高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第三册 第7章 7.3.1 离散型随机变量的均值（含解析）

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§7.3　离散型随机变量的数字特征7.3.1　离散型随机变量的均值学习目标　1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题．知识点一　离散型随机变量的均值1．离散型随机变量的均值的概念一般地，若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝eq \i\su(i＝1,n,x)ipi为随机变量X的均值或数学期望．2．离散型随机变量的均值的意义均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．3．离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.思考　离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？答案　(1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．(2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．知识点二　两点分布的均值如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.1．随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　×　)2．随机变量的均值反映了样本的平均水平．(　×　)3．若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(　√　)4．若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P(X＝1)．(　√　)一、利用定义求离散型随机变量的均值例1　袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值．解　取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5,6,7,8，P(X＝5)＝eq \f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(4,35)，P(X＝6)＝eq \f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(18,35)，P(X＝7)＝eq \f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(12,35)，P(X＝8)＝eq \f(C\o\al(4,4)C\o\al(0,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(1,35)，故X的分布列为∴E(X)＝5×eq \f(4,35)＋6×eq \f(18,35)＋7×eq \f(12,35)＋8×eq \f(1,35)＝eq \f(44,7).反思感悟　求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．(3)写出X的分布列．(4)利用均值的定义求E(X)．跟踪训练1　某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值．解　根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4,1,3,6.∴P(X＝－4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq \f(1,9)，P(X＝1)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(7,18)，P(X＝3)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(7,18)，P(X＝6)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,18)＝eq \f(1,9).∴X的分布列为∴E(X)＝(－4)×eq \f(1,9)＋1×eq \f(7,18)＋3×eq \f(7,18)＋6×eq \f(1,9)＝eq \f(16,9).二、离散型随机变量均值的性质例2　已知随机变量X的分布列为若Y＝－2X，则E(Y)＝________.答案　eq \f(17,15)解析　由随机变量分布列的性质，得eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,5)＋m＋eq \f(1,20)＝1，解得m＝eq \f(1,6)，∴E(X)＝(－2)×eq \f(1,4)＋(－1)×eq \f(1,3)＋0×eq \f(1,5)＋1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,20)＝－eq \f(17,30).由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，即E(Y)＝－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,30)))＝eq \f(17,15).延伸探究本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－eq \f(11,2)，求a的值．解　E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－eq \f(17,30)a＋3＝－eq \f(11,2)，所以a＝15.反思感悟　求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值方法(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值．(2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可．跟踪训练2　已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为(　　)A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)答案　A解析　因为η＝12ξ＋7，则E(η)＝12E(ξ)＋7，即E(η)＝12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×\f(1,4)＋2×m＋3×n＋4×\f(1,12)))＋7＝34.所以2m＋3n＝eq \f(5,3)，①又eq \f(1,4)＋m＋n＋eq \f(1,12)＝1，所以m＋n＝eq \f(2,3)，②由①②可解得m＝eq \f(1,3).三、均值的实际应用例3　随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解　(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2，P(X＝6)＝eq \f(126,200)＝0.63，P(X＝2)＝eq \f(50,200)＝0.25，P(X＝1)＝eq \f(20,200)＝0.1，P(X＝－2)＝eq \f(4,200)＝0.02.