高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第三册 第7章 7.4.2 超几何分布（含解析）

7.4.2　超几何分布

学习目标　1.理解超几何分布.2.了解二项分布同超几何分布的区别与联系．

知识点　超几何分布

1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为

P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.

其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．

2．均值：E(X)＝.

1．超几何分布是不放回抽样．(　√　)

2．超几何分布的总体是只有两类物品．(　√　)

3．超几何分布与二项分布的均值相同．(　√　)

4．超几何分布与二项分布没有任何联系．(　×　)

一、超几何分布的辨析

例1　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．

(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；

(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；

(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；

(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；

(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列．

解　(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．

(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布．

(5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题．

反思感悟　判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点

(1)总体是否可分为两类明确的对象．

(2)是否为不放回抽样．

(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．

跟踪训练1　(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有(　　)

A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X

B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数

C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X

D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X

答案　ABD

解析　依据超几何分布模型定义可知，ABD中随机变量X服从超几何分布．而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．

二、超几何分布的概率

例2　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．

(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．

解　(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．

代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝.

因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为

1－＝.

(2)根据题意，知X的所有的可能取值为1,2,3.

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝.

所以X的分布列为

反思感悟　求超几何分布的分布列的步骤

跟踪训练2　现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为.

(1)求7名学生中甲班的学生数；

(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．

解　(1)设甲班的学生人数为M，则＝＝，

即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)．

∴7名学生中甲班的学生共有3人．

(2)由题意可知，ξ服从超几何分布．

∴P(ξ ≥1)＝P(ξ＝1)＋p(ξ＝2)＝＋＝＋＝.

三、超几何分布与二项分布间的关系

例3　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495，500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．

(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；

(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；

(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．

解　(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，

所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．

(2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0,1,2，X服从超几何分布．

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

∴X的分布列为

∴X的均值为

方法一　E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

方法二　E(X)＝＝.

(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.

从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B，

P(Y＝k)＝C×k×2－k，k＝0,1,2，

∴P(Y＝0)＝C×2＝，

P(Y＝1)＝C××＝，

P(Y＝2)＝C×2＝.

∴Y的分布列为

反思感悟　二项分布与超几何分布的关系

在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．

跟踪训练3　(1)100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；

(2)某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．

解　(1)任取一件得到次品的概率为＝0.1，有放回的取出5件，相当于5重伯努利试验，故ξ～B(5,0.1)，所以ξ的分布列为

(2)由于商品数量较大，从中只抽取5件，故η的分布列近似地为ξ的分布列．

1．(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是(　　)

A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X

B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X

C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X

D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数

答案　ACD

解析　由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布，故选ACD.

2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　记X为2张中的中奖数，则P(X＝2)＝＝.

3．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为(　　)

A.   B.

C．1－   D.

答案　D

解析　设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋.

4．盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白球的个数为ξ，则E(ξ)＝________.

答案　

解析　E(ξ)＝＝.

5．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取________时，对应的概率为.

答案　3

解析　由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的C可以看出“从5名三好学生中选取了3名”．

1．知识清单：

(1)超几何分布的概念及特征．

(2)超几何分布的均值．

(3)超几何分布与二项分布的区别与联系．

2．方法归纳：类比．

3．常见误区：超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样．

1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　根据题意，得P＝＝.

2．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　　)

A．P(0<X≤2)   B．P(X≤1)

C．P(X＝1)   D．P(X＝2)

答案　B

解析　本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．

3．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的均值是(　　)

A．n   B.

C.   D.

答案　C

解析　设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布，∴抽到的次品数的均值E(X)＝.

4．在10个排球中有6个正品，4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率公式可知，当0个正品4个次品时，P＝＝，当1个正品3个次品时，P＝＝＝，所以正品数比次品数少的概率为＋＝.故选A.

5．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任意抽2件，则出现2件次品的概率为(　　)

A.  B.  C.  D．以上都不对

答案　A

解析　设抽到的次品数为X，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝5，n＝2.于是出现2件次品的概率为

P(X＝2)＝＝.

6．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝________.

答案　

解析　易知P(X＝1)＝＝.

7．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)＝________，随机变量X的均值E(X)＝________.

答案　　0.6

解析　X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，

所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝，E(X)＝＝0.6.

8．数学教师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是________．

答案　

解析　设X表示解答正确的题的个数，由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.

9．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．

(1)求ξ的分布列；

(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．

解　(1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，

P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2.

所以，P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝.

所以，ξ的分布列为

(2)由(1)知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为

P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝.

10．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A“取出的2件产品都是二等品”的概率P(A)＝0.04.

(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；

(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的分布列．

解　(1)设任取一件产品是二等品的概率为p，

依题意有P(A)＝p2＝0.04，

解得p1＝0.2，p2＝－0.2(舍去)，

故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.

(2)若该批产品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2(件)，故X的可能取值为0,1,2.

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

所以X的分布列为

11．(多选)10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a等于(　　)

A．1  B．2  C．4  D．8

答案　BD

解析　由题意知，＝，

整理，得a2－10a＋16＝0，

解得a＝2或8.

12．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为(　　)

A．恰有1个是坏的   B．4个全是好的

C．恰有2个是好的   D．至多有2个是坏的

答案　C

解析　设“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，

则P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故选C.

13．一只袋内装有m个白球，(n－m)个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，则下列概率等于的是(　　)

A．P(X＝3)   B．P(X≥2)

C．P(X≤3)   D．P(X＝2)

答案　D

解析　当X＝2时，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，前2个拿出白球，有A种取法，再任意拿出1个黑球即可，有C种取法，而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即A，P(X＝2)＝＝.故选D.

14．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为________，记甲答对试题的个数为X，则X的均值E(X)＝________.

答案　　3

解析　依题意，甲能通过的概率为

P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝＋＝.

由于P(X＝2)＝＝，

方法一　故E(X)＝2×＋3×＋4×＝3.

方法二　E(X)＝＝3.

15．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．

答案　15

解析　用X表示中奖票数，P(X≥1)＝＋>0.5，解得n≥15.

16．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：

(1)取出的3件产品中一等品件数为X的分布列；

(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

解　(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CC，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.

∴随机变量X的分布列为

(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.

由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，

而P(A1)＝＝，

P(A2)＝P(X＝2)＝，

P(A3)＝P(X＝3)＝.

∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.