高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第三册 第6章 6.2.3-6.2.4 第1课时 组合及组合数的定义（含解析）

这是一份高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第三册 第6章 6.2.3-6.2.4 第1课时 组合及组合数的定义（含解析），共9页。
6.2.3　组　合6.2.4　组合数第1课时　组合及组合数的定义学习目标　1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.会用组合知识解决一些简单的组合问题．知识点一　组合及组合数的定义1．组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq \o\al(m,n)表示．知识点二　排列与组合的关系1．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题．(　√　)2．“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合．(　×　)3．组合数Ceq \o\al(3,5)＝eq \f(A\o\al(3,5),A\o\al(3,3)).(　√　)4．两个组合相同，则其对应的元素一定相同．(　√　)一、组合概念的理解例1　判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？解　(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．(4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．反思感悟　排列、组合辨析切入点(1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可．(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．跟踪训练1　判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．解　(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．(2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．(3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．二、组合的个数问题例2　在A，B，C，D四位候选人中．(1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；(2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；(3)类比上述两个结果间的等量关系，你能找出排列数Aeq \o\al(m,n)与组合数Ceq \o\al(m,n)间的等量关系吗？解　(1)从四位候选人中选举正、副班长各一人是排列问题，有Aeq \o\al(2,4)＝12(种)选法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC.(2)从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题，有Ceq \o\al(2,4)＝6(种)选法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD.(3)由(1)(2)我们发现，(2)中每一个组合都对应Aeq \o\al(2,2)个排列，即Aeq \o\al(2,4)＝Ceq \o\al(2,4)Aeq \o\al(2,2).类比可知，从n个不同元素选出m个元素的排列数Aeq \o\al(m,n)与组合数Ceq \o\al(m,n)间的等量关系为Aeq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(m,n)Aeq \o\al(m,m).反思感悟　组合个数的求解策略(1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举，如本例中，先枚举以字母A开头的组合，再枚举以字母B开头的组合，直到全部枚举完毕．(2)公式法：利用排列数Aeq \o\al(m,n)与组合数Ceq \o\al(m,n)之间的关系Ceq \o\al(m,n)＝eq \f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))求解．跟踪训练2　从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合．解　先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示：由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种．三、简单的组合问题例3　有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．答案　(1)45　(2)21　(3)90解析　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即Ceq \o\al(2,10)＝eq \f(A\o\al(2,10),A\o\al(2,2))＝eq \f(10×9,2×1)＝45.(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有Ceq \o\al(2,6)种方法；第2类，选出的2名是女教师有Ceq \o\al(2,4)种方法．根据分类加法计数原理，共有Ceq \o\al(2,6)＋Ceq \o\al(2,4)＝eq \f(A\o\al(2,6),A\o\al(2,2))＋eq \f(A\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝eq \f(6×5,2×1)＋eq \f(4×3,2×1)＝15＋6＝21(种)不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有Ceq \o\al(2,6)种，从4名女教师中选2名的选法有Ceq \o\al(2,4)种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法Ceq \o\al(2,6)×Ceq \o\al(2,4)＝eq \f(A\o\al(2,6),A\o\al(2,2))×eq \f(A\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝eq \f(6×5,2×1)×eq \f(4×3,2×1)＝90(种)．反思感悟　利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数．跟踪训练3　一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解　(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是Ceq \o\al(3,8)＝eq \f(A\o\al(3,8),A\o\al(3,3))＝eq \f(8×7×6,3×2×1)＝56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是Ceq \o\al(2,7)＝eq \f(A\o\al(2,7),A\o\al(2,2))＝eq \f(7×6,2×1)＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是Ceq \o\al(3,7)＝eq \f(A\o\al(3,7),A\o\al(3,3))＝eq \f(7×6×5,3×2×1)＝35.1．(多选)下面四组元素，是相同组合的是(　　)A．a，b，c—b，c，a B．a，b，c—a，c，bC．a，c，d—d，a，c D．a，b，c—a，b，d答案　ABC2．从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是(　　)A．10 B．5 C．4 D．1答案　B解析　组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法．3．在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为(　　)A．4×13手 B．134手C．Aeq \o\al(13,52)手 D．Ceq \o\al(13,52)手答案　D解析　本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组，故一名参赛者可能得到Ceq \o\al(13,52)手不同的牌．4．下列问题中，组合问题有________，排列问题有________．(填序号)①从1,3,5,9中任取两个数相加，所得不同的和；②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数；③从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动．答案　①②　③解析　①②为组合问题，③为排列问题．5．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________________________．答案　ab，ac，ad，bc，bd，cd解析　可按a→b→c→d顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.1．知识清单：(1)组合与组合数的定义．(2)排列与组合的区别与联系．(3)用列举法写组合．2．方法归纳：枚举法．3．常见误区：分不清“排列”还是“组合”．1．