高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第三册 第6章 §6.1 第1课时 两个计数原理及其简单应用（含解析）

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§6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时　两个计数原理及其简单应用学习目标　1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．知识点一　分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．知识点二　分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．思考　如何区分“完成一件事”是分类还是分步？答案　区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步．1．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　×　)2．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．(　√　)3．在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．(　√　)4．从甲地经丙地到乙地是分步问题．(　√　)一、分类加法计数原理例1　设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有(　　)A．6个 B．8个C．12个 D．16个答案　A解析　因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝3时，n＝1,2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．延伸探究1．条件不变，结论变为“则方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示焦点位于y轴上的椭圆”有(　　)A．6个 B．8个C．12个 D．16个答案　A解析　因为椭圆的焦点在y轴上，所以mn.当m＝5时，n＝1,2,3,4.当m＝4时，n＝1,2,3.当m＝3时，n＝1,2.当m＝2时，n＝1.即所求的椭圆共有4＋3＋2＋1＝10(个)．反思感悟　应用分类加法计数原理应注意如下问题(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事．(2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法，即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的．跟踪训练1　某校高三共有三个班，各班人数如下表：(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解　(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案．第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计算原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案．第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．二、分步乘法计数原理例2　已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)．问：(1)P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？(2)P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？解　(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步，确定a的值，共有6种方法；第二步，确定b的值，也有6种方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步，确定a，由于a<0，所以有3种不同的确定方法；第二步，确定b，由于b>0，所以有2种不同的确定方法．根据分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数为3×2＝6.反思感悟　利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步．(2)计数：求出每一步中的方法数．(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．跟踪训练2　从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共______个，其中不同的偶函数共________个．(用数字作答)答案　18　6解析　一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的二次函数3×3×2＝18(个)．若二次函数为偶函数，则b＝0.a的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的偶函数3×2＝6(个)．三、两个原理的综合应用例3　现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？解　(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法．所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．反思感悟　使用两个原理的原则使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理．跟踪训练3　如图，甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？解　要从甲地到丙地共有两类不同的方案：第1类，从甲地经乙地到丙地，共需两步完成：第1步，从甲地到乙地，有3条公路可走；第2步，从乙地到丙地，有2条公路可走．根据分步乘法计数原理，从甲地经乙地到丙地有3×2＝6(种)不同的走法．第2类，从甲地不经乙地到丙地，有2条水路可走，即有2种不同的走法．由分类加法计数原理知，从甲地到丙地共有6＋2＝8(种)不同的走法．1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为(　　)A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9C．3×4×2＝24 D．以上都不对答案　B2．从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为(　　)A．6 B．5 C．3 D．2答案　B3．现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为(　　)A．7 B．64 C．12 D．81答案　C4．用1,2,3这三个数字能写出________个没有重复数字的两位偶数．答案　25．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有________种不同的取法．答案　481．知识清单：(1)分类加法计数原理．(2)分步乘法计数原理．2．方法归纳：分类讨论．3．常见误区：“分类”与“分步”不清，导致计数错误．1．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有(　　)A．24种 B．9种 C．3种 D．26种答案　B解析　不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选一本阅读，共有9种选法．2．图书馆的书架有3层，第1层有3本不同的数学书，第2层有5本不同的语文书，第3层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，则不同的取法共有(　　)A．120种 B．16种 C．64种 D．39种答案　B解析　由于书架上有3＋5＋8＝16(本)书，则从中任取1本书，共有16种不同的取法．