝－2，焦点F(2,0)，设点A(－2，n)，∴－＝，∴n＝4.∴P点纵坐标为4.由(4)2＝8x，得x＝6，∴P点坐标为(6,4)，∴|PF|＝|PA|＝|6－(－2)|＝8，故选B.4．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于(　　)A．2  B．3  C．5  D．7答案　D解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.由得x2－5x＋4＝0，∴x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7.5．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为(　　)A．18  B．24  C．36  D．48答案　C解析　不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，依题意，l⊥x轴，且焦点F，∵当x＝时，|y|＝p，∴|AB|＝2p＝12，∴p＝6，又点P到直线AB的距离为＋＝p＝6，故S△ABP＝|AB|·p＝×12×6＝36.6．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为__________．答案　解析　设抛物线上点的坐标为(x，±)，此点到准线的距离为x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝，∴y＝±，∴此点坐标为.7．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝________.答案　6解析　如图，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，|OF|＝2，∵M为FN的中点，|MM′|＝1，∴M到准线距离d＝|MM′|＋＝3，∴|MF|＝3，∴|FN|＝68．已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________．答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析　设点(x，y)，依题意得点A在以y2＝4x.过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，由得ky2－4y＋4k＝0，当k＝0时，显然不符合题意；当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，化简得k2－1＞0，解得k＞1或k＜－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．解　设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，设A(x0，y0)，由题意知M，∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，∵|AM|＝，∴x＋2＝17，∴x＝8，代入方程x＝2py0得，8＝2p，解得p＝2或p＝4.∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.10．已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点．(1)求证：l与C必有两交点．(2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．(1)证明　联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，可得2x2－kx－1＝0，所以Δ＝k2＋8>0，所以l与C必有两交点．(2)解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，①因为y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，代入①，得2k＋＝1，②由(1)可得x1＋x2＝k，x1x2＝－，代入②得k＝1.11．若点M(1,1)是抛物线y2＝4x的弦AB的中点，则弦AB的长为________．答案　解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线y2＝4x，可得y＝4x1，y＝4x2，两式相减，可得k＝＝＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，代入抛物线的方程得4x2－8x＋1＝0，则x1＋x2＝2，x1x2＝，则＝·＝＝，即弦AB的长为.12．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点．若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为________．答案　x＝解析　由抛物线的性质知A，B关于x轴对称．设A(x，y)，则B(x，－y)，焦点为F.由题意知AF⊥OB，则有·＝－1.所以y2＝x，2px＝x.因为x≠0.所以x＝.所以直线AB的方程为x＝.13．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.答案　6解析　抛物线的焦点坐标F，准线方程为y＝－.代入－＝1得＝ .要使△ABF为等边三角形，则tan ＝＝＝，解得p2＝36，p＝6.14．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．答案　48解析　由消去y得x2－10x＋9＝0，得x＝1或9，即或所以|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，所以|PQ|＝8，所以梯形APQB的面积S＝×8＝48.15．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k等于(　　)A.  B.  C.  D．2答案　D解析　由题意可知，抛物线的焦点为(2,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－2)．由得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝4.y1＋y2＝k(x1－2)＋k(x2－2)＝k(x1＋x2－4)＝，y1y2＝－＝－16.∴·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4－16－＋4＝0，解得k＝2，故选D.16．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．解　(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝，又F，所以直线l的方程为y＝.联立消去y得4x2－20x＋9＝0，解得x1＝，x2＝，故|AB|＝×＝2×4＝8.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义，知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离等于3＋＝.