故X的分布列为(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.反思感悟　解答概率模型的三个步骤(1)建模：即把实际问题概率模型化．(2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值．(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断．跟踪训练3　受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由．解　(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝eq \f(2＋3,50)＝eq \f(1,10).(2)依题意得，X1的分布列为X2的分布列为(3)由(2)得E(X1)＝1×eq \f(1,25)＋2×eq \f(3,50)＋3×eq \f(9,10)＝2.86(万元)．E(X2)＝1.8×eq \f(1,10)＋2.9×eq \f(9,10)＝2.79(万元)．∵E(X1)>E(X2)，∴应生产甲品牌轿车．1．已知离散型随机变量X的分布列为则X的均值E(X)等于(　　)A.eq \f(3,2) B．2 C.eq \f(5,2) D．3答案　A解析　E(X)＝1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(3,2).2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(　　)A．0 B.eq \f(1,2) C．1 D．－1答案　A解析　因为P(X＝1)＝eq \f(1,2)，P(X＝－1)＝eq \f(1,2)，所以由均值的定义得E(X)＝1×eq \f(1,2)＋(－1)×eq \f(1,2)＝0.3．设ξ的分布列为又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　)A.eq \f(7,6) B.eq \f(17,6) C.eq \f(17,3) D.eq \f(32,3)答案　D解析　E(ξ)＝1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,6)＋3×eq \f(1,3)＋4×eq \f(1,3)＝eq \f(17,6)，E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×eq \f(17,6)＋5＝eq \f(32,3).4．若随机变量Y＝aX＋3，且E(Y)＝eq \f(7,3)，E(X)＝－eq \f(1,3)，则a＝________.答案　2解析　∵E(X)＝－eq \f(1,3)，E(Y)＝eq \f(7,3)，Y＝aX＋3，∴aE(X)＋3＝eq \f(7,3)，解得a＝2.5．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为eq \f(2,3)，则此人试验次数ξ的均值是________．答案　eq \f(13,9)解析　试验次数ξ的可能取值为1,2,3，则P(ξ＝1)＝eq \f(2,3)，P(ξ＝2)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，P(ξ＝3)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(1,3)))＝eq \f(1,9).所以ξ的分布列为所以E(ξ)＝1×eq \f(2,3)＋2×eq \f(2,9)＋3×eq \f(1,9)＝eq \f(13,9).1．知识清单：(1)离散型随机变量的均值．(2)离散型随机变量的均值的性质．(3)两点分布的均值．2．方法归纳：函数与方程、转化化归．3．常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析．1．某便利店记录了100天某商品的日需求量(单位：件)，整理得下表：试估计该商品日平均需求量为(　　)A．16 B．16.2 C．16.6 D．16.8答案　D解析　估计该商品日平均需求量为14×0.1＋15×0.2＋16×0.3＋18×0.2＋20×0.2＝16.8，故选D.2．(多选)已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则(　　)A.a＝7 B．b＝0.4C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.62答案　ABC解析　由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，解得b＝0.4，a＝7.∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，故ABC正确．3．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为eq \f(1,6)，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为(　　)A．1.18 B．3.55 C．1.23 D．2.38答案　A解析　因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，P(X＝1.2)＝eq \f(1,6)，P(X＝1.18)＝eq \f(1,2)，P(X＝1.17)＝eq \f(1,3)，所以X的分布列为所以E(X)＝1.2×eq \f(1,6)＋1.18×eq \f(1,2)＋1.17×eq \f(1,3)＝1.18.4．袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1,2,3)．现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于(　　)A．2 B.eq \f(3,2) C.eq \f(4,5) D.eq \f(7,5)答案　D解析　由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝eq \f(2,5)，P(X＝1)＝eq \f(1,10)，P(X＝2)＝eq \f(1,5)，P(X＝3)＝eq \f(3,10).∴E(X)＝0×eq \f(2,5)＋1×eq \f(1,10)＋2×eq \f(1,5)＋3×eq \f(3,10)＝eq \f(7,5).5．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是(　　)A.eq \f(6,5) B.eq \f(3,10) C.eq \f(4,5) D.eq \f(1,5)答案　A解析　由题意得，X的所有可能的取值为0,1,2，P(X＝0)＝eq \f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq \f(1,10)，P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,2)×C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq \f(3,10).