高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用精品习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用精品习题，共16页。试卷主要包含了7，，2，，8万元．，79 kg，443等内容，欢迎下载使用。
§8.2　一元线性回归模型及其应用学习目标　1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义.2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．知识点一　一元线性回归模型称为Y关于x的一元线性回归模型．其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差，如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述．知识点二　最小二乘法将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中＝，＝－.思考1　经验回归方程一定过成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的某一点吗？答案　不一定．思考2　点(，)在经验回归直线上吗？答案　在．知识点三　残差与残差分析1．残差对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．2．残差分析残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．知识点四　对模型刻画数据效果的分析1．残差图法在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系．2．残差平方和法残差平方和(yi－i)2越小，模型的拟合效果越好．3．R2法可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越大，模型拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差．思考　利用经验回归方程求得的函数值一定是真实值吗？答案　不一定，他只是真实值的一个预测估计值．1．求经验回归方程前可以不进行相关性检验．(　×　)2．在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．(　√　)3．利用经验回归方程求出的值是准确值．(　×　)4．残差平方和越小，线性回归模型的拟合效果越好．(　√　)5．R2越小，线性回归模型的拟合效果越好．(　×　)一、求经验回归方程例1　某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356 (1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程＝x＋；(3)试根据求出的经验回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．解　(1)散点图如图所示：(2)＝＝9，＝＝4，＝62＋82＋102＋122＝344，iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，＝＝＝0.7，＝－＝4－0.7×9＝－2.3，故经验回归方程为＝0.7x－2.3.(3)由(2)中经验回归方程可知，当x＝9时，＝0.7×9－2.3＝4，即预测记忆力为9的同学的判断力为4.反思感悟　求经验回归方程可分如下四步来完成(1)列：列表表示xi，yi，x，xiyi.(2)算：计算，，，iyi.(3)代：代入公式计算，的值．(4)写：写出经验回归方程．跟踪训练1　随着我国经济的发展，居民储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份20152016201720182019时间代号t12345储蓄存款y(千亿元)567810 (1)求y关于t的经验回归方程＝t＋；(2)用所求经验回归方程预测该地区2021年(t＝7)的人民币储蓄存款．解　(1)由题意可知，n＝5，＝i＝＝3，＝i＝＝7.2.又＝55，iyi＝120，计算得，＝1.2，＝－＝7.2－1.2×3＝3.6.故所求经验回归方程为＝1.2t＋3.6.(2)将t＝7代入＝1.2t＋3.6，可得＝1.2×7＋3.6＝12(千亿元)，所以预测该地区2021年的人民币储蓄存款为12千亿元．二、线性回归分析例2　已知某种商品的价格x(单位：元)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：x1416182022y1210753 求y关于x的经验回归方程，并借助残差平方和和R2说明回归模型拟合效果的好坏．解　＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以＝＝＝－1.15，＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以所求经验回归方程是＝－1.15x＋28.1.列出残差表：yi－i00.3－0.4－0.10.2yi－4.62.6－0.4－2.4－4.4 所以(yi－i)2＝0.3，(yi－)2＝53.2，R2＝1－≈0.994，所以回归模型的拟合效果很好．反思感悟　刻画回归效果的三种方法(1)残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．(2)残差平方和法：残差平方和(yi－i)2越小，模型的拟合效果越好．(3)R2法：R2＝1－越接近1，表明模型的拟合效果越好．跟踪训练2　为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8 (1)作出散点图并求经验回归方程；(2)求出R2; (3)进行残差分析．解　(1)散点图如图 .＝×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，＝×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，＝2 275，＝554.659 4，iyi＝1 076.2，计算得，≈0.183，≈6.285，所求经验回归方程为＝0.183x＋6.285.(2)残差表如下：yi－i0.050.005－0.08－0.0450.040.025yi－－2.237－1.367－0.5370.4131.4132.313 所以(yi－i)2≈0.013 18，(yi－)2≈14.678 3.所以R2≈1－≈0.999 1，所以回归模型的拟合效果很好．