高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第三册 第6章 6.3.2 二项式系数的性质（含解析）

6.3.2　二项式系数的性质

学习目标　1.理解二项式系数的性质.2.会用赋值法求展开式系数的和．

知识点　二项式系数的性质

思考　若(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为多少？

答案　n＝7或8或9.

1．令f(r)＝C(0≤r≤n，且r∈N)，则f(r)的图象关于直线r＝对称．(　√　)

2．二项展开式中各项系数和等于二项式系数和．(　×　)

3．二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.(　×　)

4．二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．(　×　)

一、二项展开式的系数和问题

例1　已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：

(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；

(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；

(3)a1＋a3＋a5.

解　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.

(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.

由(2x－1)5的通项Tk＋1＝C(－1)k·25－k·x5－k，

知a1，a3，a5为负值，

所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.

(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，

－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，

得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，

所以a1＋a3＋a5＝＝－121.

延伸探究

在本例条件下，求下列各式的值：

(1)a0＋a2＋a4；

(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；

(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.

解　(1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，

－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.

所以a0＋a2＋a4＝＝122.

(2)因为a0是(2x－1)5的展开式中x5的系数，

所以a0＝25＝32.

又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，

所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.

(3)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，

所以两边求导数得

10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.

令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.

反思感悟　二项展开式中系数和的求法

(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，

奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，

偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.

跟踪训练1　已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.

(1)求a2的值；

(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；

(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．

解　∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，

令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.

(1)a2＝C(－4)9＝－49×10.

(2)令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，

令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，

∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0.

(3)由(2)得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.

二、二项式系数性质的应用

例2　已知f(x)＝(＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中系数最大的项．

解　令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.

由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，

∴(2n＋31)(2n－32)＝0，

∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.

(1)由于n＝5为奇数，

∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝C()3·(3x2)2＝90x6，

T4＝C()2·(3x2)3＝.

(2)展开式的通项公式为Tk＋1＝C·3k·，

假设Tk＋1项系数最大，则有

∴

即∴≤k≤，

∵k∈N，∴k＝4，

∴展开式中系数最大的项为T5＝C(3x2)4＝.

反思感悟　(1)二项式系数最大的项的求法

求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．

①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；

②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．

(2)展开式中系数的最大项的求法

求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数的最大项．

跟踪训练2　已知n(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1.

(1)求展开式中各项系数的和；

(2)求展开式中含的项；

(3)求展开式中系数的绝对值最大的项．

解　∵n的展开式的通项是Tk＋1＝C()n－k·k＝(－2)kC(0≤k≤n，k∈N)，

∴T5＝T4＋1＝24C，T3＝T2＋1＝22C.

∵＝，

∴n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．

(1)令x＝1，则8＝(1－2)8＝1，

即所求各项系数的和为1.

(2)展开式的通项为Tk＋1＝(－2)kC(0≤k≤8，k∈N)．

令＝，解得k＝1，

∴展开式中含的项为

T2＝T1＋1＝(－2)1C＝.

(3)展开式的第k项、第k＋1项、第k＋2项的系数的绝对值分别为C2k－1，C2k，C2k＋1.

若第k＋1项的系数绝对值最大，

则有解得5≤k≤6，

故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项，

即T6＝－1 792，T7＝1 792x－11.

1．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数的和为32，则n等于(　　)

A．5  B．6  C．7  D．8

答案　A

2．(多选)11的展开式中二项式系数最大的项是(　　)

A．第5项  B．第6项  C．第7项  D．第8项

答案　BC

解析　由于n＝11为奇数，则展开式中第项和第＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．

3．设(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于(　　)

A．4  B．－71  C．64  D．199

答案　C

解析　∵(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，令x＝0，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64.

4.10的展开式的各项系数的和为________．

答案　0

5．(2x－1)6的展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数的和为________．

答案　1　64

解析　令x＝1，得各项系数的和为1；各二项式系数之和为26＝64.

1．知识清单：

(1)二项式系数的性质．

(2)赋值法求各项系数的和．

2．方法归纳：一般与特殊、函数与方程．

3．常见误区：赋值时应注意展开式中项的形式，杜绝漏项．

1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是(　　)

A．第n－k项   B．第n－k－1项

C．第n－k＋1项   D．第n－k＋2项

答案　D

解析　第k项的二项式系数是C，由于C＝C，故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同．

2．已知(1＋x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为(　　)

A．212  B．211  C．210  D．29

答案　D

解析　∵展开式中只有第6项的二项式系数最大，

∴n＝10，

∵奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，

∴展开式中奇数项的二项式系数之和为＝29.

