高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第三册 第7章 7.4.1 二项分布（含解析）

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§7.4　二项分布与超几何分布7.4.1　二项分布学习目标　1.理解n重伯努利试验的概念.2.掌握二项分布.3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题．知识点一　n重伯努利试验及其特征1．n重伯努利试验的概念将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．2．n重伯努利试验的共同特征(1)同一个伯努利试验重复做n次．(2)各次试验的结果相互独立．思考　在相同条件下，有放回地抽样试验是n重伯努利试验吗？答案　是．其满足n重伯努利试验的共同特征．知识点二　二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(00.9，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n<0.1，∴n≥4.7．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．答案　eq \f(11,32)解析　正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次，所求概率P＝Ceq \o\al(4,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6＋Ceq \o\al(5,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6＋Ceq \o\al(6,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6＝eq \f(11,32).8．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为________．答案　eq \f(8,27)解析　每位申请人申请房源为一次试验，这是4重伯努利试验，设申请A片区的房源记为事件A，则P(A)＝eq \f(1,3)，所以恰有2人申请A片区的概率为Ceq \o\al(2,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq \f(8,27).9．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．解　(1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8，5次预报相当于5重伯努利试验．“恰有2次准确”的概率为P＝Ceq \o\al(2,5)×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”．其概率为P＝Ceq \o\al(0,5)×(0.2)5＋Ceq \o\al(1,5)×0.8×0.24＝0.006 72.所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.10．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是eq \f(2,3)，出现绿灯的概率都是eq \f(1,3).记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求ξ＝2时的概率；(2)求ξ的均值．解　(1)依题意知，ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是eq \f(2,3)，故ξ＝2时的概率P＝Ceq \o\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq \f(8,27).(2)方法一　ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知，P(ξ＝k)＝Ceq \o\al(k,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4－k(k＝0,1,2,3,4)．∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝0×eq \f(1,81)＋1×eq \f(8,81)＋2×eq \f(8,27)＋3×eq \f(32,81)＋4×eq \f(16,81)＝eq \f(8,3).方法二　∵ξ服从二项分布，即ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，∴E(ξ)＝4×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3).11．(多选)设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝eq \f(5,9)，则(　　)A．p＝eq \f(1,3) B．E(ξ)＝eq \f(2,3)C．D(η)＝1 D．P(η≥2)＝eq \f(7,27)答案　ABD解析　∵P(ξ＝0)＋P(ξ≥1)＝1，∴Ceq \o\al(0,2)(1－p)2＋eq \f(5,9)＝1，∴p＝eq \f(1,3).∴E(ξ)＝2×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，D(η)＝3×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3).P(η≥2)＝Ceq \o\al(3,3)p3＋Ceq \o\al(2,3)p2(1－p)＝eq \f(1,27)＋eq \f(6,27)＝eq \f(7,27).12．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为(　　)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))3×eq \f(4,9) B.eq \f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,4),C\o\al(4,5))C.eq \f(3,5)×eq \f(1,4) D．Ceq \o\al(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))3×eq \f(4,9)答案　A解析　由题意知前3次取出的均为黑球，第4次取得的为白球．故其概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))3×eq \f(4,9).13．在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是(　　)A．[0.4,1) B．(0,0.4]C．(0,0.6] D．[0.6,1]答案　A解析　由题意知Ceq \o\al(1,4)p(1－p)3≤Ceq \o\al(2,4)p2(1－p)2，解得p≥0.4，又∵0P(X＝k)，当k>eq \f(5,2)时，P(X＝k＋1)