(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有，则需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与重量成线性关系．三、非线性回归例3　下表为收集到的一组数据：x21232527293235y711212466115325 (1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；(3)利用所得模型，预测x＝40时y的值．解　(1)作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数型曲线y＝c1的周围，其中c1，c2为待定的参数．(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，这样就可以利用经验回归模型来建立y与x之间的非线性经验回归方程了，数据可以转化为x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784 求得经验回归方程为＝0.272x－3.849，∴＝e0.272x－3.849.残差表如下：yi711212466115325i6.44311.10119.12532.95056.770128.381290.325i0.557－0.1011.875－8.9509.23－13.38134.675 (3)当x＝40时，＝e0.272×40－3.849≈1 131.反思感悟　非线性回归问题的处理方法(1)指数函数型y＝ebx＋a①函数y＝ebx＋a的图象，如图所示；②处理方法：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b.(2)对数函数型y＝bln x＋a①函数y＝bln x＋a的图象，如图所示；②处理方法：设x′＝ln x，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型处理方法：设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.跟踪训练3　为了研究甲型H1N1中的某种细菌随时间x变化的繁殖个数y，收集数据如下：天数x123456繁殖个数y612254995190 求y关于x的非线性经验回归方程．解　作出散点图如图(1)所示．由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y＝cebx的周围，则ln y＝bx＋ln c.令z＝ln y，a＝ln c，则z＝bx＋a.x123456z1.792.483.223.894.555.25 相应的散点图如图(2)所示．从图(2)可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用经验回归方程来拟合．由表中数据得到经验回归方程为＝0.69x＋1.115.因此细菌的繁殖个数y关于天数x的非线性经验回归方程为＝e0.69x＋1.115.1．(多选)以下四个散点图中，两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是(　　)答案　AC解析　AC中的点分布在一条直线附近，适合线性回归模型．2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表： 甲乙丙丁R20.980.780.500.85 哪位同学建立的回归模型拟合效果最好(　　)A．甲  B．乙  C．丙  D．丁答案　A解析　决定系数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好．3．已知人的年龄x与人体脂肪含量的百分数y的经验回归方程为y＝0.577x－0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量(　　)A．一定是20.3%B．在20.3%附近的可能性比较大C．无任何参考数据D．以上解释都无道理答案　B解析　将x＝36代入经验回归方程得y＝0.577×36－0.448≈20.3，故这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B.4．由变量x与y相对应的一组成对样本数据(1，y1)，(5，y2)，(7，y3)，(13，y4)，(19，y5)得到的经验回归方程为＝2x＋45，则＝________.答案　63解析　∵＝(1＋5＋7＋13＋19)＝9，＝2＋45，∴＝2×9＋45＝63.5．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围．令＝ln y，求得经验回归方程为＝0.25x－2.58，则该模型的非线性经验回归方程为________．答案　＝e0.25x－2.58解析　因为＝0.25x－2.58，＝ln y，所以＝e0.25x－2.58.1．知识清单：(1)一元线性回归模型．(2)最小二乘法、经验回归方程的求法．(3)对模型刻画数据效果的分析：残差图法、残差平方和法和R2法．2．方法归纳：数形结合、转化化归．3．常见误区：不判断变量间是否具有线性相关关系，盲目求解经验回归方程致误．1．如果两个变量之间的线性相关程度很高，则其R2的值应接近于(　　)A．0.5  B．2  C．0  D．1答案　D解析　R2越接近于1，相关程度越高，故选D.2．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是(　　)答案　A解析　用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．3．工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的经验回归方程为＝50＋80x，下列判断正确的是(　　)A．劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元B．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元C．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元D．当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元答案　B解析　因为经验回归方程的斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元．4．两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是(　　)A．y＝a·xb   B．y＝a＋bln xC．y＝a·ebx   D．