高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第3章 再练一课(范围：§3.2～§3.3)(含解析)

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再练一课(范围：§3.2～§3.3)1．顶点在坐标原点，准线方程为y＝1的抛物线的标准方程是(　　)A．x2＝－2y   B．x2＝－4yC．x2＝2y   D．x2＝4y答案　B解析　抛物线的准线为y＝1，故其焦点在y轴负半轴上，且＝1，所以抛物线的标准方程为x2＝－4y.2．已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于(　　)A.  B.  C.  D.答案　C解析　根据右焦点坐标为(3,0)，知c＝3，则a2＋5＝9，所以a＝2，故e＝＝.3．已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　)A.－＝1   B.－＝1C.－＝1   D.－＝1答案　B解析　由题意，得解得a＝2，b＝2.易知双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为－＝1.4．已知双曲线的一个焦点是抛物线y2＝36x的焦点，且双曲线的虚轴长为4，则此双曲线的标准方程是(　　)A.－＝1   B.－＝1C.－＝1   D.－＝1答案　A解析　因为抛物线y2＝36x的焦点坐标是(9,0)，所以c＝9.由于双曲线的虚轴长为4，所以2b＝4，即b＝2，所以a2＝c2－b2＝81－4＝77，故此双曲线的标准方程是－＝1.5．若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　由题意得，线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.6．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为________．答案　－解析　将y＝ax2化为x2＝y，由于准线方程为y＝2，所以抛物线开口向下，＜0，且＝2，所以a＝－.7．已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为________．答案　9解析　抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，如图，设点P在准线上的射影是点M，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9.当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9.8．设P是抛物线y2＝2x上任意一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离的最小值为________，点P的坐标为________．答案　　解析　方法一　设P(x0，y0)是y2＝2x上任意一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝＝，当y0＝1时，dmin＝，点P的坐标为.方法二　设与抛物线相切且与直线x－y＋3＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，由得y2－2y＋2m＝0，因为Δ＝(－2)2－4×2m＝0，所以m＝.所以平行直线的方程为x－y＋＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则dmin＝＝，点P的坐标为.9．已知双曲线的渐近线方程是y＝±x，焦距为2，求双曲线的标准方程．解　当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a1>0，b1>0)，由题意知解得此时双曲线的标准方程为－＝1.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a2>0，b2>0)，由题意知解得此时双曲线的标准方程为－＝1.综上，所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.10．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l：y＝x－1与抛物线C交于A，B两点，求弦长|AB|.解　(1)由题意，得＝1，所以p＝2，抛物线C的标准方程是y2＝4x.(2)易知直线l：y＝x－1过抛物线的焦点．由可得x2－6x＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝8.11．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)A.  B.  C.  D.答案　D解析　由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为y＝－x，∴－2＝－·4，∴a＝2b.方法一　设b＝k(k>0)，则a＝2k，c＝k，∴e＝＝＝.方法二　e2＝＋1＝＋1＝，故e＝.12．已知双曲线－＝1(b>0)的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　)A.  B．4  C．3  D．5答案　A解析　由题意得抛物线的焦点为(3,0)，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以b2＝9－4＝5，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即x－2y＝0，所以所求距离为d＝＝.13．已知点P为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若，则双曲线的离心率为(　　)A．2  B．3  C．4  D．5答案　C解析　设△PF1F2的内切圆的半径为R，由，得×|PF1|×R－×|PF2|×R＝××|F1F2|×R，即×2a×R＝××2c×R，所以＝4.14．已知点A(4,0)，抛物线C：x2＝12y的焦点为F，射线FA与抛物线和它的准线分别相交于点M和N，则|FM|∶|MN|等于(　　)A．2∶3   B．3∶4C．3∶5   D．4∶5答案　C解析　抛物线焦点为F(0,3)，又A(4,0)，所以FA的方程为3x＋4y－12＝0，设M(xM，yM)，由可得xM＝3(负值舍去)，所以yM＝，所以|FM|＝＋3＝，当y＝－3时，代入3x＋4y－12＝0，x＝8，即N(8，－3)，|MN|＝＝，所以＝.15．如图，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，P是双曲线右支上的一点，F2P的延长线与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝1，则双曲线的离心率是(　　)A．3  B．2  C.  D.答案　B解析　记△APF1的内切圆在边AF1，AP上的切点分别为N，M，则|AN|＝|AM|，|NF1|＝|QF1|，|PM|＝|PQ|.又|AF1|＝|AF2|，所以|NF1|＝|AF1|－|AN|＝|AF2|－|AM|＝|MF2|，所以|QF1|＝|MF2|.则|PF1|－|PF2|＝(|PQ|＋|QF1|)－(|MF2|－|PM|)＝|PQ|＋|PM|＝2|PQ|＝2，即2a＝2，则a＝1.由|F1F2|＝4＝2c，得c＝2，所以双曲线的离心率e＝＝2.故选B.16．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(1,2)．过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值．(1)解　因为抛物线y2＝2px经过点P(1,2)，所以4＝2p，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．由得k2x2＋x＋1＝0.依题意Δ＝2－4×k2×1>0，解得k<0或0<k<1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2)．从而k≠－3.所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝.直线PA的方程为y－2＝.令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝＋2＝＋2.同理得点N的纵坐标为yN＝＋2.由＝λ，＝μ，得λ＝1－yM，μ＝1－yN.所以＋＝＋＝＋＝·＝·＝2.所以＋为定值．