3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数之和为(　　)

A．2n＋1   B．2n－1

C．2n＋1－1   D．2n＋1－2

答案　D

解析　令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.

4．(x－1)11的展开式中x的偶次项系数之和是(　　)

A．－2 048  B．－1 023  C．1 024  D．－1 024

答案　D

解析　(x－1)11＝Cx11＋Cx10·(－1)＋Cx9·(－1)2＋…＋C(－1)11，x的偶次项系数为负数，其和为－210＝－1 024.

5．在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是(　　)

A．330  B．462  C．682  D．792

答案　B

解析　∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n，而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等，故由题意得2n－1＝1 024，∴n＝11，

∴展开式共12项，中间项为第6项、第7项，其系数为C＝C＝462.

6．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．

答案　5

解析　(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.

7．(2x－1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为______．

答案　

解析　设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，

令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，

得310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，

两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝.

8．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．

答案　－256

解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，

令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，

两式相加可得2(a0＋a2＋a4)＝32，

两式相减可得2(a1＋a3＋a5)＝－32，

则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，

所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.

9．在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：

(1)二项式系数之和；

(2)各项系数之和；

(3)所有奇数项系数之和．

解　设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.

(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.

(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，

令x＝1，y＝1，

所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.

(3)令x＝1，y＝－1，可得

a0－a1＋a2－…－a9＝59，

又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，

将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，

即所有奇数项系数之和为.

10．已知n.

(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；

(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．

解　(1)由已知得2C＝C＋C，

即n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14.

当n＝7时展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项，

∵T4＝C4(2x)3＝x3，T5＝C3(2x)4＝70x4，

∴第4项的系数是，第5项的系数是70.

当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第8项，它的系数为C7×27＝3 432.

(2)由已知得C＋C＋C＝79，即n2＋n－156＝0.

解得n＝－13(舍去)或n＝12.

设Tk＋1项的系数最大，

∵12＝12(1＋4x)12，

由

解得9.4≤k≤10.4.

又∵0≤k≤n，k∈N，∴k＝10.

∴展开式中系数最大的项是第11项，

即T11＝12·C·410·x10＝16 896x10.

11．(1＋3x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则含x4项的二项式系数为(　　)

A．21  B．35  C．45  D．28

答案　B

解析　∵Tk＋1＝C(3x)k＝3kCxk，又由已知得35C＝36C，即C＝3C，∴n＝7，因此，含x4项的二项式系数为C＝35，故选B.

12．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的(　　)

A．第11项   B．第13项

C．第18项   D．第20项

答案　D

解析　(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数为C＋C＋C＝C＋C＋C＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，解得n＝20.

13．(多选)设二项式n的展开式中第5项是含x的一次项，那么这个展开式中系数最大的项是(　　)

A．第8项   B．第9项

C．第10项   D．第11项

答案　CD

解析　因为展开式的第5项为T5＝C，所以令－4＝1，解得n＝19.所以展开式中系数最大的项是第10项和第11项．故选CD.

14．设m为正整数，(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________.

答案　6

解析　(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值为C，

∴a＝C.同理，b＝C.

∵13a＝7b，∴13·C＝7·C.

∴13·＝7·.∴m＝6.

15．(多选)(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243，不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为(　　)

A．a＝1，b＝2，n＝5   B．a＝－2，b＝－1，n＝6

C．a＝－1，b＝2，n＝6   D．a＝－1，b＝－2，n＝5

答案　AD

解析　只要令x＝0，y＝1，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的和为(1＋b)n，令x＝1，y＝0，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的和为(1＋a)n.如果a，b是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a，b中有负值，相应地，分别令y＝－1，x＝0；x＝－1，y＝0.此时的和式分别为(1－b)n，(1－a)n，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b|)n，(1＋|a|)n.根据题意得，(1＋|b|)n＝243＝35，(1＋|a|)n＝32＝25，因此n＝5，|a|＝1，|b|＝2.故选AD.

16．已知(1＋m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112.

(1)求m，n的值；

(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；

(3)求(1＋m)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．

解　(1)由题意可得2n＝256，解得n＝8，

∴展开式的通项为Tk＋1＝Cmk，

∴含x项的系数为Cm2＝112，

解得m＝2或m＝－2(舍去)．

故m，n的值分别为2,8.

(2)展开式中偶数项的二项式系数之和为C＋C＋C＋C＝28－1＝128.

(3)∵(1＋2)8(1－x)＝(1＋2)8－x(1＋2)8，

∴含x2项的系数为C24－C22＝1 008.