3．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是(　　)A．1 B．3 C．6 D．9答案　D解析　这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点．4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(　　)A．30个 B．42个C．36个 D．35个答案　C解析　要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)，有6种方法，第二步确定a，有6种方法，故由分步乘法计数原理知，共有6×6＝36(个)虚数．5．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序实数对(a，b)的个数为(　　)A．14 B．13 C．12 D．10答案　B解析　由已知得ab≤1.当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；当a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．∴共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.6．一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一个门出，共有不同走法________种．答案　16解析　由分步乘法计数原理得共有4×4＝16(种)走法．7．若在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法．答案　5　6解析　对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法．对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的一个开关；第二步，合上B中的一个开关，故有2×3＝6(种)不同的方法．8．用1,2,3这3个数字可写出没有重复数字的整数有________个．答案　15解析　分三类：第一类为一位整数，有3个；第二类为两位整数，有12,13,21,23,31,32，共6个；第三类为三位整数，有123,132,213,231,312,321，共6个．∴可写出没有重复数字的整数有3＋6＋6＝15(个)．9．有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加．(1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？(2)若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？解　(1)选1人，可分三类：第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法；第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法；第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法．共有3＋8＋5＝16(种)不同的选法．(2)选教师、男同学、女同学各1人，分三步进行：第1步，选教师，有3种不同的选法；第2步，选男同学，有8种不同的选法；第3步，选女同学，有5种不同的选法．共有3×8×5＝120(种)不同的选法．10．若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？解　分两类完成：第一类：当A或B中有一个为0时，表示直线为x＝0或y＝0，共有2条；第二类：当A，B都不取0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成：第一步，确定A的值，从1,2,3,5中选一个，共有4种不同的方法；第二步，确定B的值，共有3种不同的方法．由分步乘法计数原理，共确定4×3＝12(条)直线．由分类加法计数原理，方程所表示的不同直线有2＋12＝14(条)．11．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有(　　)A．27种 B．36种 C．54种 D．81种答案　C解析　小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3＝54(种)不同的报名方法，选C.12．(多选)已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，则对于方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1的说法正确的是(　　)A．可表示3个不同的圆B．可表示6个不同的椭圆C．可表示3个不同的双曲线D．表示焦点位于x轴上的椭圆有3个答案　ABD解析　当m＝n>0时，方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示圆，故有3个，选项A正确；当m≠n且m，n>0时，方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示椭圆，焦点在x，y轴上的椭圆分别有3个，故有3×2＝6(个)，选项B正确；若椭圆的焦点在x轴上，则m>n>0，当m＝4时，n＝2,3；当m＝3时，n＝2，即所求的椭圆共有2＋1＝3(个)，选项D正确；当mn<0时，方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示双曲线，故有3×1＋1×3＝6个，选项C错误．13.如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为(　　)A．26 B．24 C．20 D．19答案　D解析　因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上传递的最大信息量的和：3＋4＋6＋6＝19.14．从1,2,3,4,5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为(　　)A．2 B．4 C．6 D．8答案　D解析　分两类：第一类，公差大于0，有①1,2,3，②2,3,4，③3,4,5，④1,3,5，共4个等差数列；第二类，公差小于0，也有4个等差数列，即①3,2,1，②4,3,2，③5,4,3，④5,3,1.根据分类加法计数原理可知，共有4＋4＝8(个)不同的等差数列．15．设m∈{1,2,3,4}，n∈{－12，－8，－4，－2}，则函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点的概率是________．答案　eq \f(11,16)解析　根据题意，f′(x)＝3x2＋m，又因为m>0，所以f′(x)＝3x2＋m>0，故f(x)＝x3＋mx＋n在R上单调递增，若函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点，只需满足条件f(1)≤0且f(2)≥0，所以m＋n≤－1且2m＋n≥－8，所以－2m－8≤n≤－m－1，当m＝1时，n取－2，－4，－8；当m＝2时，n取－4，－8，－12；当m＝3时，n取－4，－8，－12；当m＝4时，n取－8，－12.共11种取法，而m有4种选法，n有4种选法，则函数f(x)＝x3＋mx＋n有4×4＝16(种)情况，故函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点的概率是eq \f(11,16).16．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，求第30个“渐升数”．解　“渐升数”由小到大排列，则1在首位，2在百位的“渐升数”有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)；1在首位，3在百位，4在十位的“渐升数”有5个；1在首位，3在百位，5在十位的“渐升数”有4个，此时“渐升数”有21＋5＋4＝30(个)，因此按从小到大的顺序排列，第30个“渐升数”必为1 359.男生人数女生人数总人数高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055