(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有(　　)A．由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数C．由1,2,3组成两位数的不同方法数D．由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数答案　AB2．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有(　　)A．Aeq \o\al(3,10)种 B．Ceq \o\al(3,10)种C．Ceq \o\al(3,10)Aeq \o\al(3,10)种 D．30种答案　B解析　三张票没区别，从10人中选3人，即Ceq \o\al(3,10).3．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为(　　)A．3 B．4 C．12 D．24答案　B解析　由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD.4．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为(　　)A．4 B．8 C．28 D．64答案　C解析　由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建Ceq \o\al(2,8)＝eq \f(A\o\al(2,8),A\o\al(2,2))＝eq \f(8×7,2×1)＝28(条)公路．5．某乒乓球队有9名队员，其中有两名种子选手，现要选5名队员参加运动会，种子选手都必须在内，则不同的选法有(　　)A．Ceq \o\al(5,9)种 B．Aeq \o\al(3,7)种 C．Ceq \o\al(3,7)种 D．Ceq \o\al(5,7)种答案　C解析　只需再从其他7名队员中选3人，即Ceq \o\al(3,7)种选法．6．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有______种不同选法．答案　84解析　只需从9名学生中选出3名即可，从而有Ceq \o\al(3,9)＝eq \f(A\o\al(3,9),A\o\al(3,3))＝eq \f(9×8×7,3×2×1)＝84(种)选法．7．若已知集合P＝{1,2,3,4}，则集合P的子集中含有2个元素的子集数为________．答案　6解析　由于集合中的元素具有无序性，因此含2个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有Ceq \o\al(2,4)＝eq \f(A\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝eq \f(4×3,2×1)＝6(个)．8．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，则不同方法的种数是________．(用数字作答)答案　10解析　由于选出的人无角色差异，所以是组合问题，共有Ceq \o\al(3,5)＝eq \f(A\o\al(3,5),A\o\al(3,3))＝eq \f(5×4×3,3×2×1)＝10(种)不同方法．9．判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．(1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？解　(1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为Aeq \o\al(2,10)＝90.(2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为Ceq \o\al(2,10)＝eq \f(A\o\al(2,10),A\o\al(2,2))＝45.(3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为Ceq \o\al(2,10)＝eq \f(A\o\al(2,10),A\o\al(2,2))＝45.(4)是组合问题，因为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为Ceq \o\al(3,10)＝eq \f(A\o\al(3,10),A\o\al(3,3))＝120.(5)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为Aeq \o\al(3,10)＝720.10．平面内有10个点，其中任意3个点不共线．(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？(3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？解　(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合数，共有Ceq \o\al(2,10)＝eq \f(A\o\al(2,10),A\o\al(2,2))＝eq \f(10×9,2×1)＝45(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列数，共有Aeq \o\al(2,10)＝10×9＝90(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的有向线段共有90条．(3)所求三角形的个数，即为从10个元素中任选3个元素的组合数，共有Ceq \o\al(3,10)＝eq \f(A\o\al(3,10),A\o\al(3,3))＝eq \f(10×9×8,3×2×1)＝120(个)．11．(多选)下列问题是组合问题的有(　　)A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B．平面上有2 021个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段C．集合{a1，a2，a3，…，an}中含有三个元素的子集有多少个D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法答案　ABC解析　组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选ABC.12．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有(　　)A．60种 B．36种 C．10种 D．6种答案　D解析　甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有Ceq \o\al(2,4)＝eq \f(A\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝6(种)不同的选法．13．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为(　　)A．224 B．112 C．56 D．28答案　B解析　由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为Ceq \o\al(2,8)Ceq \o\al(1,4)＝eq \f(A\o\al(2,8),A\o\al(2,2))·eq \f(A\o\al(1,4),A\o\al(1,1))＝112.14．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.答案　1∶2解析　∵m＝Ceq \o\al(2,4)，n＝Aeq \o\al(2,4)，∴m∶n＝1∶2.15．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)(1)图中有________个矩形；(2)从A点走向B点最短的走法有________种．答案　(1)210　(2)210解析　(1)在7条南北向街道中任选2条，5条南北向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形Ceq \o\al(2,7)·Ceq \o\al(2,5)＝eq \f(A\o\al(2,7),A\o\al(2,2))·eq \f(A\o\al(2,5),A\o\al(2,2))＝210(个)．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有Ceq \o\al(6,10)·Ceq \o\al(4,4)＝eq \f(A\o\al(6,10),A\o\al(6,6))·eq \f(A\o\al(4,4),A\o\al(4,4))＝210(种)走法．16．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问：全部赛程共需比赛多少场？解　(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2Ceq \o\al(2,6)＝2×eq \f(A\o\al(2,6),A\o\al(2,2))＝30(场)．(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，所以半决赛共要比赛2×2＝4(场)．(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．相同点两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素不同点排列问题中元素有序，组合问题中元素无序关系组合数Ceq \o\al(m,n)与排列数Aeq \o\al(m,n)间存在的关系Aeq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(m,n)Aeq \o\al(m,m)