人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.2 离散型随机变量及其分布列优秀同步达标检测题

§7.2　离散型随机变量及其分布列

学习目标　1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系.

3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.4.理解两点分布．

知识点一　随机变量的概念、表示及特征

1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．

2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z.

3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：

(1)取值依赖于样本点．

(2)所有可能取值是明确的．

知识点二　离散型随机变量

可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量．

知识点三　离散型随机变量的分布列及其性质

1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．

2．分布列的性质

(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.

(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.

知识点四　两点分布

如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为

我们称X服从两点分布或0－1分布．

思考　随机变量X只取两个值，该分布是两点分布吗？

答案　不一定，如果X只取0和1，则是两点分布，否则不是．

1．离散型随机变量的取值是任意的实数．(　×　)

2．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　√　)

3．离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(　×　)

4．手机电池的使用寿命X是离散型随机变量．(　×　)

一、随机变量的概念及分类

例1　下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由．

(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；

(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；

(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；

(4)一瓶果汁的容量为500±2 mL.

解　(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．

(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．

(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．

(4)由于果汁的容量在498 mL～502 mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量．

反思感悟　判断离散型随机变量的方法

(1)明确随机试验的所有可能结果；

(2)将随机试验的结果数量化；

(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．

跟踪训练1　指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．

(1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；

(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；

(3)某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；

(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．

解　(1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．

(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．

(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．

(4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．

二、求离散型随机变量的分布列

例2　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．

(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；

(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列．

解　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有C＝10(种)情况．

(1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，

P(A)＝＝，

即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为.

(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0,1,2.

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

故X的分布列为

反思感悟　求离散型随机变量的分布列关键有三点

(1)随机变量的取值．

(2)每一个取值所对应的概率．

(3)用所有概率之和是否为1来检验．

跟踪训练2　袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列．

解　X的可能取值为1,2,3,4,5，

则第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝，

第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝＝，

第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝＝，

第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝＝，

第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝＝，

所以X的分布列为

三、分布列的性质及应用

例3　设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．

(1)求常数a的值；

(2)求P.

解　由题意，所给分布列为

(1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，

解得a＝.

(2)方法一　P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.

方法二　P＝1－P＝1－＝.

延伸探究

本例条件不变，求P.

解　∵<X<，∴X＝，，.

∴P＝P＋P

＋P＝＋＋＝.

反思感悟　分布列的性质及其应用

(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．

(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．

跟踪训练3　若离散型随机变量X的分布列为

试求出离散型随机变量X的分布列．

解　由已知可得9c2－c＋3－8c＝1，

∴9c2－9c＋2＝0，∴c＝或.

检验：当c＝时，9c2－c＝9×2－＝>0，

3－8c＝3－＝>0；

当c＝时，9c2－c＝9×2－>1，

3－8c＝3－<0(不适合，舍去)．故c＝.

故所求分布列为

1．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是(　　)

A.

B.

C.

D.

答案　C

解析　C项中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点．

所以C项不是随机变量的分布列．

2．(多选)下列变量中，不是离散型随机变量的是(　　)

A．到2020年5月1日止，我国被确诊的患新型冠状病毒肺炎的人数

B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高

C．某人在车站等出租车的时间

D．某人投篮10次，可能投中的次数

答案　ABC

3．设离散型随机变量X的分布列如下：

则p的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　由分布列的性质可知p＝1－－－＝.

4．已知X，Y均为离散型随机变量，且X＝2Y，若X的所有可能取值为0,2,4，则Y的所有可能取值为________．

答案　0,1,2

解析　由题意Y＝X且X∈{0,2,4}，

得Y∈{0,1,2}．

5．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.

答案　0.8

解析　因为Y＝3X－2，所以当Y＝－2时，X＝0，

所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.

1．知识清单：

(1)随机变量的概念、特征．

(2)离散型随机变量的概念．

(3)离散型随机变量的分布列的概念及其性质．

(4)两点分布．

2．方法归纳：转化化归．

3．常见误区：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误．

1．(多选)下面是离散型随机变量的是(　　)

A．某机场候机室中一天的游客数量X

B．某外卖员一天内收到的点餐次数X

C．某水文站观察到一天中长江的最高水位X

D．某立交桥一天经过的车辆数X

答案　ABD

解析　ABD中随机变量X所有可能取的值我们都可以按一定次序一一列出，因此它们都是离散型随机变量，C中X可以取某一区间内的一切值，无法一一列出，故不是离散型随机变量．

2．设离散型随机变量X的分布列为

若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于(　　)

A．0.3  B．0.4  C．0.6  D．0.7

答案　A

解析　由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.

所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.

3．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是(　　)

A．第5次击中目标

B．第5次未击中目标

C．前4次均未击中目标

D．第4次击中目标

答案　C

解析　ξ＝5表示前4次均未击中目标，故选C.

4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于(　　)

A．0  B.  C.  D.

答案　B

解析　设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p.依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝.故p(ξ＝0)＝1－p＝.

5．离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y∈N)代替，分布列如下：

则P等于(　　)

A．0.25  B．0.35  C．0.45  D．0.55

答案　B

解析　根据分布列的性质，知随机变量的所有取值的概率之和为1，可解得x＝2，y＝5，故P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.35.

6．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码所用的次数为X，随机变量X的可能值有________个．

答案　24

解析　后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有A＝24(个)．

7．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么P(X＝1)＝________，n＝________.

答案　0.1　10

解析　由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，

∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.

8．把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X，则P(X<2)＝________.

答案　

解析　P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＝.

9．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.

(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；

(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分．求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．

解　(1)

(2)由题意可得η＝5ξ＋6，

而ξ可能的取值为0,1,2,3，

所以η对应的各值是

5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.

故η的可能取值为6,11,16,21，显然η为离散型随机变量．

10．从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为ξ，求ξ的分布列．

解　ξ的所有可能取值为0,1,2，“ξ＝0”表示入选3人全是男生，则P(ξ＝0)＝＝，

“ξ＝1”表示入选3人中恰有1名女生，

则P(ξ＝1)＝＝，

“ξ＝2”表示入选3人中有2名女生，

则P(ξ＝2)＝＝.

因此ξ的分布列为

11．已知随机变量X的分布列如下：

则P(X＝10)等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　P(X＝10)＝1－－…－＝.

12．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果数为(　　)

A．18  B．21  C．24  D．10

答案　B

解析　ξ＝8表示3个篮球中一个编号是8，另外两个从剩余7个号中选2个，有C种方法，即21种．

13．(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则(　　)

A.a＝   B．b＝

C．c＝   D．P(|X|＝1)＝

答案　BD

解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.

由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝.

∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)

＝1－P(X＝0)＝1－＝.

14．若随机变量X的分布列如下表所示：

则a2＋b2的最小值为________．

答案　

解析　由分布列的性质，知a＋b＝，而a2＋b2≥＝(当且仅当a＝b＝时等号成立)．

15．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是(　　)

A.   B.

C．[－3,3]   D．[0,1]

答案　B

解析　设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得

(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故a＝，

由解得－≤d≤.

16．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.

(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；

(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．

解　(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．

(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，

所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有

P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，

P(ξ＝9)＝.

故ξ的分布列为