高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第三册 第7章 章末复习课（含解析）

章末复习课

一、条件概率与全概率公式

1．求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝求解；另一种是缩小样本空间，即以A为样本空间计算AB的概率．

2．掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养．

例1　甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率．

解　设B＝“飞机被击落”，Ai＝“飞机被i人击中”，i＝1,2,3，则B＝A1B＋A2B＋A3B，

依题意，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1.

由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)，

为求P(Ai)，设Hi＝“飞机被第i人击中”，i＝1,2,3，可求得：

P(A1)＝P(H123＋1H23＋12H3)，

P(A2)＝P(H1H23＋H12H3＋1H2H3)，

P(A3)＝P(H1H2H3)，

将数据代入计算得

P(A1)＝0.36，P(A2)＝0.41，P(A3)＝0.14，

于是P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458.

即飞机被击落的概率为0.458.

反思感悟　条件概率的计算要注意以下三点

(1)明白是在谁的条件下，计算谁的概率．

(2)明确P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者间的关系，实现三者间的互化．

(3)理解全概率公式P(A)＝(Bi)P(A|Bi)中化整为零的计算思想．

跟踪训练1　抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　记事件A＝“红色骰子的点数为4或6”，事件B＝“两颗骰子的点数之积大于20”．

P(A)＝＝，P(AB)＝＝，

∴P(B|A)＝＝＝.

二、n重伯努利试验及二项分布

1．n重伯努利试验是相互独立事件的延伸，其试验结果出现的次数X～B(n，p)，即P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k.

2．学习该部分知识重点提升数学建模及数学运算的核心素养．

例2　在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是.

(1)求油灌被引爆的概率；

(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ不小于4的概率．

解　(1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为

P＝C××4＋5，

所以所求的概率为

1－P＝1－＝.

(2)当ξ＝4时，记事件为A，

则P(A)＝P(ξ＝4)＝C××2×＝，

当ξ＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B.

则P(B)＝P(ξ＝5)＝C××3＋4＝，

所以所求概率为

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.

反思感悟　与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定

(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．

(2)各次试验中的事件是相互独立的．

(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．

(4)随机变量是这n重伯努利试验中某事件发生的次数．

跟踪训练2　一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，那么称该组为“甲类组”．

(1)求一个试用组为“甲类组”的概率；

(2)观察3个试用组，用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求η的分布列和均值．

解　(1)设Ai表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒药物有效的有i人”，i＝0,1,2，Bj表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有j人”，j＝0,1,2，

依题意有P(A1)＝2××＝，

P(A2)＝×＝，

P(B0)＝×＝，

P(B1)＝2××＝，

故一个试用组为“甲类组”的概率为P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝×＋×＋×＝.

(2)η的可能取值为0,1,2,3，且η～B，

则P(η＝0)＝C3＝，

P(η＝1)＝C2＝，

P(η＝2)＝C2＝，

P(η＝3)＝C3＝，

故η的分布列为

∵η～B，∴E(η)＝3×＝.

三、离散型随机变量的均值与方差

1．均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛．

2．掌握均值和方差的计算，重点提升逻辑推理和数据分析的核心素养．

例3　某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；

(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？

解　(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则A事件的对立事件为“X＝5”．

∵P(X＝5)＝×＝，

∴P(A)＝1－P(X＝5)＝，

∴这两人的累计得分X≤3的概率为.

(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值为E(3X2)，

由已知，X1～B，X2～B，

∴E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝.

∴E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝.

E(2X1)>E(3X2)，他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值最大．

反思感悟　求离散型随机变量X的均值与方差的步骤

(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值．

(2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)．

(3)写出X的分布列．

(4)由分布列和均值的定义求出E(X)．

(5)由方差的定义，求D(X)，若X～B(n，p)，则可直接利用公式求，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

跟踪训练3　一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字)．

(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列；

(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E(ξ)，D(ξ)．

解　(1)由已知，随机变量η的取值为2,3,4,5,6.设掷一个正方体骰子所得点数为η0，

则η0的分布列为

所以P(η＝2)＝×＝，

P(η＝3)＝2××＝，

P(η＝4)＝2××＋×＝，

P(η＝5)＝2××＝，

P(η＝6)＝×＝.