∴E(X)＝0×eq \f(1,10)＋1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＝eq \f(6,5)，故A正确．6．已知E(Y)＝6，Y＝4X－2，则E(X)＝________.答案　2解析　∵Y＝4X－2，E(Y)＝4E(X)－2，∴4E(X)－2＝6，即E(X)＝2.7．离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则a＝________，b＝________.答案　eq \f(1,10)　0解析　易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.①又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，②由①②，得a＝eq \f(1,10)，b＝0.8．某射手射击所得环数X的分布列如下：已知E(X)＝8.9，则y的值为________．答案　0.4解析　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝0.6，,7x＋10y＝8.9－0.8－2.7，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0.2，,y＝0.4.))9．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．解　X的可能取值为1,2,3，则P(X＝1)＝eq \f(3,5)，P(X＝2)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,10)，P(X＝3)＝eq \f(2,5)×eq \f(1,4)×1＝eq \f(1,10).所以抽取次数X的分布列为所以E(X)＝1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(3,2).10．春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为eq \f(1,3)，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：(1)随机变量ξ的分布列；(2)随机变量ξ的均值．解　(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.则P(ξ＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq \f(16,81)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\o\al(1,4)·23,34)＝eq \f(32,81)，P(ξ＝2)＝eq \f(C\o\al(2,4)·22,34)＝eq \f(8,27)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\o\al(3,4)·2,34)＝eq \f(8,81)，P(ξ＝4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＝eq \f(1,81).从而ξ的分布列为(2)由(1)得ξ的均值为E(ξ)＝0×eq \f(16,81)＋1×eq \f(32,81)＋2×eq \f(8,27)＋3×eq \f(8,81)＋4×eq \f(1,81)＝eq \f(4,3).11．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是(　　)A．2 000元 B．2 200元C．2 400元 D．2 600元答案　B解析　出海的期望效益E(X)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．12．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为(　　)A．无法确定 B．0 C．E(X) D．2E(X)答案　B解析　∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.13．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为则E(ξ)的最大值为(　　)A．1 B.eq \f(3,2) C.eq \f(2,3) D．2答案　B解析　由p≥0，eq \f(1,2)－p≥0，得0≤p≤eq \f(1,2)，则E(ξ)＝p＋1≤eq \f(3,2)，故选B.14．甲、乙、丙三人参加某次招聘会，甲应聘成功的概率为eq \f(4,9)，乙、丙应聘成功的概率均为eq \f(t,3)(01.75，则p的取值可以为(　　)A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(7,12)答案　AB解析　根据题意，X的所有的可能取值为1,2,3，且P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依题意有E(X)>1.75，则p2－3p＋3>1.75，解得p>eq \f(5,2)或p<eq \f(1,2)，结合p的实际意义，可得097.7，∴每天购进50盒比较合理．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnYax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pnX5678Peq \f(4,35)eq \f(18,35)eq \f(12,35)eq \f(1,35)X－4136Peq \f(1,9)eq \f(7,18)eq \f(7,18)eq \f(1,9)X－2－1012Peq \f(1,4)eq \f(1,3)eq \f(1,5)meq \f(1,20)ξ1234Peq \f(1,4)mneq \f(1,12)X621－2P0.630.250.10.02品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0202轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9X1123Peq \f(1,25)eq \f(3,50)eq \f(9,10)X21.82.9Peq \f(1,10)eq \f(9,10)X123Peq \f(3,5)eq \f(3,10)eq \f(1,10)ξ1234Peq \f(1,6)eq \f(1,6)eq \f(1,3)eq \f(1,3)ξ123Peq \f(2,3)eq \f(2,9)eq \f(1,9)日需求量n1415161820频率0.10.20.30.20.2X4a9P0.50.1bX1.21.181.17Peq \f(1,6)eq \f(1,2)eq \f(1,3)X78910Px0.10.3yX123Peq \f(3,5)eq \f(3,10)eq \f(1,10)ξ01234Peq \f(16,81)eq \f(32,81)eq \f(8,27)eq \f(8,81)eq \f(1,81)ξ012Peq \f(1,2)－ppeq \f(1,2)日需求量48495051525354频数10201616151310X9095100Peq \f(1,10)eq \f(1,5)eq \f(7,10)