y＝a·答案　B解析　由散点图可知，此曲线类似对数函数型曲线，因此可用函数y＝a＋bln x模型进行拟合．5．(多选)对于经验回归方程＝x＋ (>0)，下列说法正确的是(　　)A．当x增加一个单位时，的值平均增加个单位B．点(，)一定在＝x＋所表示的直线上C．当x＝t时，一定有y＝t＋D．当x＝t时，y的值近似为t＋ 答案　ABD解析　经验回归方程是一个模拟函数，它表示的是一系列离散的点大致所在直线的位置及其大致变化规律，所以有些散点不一定在经验回归直线上．6．某地区近10年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是________亿元．答案　12.1解析　将x＝15代入＝0.8x＋0.1，得＝12.1.7．若经验回归直线方程中的回归系数＝0，则样本相关系数r＝________.答案　0解析　样本相关系数r＝与＝的分子相同，故r＝0.8．某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(件)与平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：时间二月上旬二月中旬二月下旬三月上旬旬平均气温x(℃)381217旬销售量y(件)55m3324 由表中数据算出经验回归方程＝x＋中的＝－2，样本点的中心为(10,38)．(1)表中数据m＝________；(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22 ℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为________件．答案　(1)40　(2)14解析　(1)由＝38，得m＝40.(2)由＝－得＝58，故＝－2x＋58，当x＝22时，＝14，故三月中旬的销售量约为14件．9．已知变量x，y有如下对应数据：x1234y1345 (1)作出散点图；(2)用最小二乘法求关于x，y的经验回归方程．解　(1)散点图如图所示．(2)＝＝，＝＝，iyi＝1＋6＋12＋20＝39，＝1＋4＋9＋16＝30，＝＝，＝－×＝0，所以＝x即为所求的经验回归方程．10．由某种设备的使用年限xi(年)与所支出的维修费yi(万元)的数据资料算得如下结果，＝90，iyi＝112，i＝20，i＝25.(1)求所支出的维修费y关于使用年限x的经验回归方程＝x＋；(2)①判断变量x与y之间是正相关还是负相关；②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少？解　(1)∵i＝20，i＝25，∴＝i＝4，＝i＝5，∴＝＝＝1.2，＝－＝5－1.2×4＝0.2.∴所求经验回归方程为＝1.2x＋0.2.(2)①由(1)知＝1.2>0，∴变量x与y之间是正相关．②由(1)知，当x＝8时，＝1.2×8＋0.2＝9.8，即使用年限为8年时，支出的维修费约是9.8万元． 11．设两个变量x和Y之间具有线性相关关系，它们的样本相关系数是r，Y关于x的经验回归方程的回归系数为，回归截距是，那么必有(　　)A.与r的符号相同   B.与r的符号相同C.与r的符号相反   D.与r的符号相反答案　A解析　与r的符号相同．12．恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重．据某机构预测，n(n≥10)个城市职工购买食品的人均支出y(千元)与人均月消费支出x(千元)具有线性相关关系，且经验回归方程为＝0.4x＋1.2，若其中某城市职工的人均月消费支出为5千元，则该城市职工的月恩格尔系数约为(　　)A．60%  B．64%  C．58%  D．55%答案　B解析　把x＝5代入经验回归方程＝0.4x＋1.2中，得＝0.4×5＋1.2＝3.2，则该城市职工的月恩格尔系数约为＝0.64＝64%，故选B.13．(多选)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的经验回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中正确的是(　　)A．y与x具有正的线性相关关系B．经验回归方程过样本点的中心(，)C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该大学某女生身高为170 cm，则可判定其体重必为58.79 kg答案　ABC解析　A，B，C均正确，是经验回归方程的性质，D项是错误的，经验回归方程只能预测学生的体重，应为大约58.79 kg.14．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm,182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.答案　185解析　因为儿子的身高与父亲的身高有关，所以设儿子的身高为Y(单位：cm)，父亲身高为X(单位：cm)，根据数据列表：X173170176Y170176182 由表中数据，求得回归系数＝1，＝3.于是儿子身高与父亲身高的关系式为Y＝X＋3，当X＝182时，Y＝185.故预测该老师的孙子的身高为185 cm.15．已知变量y关于x的非线性经验回归方程为＝ex－0.5，其一组数据如下表所示：x1234yee3e4e6 若x＝5，则预测y的值可能为(　　)A．e5  B．  C．e7  D．答案　D解析　将式子两边取对数，得到ln ＝x－0.5，令z＝ln ，得到z＝x－0.5，列出x，z的取值对应的表格如下：x1234z1346 则＝＝2.5，＝＝3.5，∵(，)满足z＝x－0.5，∴3.5＝×2.5－0.5，解得＝1.6，∴z＝1.6x－0.5，∴＝e1.6x－0.5，当x＝5时，＝e1.6×5－0.5＝.16．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568 (1)求经验回归方程＝x＋，其中＝－20；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解　(1)由于＝×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，＝×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.所以＝－＝80＋20×8.5＝250，从而经验回归方程为＝－20x＋250.(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1 000＝－20(x－8.25)2＋361.25.故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．