高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.5 正态分布优秀复习练习题

§7.5　正态分布

学习目标　1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．

知识点一　正态曲线与正态分布

1．我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．

3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．

思考1　正态曲线f(x)＝，x∈R中的参数μ，σ有何意义？

答案　μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝μ；σ>0表示标准差，D(X)＝σ2.一个正态密度函数由μ，σ唯一确定，π和e为常数，x为自变量，x∈R.

思考2　若随机变量X～N(μ，σ2)，则X是离散型随机变量吗？

答案　若X～N(μ，σ2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a<X≤b)为区域B的面积，X可取(a，b]内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量．

知识点二　正态曲线的特点

1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．

2．曲线与x轴之间的面积为1.

3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．

4．曲线在x＝μ处达到峰值.

5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．

6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.

7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.

知识点三　正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则

P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；

P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；

P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.

尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．

在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．

1．正态曲线中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(　×　)

2．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　×　)

3．正态曲线可以关于y轴对称．(　√　)

4．若X～N(μ，σ2)，则P(X<μ)＝.(　√　)

一、正态曲线

例1　(1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝        ，方差σ2＝        .

(2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是(　　)

A．甲科总体的标准差最小

B．丙科总体的平均数最小

C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大

D．甲、乙、丙总体的平均数不相同

答案　(1)20　2　(2)BCD

解析　(1)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20，＝，解得σ＝，因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2.

(2)由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．

反思感悟　利用正态曲线的特点求参数μ，σ

(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ.

(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ.

跟踪训练1　(多选)下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有(　　)

A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交

B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升

C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中

D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点

答案　ABD

解析　只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散．

二、利用正态分布求概率

例2　设ξ～N(1,22)，试求：

(1)P(－1≤ξ≤3)；

(2)P(3≤ξ≤5)．

解　∵ξ～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2，

(1)P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)

＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7；

(2)∵P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)，

∴P(3≤ξ≤5)＝[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)]

＝[P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)]

＝[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]

≈(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.

延伸探究

若本例条件不变，求P(ξ>5)．

解　P(ξ>5)＝P(ξ<－3)＝[1－P(－3≤ξ≤5)]

＝[1－P(1－4≤ξ≤1＋4)]

＝[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)]

≈(1－0.954 5)＝0.022 75.

反思感悟　利用正态分布的对称性求概率

由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．

跟踪训练2　已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于(　　)

A．0.6  B．0.4  C．0.3  D．0.2

答案　C

解析　∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，

∴μ＝2，对称轴是ξ＝2.

∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，

∴P(0<ξ<4)＝0.6，

∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.

三、正态分布的应用

例3　有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：

(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；

(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？

解　(1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，

μ＋σ＝22，

于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%.

(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，

∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.14%.

∴尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.14%＝107(个)．

反思感悟　求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法

(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值．

(2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化．

(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．

跟踪训练3　在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？

解　∵成绩服从正态分布N(80,52)，

∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.

∴成绩在[75,85]内的同学占全班同学的68.27%，成绩在[80,85]内的同学占全班同学的34.135%.

设该班有x名同学，则x×34.135%＝17，解得x≈50.

∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，

∴成绩在[70,90]内的同学占全班同学的95.45%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.275%.

即有50×2.275%≈1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人．

根据对称性求正态曲线在某个区间内取值的概率

典例　已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)等于(　　)

A．0.477  B．0.954  C．0.628  D．0.977

答案　B

解析　画出正态曲线如图所示，结合图象知，P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)＝1－2×0.023＝0.954.

[素养提升]　借助图象较直观的分析出P(ξ>2)与P(－2≤ξ≤2)概率的关系，提升了学生的直观想象素养．

1．设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝，则这个正态总体的均值与标准差分别是(　　)

A．10与8   B．10与2

C．8与10   D．2与10

答案　B

解析　由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.

2．正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为(　　)

A．P1＝P2  B．P1<P2  C．P1>P2  D．不确定

答案　A

解析　根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．

3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(　　)

(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈95.45%)

A．4.56%   B．13.59%

C．27.18%   D．31.74%

答案　B

解析　P(3<ξ<6)＝[P(－6<ξ<6)－P(－3<ξ<3)]≈(95.45%－68.27%)＝13.59%.故选B.

4．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，则c＝        .

答案　2

解析　∵ξ～N(2,9)，

又P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，

∴＝2，∴c＝2.

5．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为        ．

答案　0.8

解析　如图，易得P(0<X<1)＝P(1<X<2)，

故P(0<X<2)＝2P(0<X<1)＝2×0.4＝0.8.

1．知识清单：

(1)正态曲线及其特点．

(2)正态分布．

(3)正态分布的应用，3σ原则．

2．方法归纳：转化化归、数形结合．

3．常见误区：概率区间转化不等价．

1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是(　　)

A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件

B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件

C．随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件

D．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件

答案　D

解析　∵P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3，∴P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈1－0.997 3＝0.002 7，∴随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件．

2．(多选)已知三个正态密度函数φi(x)＝(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)

A．σ1＝σ2   B．μ1>μ2

C．μ1＝μ2   D．σ2<σ3

答案　AD

解析　由图可知μ2＝μ3>μ1，σ1＝σ2<σ3，故AD正确．

3．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ<4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于(　　)

A．0.16   B．0.32

C．0.68   D．0.84

答案　A

解析　∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，

∵P(ξ<4)＝0.84，

∴P(ξ≥4)＝1－0.84＝0.16，

∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.16.