故η的分布列为

(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设某次发生的概率为p，由(1)知，p＝.

因为随机变量ξ～B，

所以E(ξ)＝np＝10×＝，

D(ξ)＝np(1－p)＝10××＝.

四、正态分布

1．正态分布是连续型随机变量X的一种分布，其在概率和统计中占有重要地位，尤其统计学中的3σ原则在生产生活中有广泛的应用．

2．熟记正态分布的特征及应用3σ原则解决实际问题是本章的两个重点，在学习中提升直观想象、数据分析的素养．

例4　在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70,100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．

(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？

(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？

解　(1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70,100)，

所以μ＝70，σ＝10.

则P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(50<X<90)]

＝[1－P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]≈×(1－0.954 5)

＝0.022 75，

12÷0.022 75≈527(人)．

因此，此次参赛学生的总数约为527人．

(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝[1－P(60<X<80)]

＝[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]≈×(1－0.682 7)

＝0.158 65，

527×0.158 65≈84(人)．

因此，此次竞赛成绩为优的学生约为84人．

反思感悟　正态曲线的应用及求解策略

(1)正态曲线是轴对称图形，常借助其对称性解题．

(2)正态分布的概率问题常借助[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率值求解．

(3)注意正态曲线与频率分布直方图的结合．

跟踪训练4　为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民侯车时间，为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计．乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间X满足正态分布N(μ，σ2)．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图所示的频率分布直方图．

(1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组的各个值，试估计μ，σ2的值；

(2)在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的．在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由．

(参考数据：≈4.38，≈4.63，≈5.16，0.841 37≈0.298 3,0.841 36≈0.354 6,0.158 73≈0.004 0，0.158 74≈0.000 6，P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3.)

解　(1)μ＝0.1×2＋0.2×6＋0.4×10＋0.2×14＋0.1×18＝10，

σ2＝s2＝2×(82×0.1＋42×0.2)＋(10－10)2×0.4＝19.2.

(2)μ＋σ＝10＋4.38＝14.38，

设“3名乘客候车时间超过15分钟”的事件为A，

P(X>14.38)＝≈0.158 65，

P(A)＝C×(0.158 65)3×(0.841 35)7≈0.143>0.003，

准点率正常．

1．(2020·全国Ⅲ)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(　　)

A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4

B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1

C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3

D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2

答案　B

解析　X的可能取值为1,2,3,4，四种情形的均值E(X)＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×p4都为2.5，方差D(X)＝[1－E(X)]2×p1＋[2－E(X)]2×p2＋[3－E(X)]2×p3＋[4－E(X)]2×p4，标准差为.

A选项的方差D(X)＝0.65；

B选项的方差D(X)＝1.85；

C选项的方差D(X)＝1.05；

D选项的方差D(X)＝1.45.

所以选项B的情形对应样本的标准差最大．

2．(2018·全国Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p等于(　　)

A．0.7  B．0.6  C．0.4  D．0.3

答案　B

解析　由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.

又因为P(X＝4)＜P(X＝6)，

所以Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4，所以p＞0.5，

所以p＝0.6.

3．(2019·全国Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．

答案　0.18

解析　记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.

4．(2017·全国Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．

(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

①试说明上述监控生产过程方法的合理性；

②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9．95　10.12　9.96　9.96　10.01　9.92　9.98　10.04

10．26　9.91　10.13　10.02　9.22　10.04　10.05　9.95

经计算得＝i＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.

用样本平均数作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除( －3 ， ＋3 )之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．

附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3,0.997 316≈0.957 7，≈0.09.

解　(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率约为0.997 3，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率约为0.002 7，故X～B(16,0.002 7)．

因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 316≈0.042 3.

X的数学期望E(X)≈16×0.002 7＝0.043 2.

(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 7，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.042 3，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．

②由＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为 ＝9.97，σ的估计值为 ＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在( －3 ， ＋3 )之外，因此需对当天的生产过程进行检查．

剔除( －3 ， ＋3 )之外的数据9.22，剩下数据的平均数为×(16×9.97－9.22)＝10.02.

因此μ的估计值为10.02.

＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134.

剔除( －3 ， ＋3 )之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，

因此σ的估计值为≈0.09.