高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第三册 第6章 6.2.1 排列（含解析）

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§6.2　排列与组合6.2.1　排　列学习目标　1.理解并掌握排列的概念.2.能应用排列知识解决简单的实际问题．知识点一　排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点二　排列相同的条件两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素完全相同．(2)元素的排列顺序也相同．1．123与321是相同的排列．(　×　 )2．同一个排列中，同一个元素不能重复出现．(　√　)3．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(　×　)4．从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．(　×　)一、排列的概念例1　判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互打电话．解　(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B打电话与B给A打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．反思感悟　判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1　判断下列问题是否为排列问题：(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1?(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？解　(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a>b还是a<b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．二、画树形图写排列例2　将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．解　树形图(如图)：由树形图知，所有排法有BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.反思感悟　树形图的画法(1)确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位．(2)确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类．(3)重复以上步骤，直到写完一个排列为止．跟踪训练2　(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．解　(1)由题意作树形图，如图．故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．(2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．三、简单的排列问题例3　(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解　(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有7×6×5＝210(种)不同的送法．(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法．反思感悟　对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解．跟踪训练3　(1)沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为(　　)A．15  B．30  C．12  D．36答案　B解析　对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30(种)．(2)3盆不同品种的花排成一排，共有________种不同的排法．答案　6解析　共有3×2×1＝6(种)不同的排法．1．(多选)下面问题中，不是排列问题的是(　　)A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合答案　BCD解析　选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　)A．甲乙、乙甲、甲丙、丙甲B．甲乙丙、乙丙甲C．甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙D．甲乙、甲丙、乙丙答案　C解析　从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙．3．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为(　　)A．5  B．10  C．20  D．60答案　C解析　不同的送书种数为5×4＝20.4．从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有________个．答案　245．有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里，有________种不同的种法．答案　1 680解析　将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有8×7×6×5＝1 680(种)．1．知识清单：(1)排列的定义：顺序性．(2)“树形图”法列举排列．(3)排列的简单应用．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：排列的定义不明确．1．(多选)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有(　　)A．加法  B．减法  C．乘法  D．除法答案　BD解析　因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，故选BD.2．某学习小组共5人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为(　　)A．20  B．15  C．10  D．5答案　A解析　由题意得共需发起的聊天次数为5×4＝20.3．从1,2,3,4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为(　　)A．2  B．4  C．12  D．24答案　C4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为(　　)A．6  B．4  C．8  D．10答案　B解析　列树形图如下：故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种．5．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(　　)A．12种  B．18种  C．24种  D．36种答案　A解析　先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有3×2×1＝6(种)不同的排法，再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，所以共有6×2×1＝12(种)不同的排法．6．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是________________________________________．答案　12　bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed解析　画出树形图如下：可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.7．车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为________．答案　60解析　由题意可知，本题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种)．8．一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种．答案　20解析　从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有5×4＝20(种)添加方法．9．写出下列问题的所有排列：(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？(2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？解　(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为A，B，两名老师分别为M，N，此问题可分两类：由此可知，所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种．10．用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？(2)可以排出多少个不同的三位数？解　(1)三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一．第一步，得首位数字，有6种不同结果；第二步，得十位数字，有5种不同结果；第三步，得个位数字，有4种不同结果．故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)．(2)三位数，每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三位数有6×6×6＝216(个)．11．由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为(　　)A．9  B．12  C．15  D．18答案　B解析　本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：由此可知共有12个符合题意的四位数．12．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为(　　)A．54   B．45C．5×4×3×2   D．5答案　D解析　由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票．因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法．又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种．13．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有(　　)A．4种  B．5种  C．6种  D．12种答案　C解析　若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．14．现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是________．答案　336解析　从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为8×7×6＝336，故共有336种不同的选派方案．15．用0,1,2,3，…，9十个数字可组成不同的：(1)三位数________个；(2)无重复数字的三位数________个；(3)小于500且无重复数字的三位奇数________个．答案　(1)900　(2)648　(3)144解析　(1)由于0不能在百位，所以百位上的数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，所以不同的三位数共有9×10×10＝900(个)．(2)百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有9×9×8＝648(个)无重复数字的三位数．(3)小于500的无重复数字的三位奇数，应满足的条件是：首位只能从1,2,3,4中选，个位必须为奇数，按首位分两类：第一类，首位为1或3时，个位有4种选法，十位有8种选法，所以共有4×8×2＝64(种)；第二类，首位为2或4时，个位有5种选法，十位有8种选法，所以共有5×8×2＝80(种)．由分类加法计数原理知，共有64＋80＝144(种)．16．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法．解　如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种．