4．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于(　　)

A．10  B．100  C.  D.

答案　C

解析　由正态分布密度曲线上的最高点为知＝，∴D(X)＝σ2＝.

5.如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　)

A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3

C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3

答案　D

解析　当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝在x＝0处取最大值，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”．故选D.

6．已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X≤1)＝0.5，则实数a的值为        ．

答案　1

解析　∵X服从正态分布N(a,4)，

∴正态曲线关于直线x＝a对称，

又P(X≤1)＝0.5，故a＝1.

7．已知随机变量X～N(2，σ2)，如图所示，若P(X<a)＝0.32，则P(a≤X≤4－a)＝        .

答案　0.36

解析　∵随机变量X～N(2，σ2)，∴μ＝2，由正态分布图象的对称性可得曲线关于直线x＝2对称，∴P(X>4－a)＝P(X<a)＝0.32，∴P(a≤X≤4－a)＝1－P(X<a)－P(X>4－a)＝1－2P(X<a)＝0.36.

8．已知X～N(4，σ2)，且P(2<X<6)≈0.682 7，则σ＝        ，P(|X－2|<4)＝        .

答案　2　0.84

解析　∵X～N(4，σ2)，∴μ＝4.

∵P(2<X<6)≈0.682 7，

∴∴σ＝2.

∴P(|X－2|<4)＝P(－2<X<6)

＝P(－2<X<2)＋P(2<X<6)

＝[P(－2<X<10)－P(2<X<6)]＋P(2<X<6)

＝P(－2<X<10)＋P(2<X<6)＝0.84.

9．已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(2≤X≤4)＝0.68，求P(X>4)的值．

解　∵随机变量X～N(3，σ2)，

∴正态曲线关于直线x＝3对称，

又P(2≤X≤4)＝0.68，可得P(X>4)＝×[1－P(2≤X≤4)]＝×(1－0.68)＝0.16.

10．一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？

解　对于第一个方案有X～N(8,32)，其中μ＝8，σ＝3，P(X>5)＝＋P(5<X≤11)＝≈0.841 35；

对于第二个方案有X～N(7,12)，其中μ＝7，σ＝1，

P(X>5)＝≈0.977 25，

显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案．

11．在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第(　　)

A．1 500名  B．1 700名  C．4 500名  D．8 000名

答案　A

解析　因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，所以P(X>108)＝[1－P(88≤X≤108)]＝[1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈×(1－0.682 7)＝0.158 65.所以0.158 65×9 455≈1 500.

12．一批电阻的电阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1 000,52)，现从甲、乙两箱出厂的成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，可以认为(　　)

A．甲、乙两箱电阻均可出厂

B．甲、乙两箱电阻均不可出厂

C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂

D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂

答案　C

解析　∵X～N(1 000,52)，∴μ＝1 000，σ＝5，

∴μ－3σ＝1 000－3×5＝985，

μ＋3σ＝1 000＋3×5＝1 015.

∵1 011∈(985,1 015)，982∉(985,1 015)，

∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂．

13．某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X～N(100,1)．现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4，98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间[97,103]内，∴工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修的概率为＝，故选B.

14．已知随机变量X～N(2,22)，且aX＋b(a>0)服从标准正态分布N(0,1)，则a＝        ，b＝        .

答案　　－1

解析　∵随机变量X～N(2,22)，

∴E(X)＝2，D(X)＝22＝4.

∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝2a＋b＝0，

D(aX＋b)＝a2D(X)＝4a2＝1，

又a>0，∴a＝，b＝－1.

15．(多选)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是(　　)

A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)

B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)

C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)

D．对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t)

答案　ABD

解析　由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，

∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错；

P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错；

当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，

而P(X≤t)＝1－P(X>t)，P(Y≤t)＝1－P(Y>t)，

∴P(X>t)<P(Y>t)，故C正确，D错．

16．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：

(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；

(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：

①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？

②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每位农民的年收入互相独立，记这1 000位农民中的年收入高于12.14千元的人数为ξ，求E(ξ)．

附参考数据：≈2.63，

若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则

P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.

解　＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)，

故估计50位农民的年平均收入为17.40千元．

(2)由题意知X～N(17.40,6.92)，

①P(X>μ－σ)＝0.5＋≈0.841 4，

所以μ－σ＝17.40－2.63＝14.77时，满足题意，

即最低年收入大约为14.77千元．

②由P(X>12.14)＝P(X>μ－2σ)＝0.5＋≈0.977 3，

每个农民的年收入高于12.14千元的事件的概率为0.977 3，

则ξ～B(1 000，p)，其中p＝0.977 3，

所以E(ξ)＝1 000×0.977 3＝977.3.