高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第三册 第6章 再练一课(范围：§6.3)（含解析）

再练一课(范围：§6.3)

1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)

A．30  B．20  C．15  D．10

答案　C

解析　因为(1＋x)6的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Cxk，x(1＋x)6的展开式中含x3的项为Cx3＝15x3，所以系数为15.

2．二项式12的展开式中的常数项是(　　)

A．第7项   B．第8项

C．第9项   D．第10项

答案　C

解析　二项展开式的通项为Tk＋1＝C·x12－k·k＝C·2k·，令12－k＝0，解得k＝8.

∴常数项为第9项．

3.n的展开式中所有奇数项系数之和为1 024，则展开式中各项系数的最大值是(　　)

A．790  B．680  C．462  D．330

答案　C

解析　由题意可得2n－1＝1 024，解得n＝11，

则展开式中各项系数的最大值是C和C，

C＝＝462.

4．设a∈Z，且0≤a<13，若512 020＋a能被13整除，则a等于(　　)

A．0  B．1  C．11  D．12

答案　D

解析　512 020＋a＝(52－1)2 020＋a＝C522 020－C522 019＋C522 018－…－C52＋C＋a，由于C522 020－C522 019＋C522 018－…－C52，含有因数52，故能被13整除，要使512 020＋a能被13整除，且a∈Z,0≤a<13，则只需a＋1＝13，∴a＝12.

5．(多选)若(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 021x2 021(x∈R)，则(　　)

A．a0＝1

B．a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝

C．a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝

D.＋＋＋…＋＝－1

答案　ACD

解析　由题意知，当x＝0时，a0＝1，

当x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＝(－1)2 021＝－1，

当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＝32 021，

所以a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝－，

a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝，

＋＋＋…＋＝a1×＋a2×2＋…＋a2 021×2 021，

当x＝时，0＝a0＋a1×＋a2×2＋…＋a2 021×2 021，

所以a1×＋a2×2＋…＋a2 021×2 021＝－a0＝－1.

故选ACD.

6．若n的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．

答案　20

解析　∵n的展开式的二项式系数之和为2n，

∴2n＝64，∴n＝6.

∴Tk＋1＝Cx6－kk＝Cx6－2k.

由6－2k＝0，得k＝3，∴其常数项为T3＋1＝C＝20.

7．已知(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＋a6＝________.(填数字)

答案　－8 128

解析　在所给的等式中，令x＝1可得

a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27，①

再令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝(－4)7，②

把①②相加可得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝27＋(－4)7，

所以a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128.

8．(1＋x＋x2)6的展开式中的常数项为______．

答案　－5

解析　6的展开式中，

Tk＋1＝Cx6－k·k＝(－1)kCx6－2k，

令6－2k＝0，解得k＝3，T4＝C(－1)3＝－C；

令6－2k＝－1，解得k＝(舍去)；

令6－2k＝－2，解得k＝4，T5＝C(－1)4x－2，

所以(1＋x＋x2)6的展开式中的常数项为1×(－C)＋C＝－20＋15＝－5.

9．已知n的展开式中二项式系数之和比(2x＋xlg x)2n的展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x的值．

解　依题意得2n－22n－1＝－112，

整理得(2n－16)(2n＋14)＝0，解得n＝4，

所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第5项．

依题意得C(2x)4(xlg x)4＝1 120，

化简得x4(1＋lg x)＝1，所以x＝1或4(1＋lg x)＝0，

故所求x的值为1或.

10．在二项式n的展开式中，前三项的系数成等差数列．

(1)求展开式中的常数项；

(2)求展开式中系数最大的项．

解　(1)二项式n的展开式中，前三项的系数分别为1，，.

根据前三项的系数成等差数列，可得n＝1＋，

解得n＝8或n＝1(舍去)．

故二项式n的展开式的通项为Tk＋1＝C·2－k·x4－k.令4－k＝0，解得k＝4，可得展开式中的常数项为T5＝C·4＝.

(2)设第k＋1项的系数最大，

则由解得2≤k≤3.

因为k∈N，所以k＝2或k＝3，

故系数最大的项为T3＝7x2或T4＝7x.

11．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)的值为(　　)

A．45  B．60  C．120  D．210

答案　C

解析　含xmyn项的系数为f(m，n)＝CC，故原式＝CC＋CC＋CC＋CC＝120，故选C.

12．(多选)对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9，则下列结论成立的有(　　)

A．a2＝－144

B．a0＝1

C．a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1

D．a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39

答案　ACD

解析　对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9＝[－1＋2(x－1)]9，∴a2＝－C×22＝－144，故A正确；令x＝1，可得a0＝－1，故B不正确；令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正确；令x＝0，可得a0－a1＋a2－…－a9＝－39，故D正确．故选ACD.

13．若(2x＋3y)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n－4的展开式中x2的系数为(　　)

A．－304  B．304  C．－208  D．208

答案　A

解析　由题意可知n＝8，

故n－4＝4，

其展开式的通项为Tk＋1＝C(－4)4－kk，k＝0,1,2,3,4，

k的展开式的通项为C(x2)k－mm＝Cx2k－4m，m＝0,1，…，k，

令2k－4m＝2，得k＝2m＋1，可得或

所以，x2的系数为C×C×(－4)3＋C×C×(－4)1＝－304.

14．若6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．

答案　2

解析　6的展开式的通项为

Tk＋1＝C(ax2)6－k·k＝Ca6－k·bkx12－3k，

令12－3k＝3，解得k＝3，由Ca6－3b3＝20，得ab＝1，

所以a2＋b2≥2ab＝2，故a2＋b2的最小值为2.

15．设f(x)是6的展开式的中间项，若f(x)≤mx在区间上恒成立，则实数m的取值范围是________．

答案　[5，＋∞)

解析　∵6的展开式的中间项为第4项，

∴f(x)＝T4＝C(x2)6－33＝x3，

∵f(x)≤mx在x∈上恒成立，

∴x3≤mx，即m≥x2在x∈上恒成立，

∴m≥×()2＝5.

16．已知n的展开式的二项式系数之和为256.

(1)求n的值；

(2)若展开式中常数项为，求m的值；

(3)若(x＋m)n的展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况．

解　(1)由二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.

(2)设常数项为第k＋1项，则

Tk＋1＝Cx8－kk＝Cmkx8－2k，

故8－2k＝0，即k＝4，

则Cm4＝，解得m＝±.

(3)易知m>0，设第k＋1项系数最大，

则

化简可得≤k≤.

由于只有第6项和第7项系数最大，

所以即

所以m只能等于2.