高考数学一轮复习基础版讲义（适合艺术生、基础生一轮复习）——对数与对数函数

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第10讲 对数与对数函数一、对数与对数运算1．对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.（3）对数式与指数式的互化：.2．对数的性质根据对数的概念，知对数具有以下性质：（1）负数和零没有对数，即；（2）1的对数等于0，即；（3）底数的对数等于1，即；（4）对数恒等式.3．对数的运算性质如果，那么：（1）；（2）；（3）.4．对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.换底公式的变形及推广：（1）；（2）；（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).二、对数函数及其性质1．对数函数的概念一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.2．对数函数的图象一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 三、对数函数的性质一般地，对数函数的性质如下表所示： 图象定义域值域性质过定点，即时，在上是减函数在上是增函数当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0  考点一 对数概念与对数运算1．（嘉兴市第五高级中学高二期中）已知函数，则（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】根据函数解析式可知.故选：C2．（上海高一专题练习）若log32=x，则3x+9x的值为（    ）A．6 B．3 C． D．【答案】A【详解】由log32=x得3x=2，因此9x=(3x)2=4，所以3x+9x=2+4=6.故选：A.3．（广东高一单元测试）已知，则的值为（    ）A．3 B．6 C．9 D．【答案】A【详解】解：由，得，故选：A4．（湖南娄底一中高二期中）已知函数，若，则等于（ ）A． B． C．或 D．2【答案】A【详解】解：当时，，∴；当时，，∴（舍去）．∴．故选：A．5．（全国）若3x＝2，则x等于（    ）A．log23 B．log32 C．32 D．23【答案】B【详解】，.故选：B.6．（陕西省黄陵县中学高一期末）已知，则x等于（    ）A． B．4 C．16 D．2【答案】C【详解】由对数与指数式运算可得.故选：C.7．（全国）以下对数式中，与指数式等价的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据指数式和对数式的关系，等价于.故选：A.8．（全国）已知且，，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由指对数的互化公式，因为，所以.故选：B.9．（吉林延边二中高二月考（文））已知函数，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】∵，∴.故选：B.10．（长丰县凤麟中学高二期中（文））等于（    ）A． B． C．4 D．5【答案】C【详解】故选：C11．（太原市第五十六中学校高二月考（文））下列等式成立的是（   ）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A：，故A不正确；对于B：，故B不正确；对于C：∵,∴，故C正确，对于D：，故D不正确，故选： C.12．（普宁市第二中学高三月考）已知函数，则（    ）A． B．1 C． D．0【答案】C【详解】．故选：C.13．（全国高一专题练习）（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】.故选：C.14．（长丰北城衡安学校高二月考（理））若函数．则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】，则，因此，.故选：A.15．（北京大兴区·高一期末）等于（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】.故选：B.16．（定远县育才学校高一期末）式子的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】.故选：A.17．（盐城市伍佑中学高三开学考试）已知，则等于（    ）A．1 B．2 C．5 D．10【答案】A【详解】因为，所以，，所以，，所以.故选：A18．（黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中（文））的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】原式.故选：B19．（福建福州·高一期末）若，求（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为，所以，所以.故选：A.20．（全国高一单元测试）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：若，可得，，则，故选：A． 考点二 对数函数与定义域1．（上海高一专题练习）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)．由于对数函数的图像过点M(125，3)，所以3＝loga125，得a＝5.所以对数函数的解析式为y＝log5x.故选：A.2．（全国高一课时练习）给出下列函数：①；②；③；④.其中是对数函数的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．故选:A.3．（全国高一课时练习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ）A． B．C．或 D．不确定【答案】A【详解】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为．故选：A．4．（浙江高三专题练习）设a与b均为实数，且，已知函数的图象如图所示，则的值为（    ）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【详解】解：令，由图可知：，，即，解得：，故，故选：C.5．（莆田锦江中学高一期末）已知函数，若图象过点，则的值为（    ）A． B．2 C． D．【答案】B【详解】因为函数的 图象过点，所以，则，所以，，故选：B.6．（全国高一课时练习）下列函数表达式中，是对数函数的有（    ）①；②；③；④；⑤；⑥．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】形如（且）的函数为对数函数，故③④为对数函数，所以共有个.故选：B7．（全国高一课前预习）下列函数是对数函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有D符合.故选D    8．（全国高一）函数 为对数函数，则等于A．3 B． C． D．【答案】B【详解】因为函数 为对数函数，所以函数系数为1，即即或，因为对数函数底数大于0，所以，，所以．9．（全国（文））函数的定义域是（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意，有，解得.∴函数定义域为.故选：B.10．（奉新县第一中学高一月考）函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于函数，有，解得.因此，函数的定义域为.故选：C.11．（厦门市松柏中学高二开学考试）函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得：，解得：，所以函数的定义域为，故选：B.12．（威海市第一中学高二月考）函数的定义域是（    ）A． B． C． D．【答案】B解：的定义域为，即.故选：B13．（天津市武清区杨村第一中学）函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意，，解得，所以所求定义域为.故选：B14．（大庆市东风中学高二期末（文））函数的定义域是（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意得解得或.所以原函数的定义域为.故选：C.15．（贵溪市实验中学）函数的定义域是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，得，所以函数的定义域为.故选：C16．（安徽省泗县第一中学（理））已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，或，则，，因此故选：C.17．（全国高一单元测试）函数的定义域为 （    ）A．           B． C．           D．【答案】D【详解】解：函数的定义域为：，即或，所以定义域为：.故选：D.18．（全国高一专题练习）已知函数，则的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由函数的定义域满足：解得：或故的定义域为故选：B19．（射阳县第二中学高一开学考试）函数的定义域为（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意可得，解得，因此，函数的定义域为.故选：A.20．（全国高一课时练习）函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由解得.所以函数的定义域为.故选：A 考点三 对数函数的图象1．（河北）函数的大致图象为（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】当时，，排除C、D.当时，，排除B.故选:A.2．（镇远县文德民族中学校高一月考）函数的图象过定点（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于函数，令，可得，则，因此，函数的图象过定点.故选：C.3．（全国高一专题练习）函数的图象必过的点是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】，则当，即时，是与的值无关的定值，故函数的图形必过的点是.故选：D.4．（全国高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当x＞0时，，则函数的图象为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由f(x)是R上的奇函数，即函数图象关于原点对称，排除A、B．又x＞0时f(x)＝ln(x＋1)，排除C.故选：D．5．（贵州）函数的图象经过（    ）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（2，0）【答案】C【详解】解方程，得.所以函数的图象过定点.故选：C.6．（吉林长春·高三（理））如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【详解】解：由对数函数图象特征及与的图象关于轴对称，可确定②不是已知函数图象.故选：B.7．（全国高一专题练习）函数的大致图象为（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：因为，所以函数的定义域为，即图象在时无值，排除B、D选项；当时，，所以A选项正确．故选：A8．（蚌埠田家炳中学高二月考（文））已知函数，则其大致图象为（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题得函数的定义域为，所以选项D错误；当时，，所以选项B正确，选项A,C错误.故选：B9．（浙江高一单元测试）已知函数，其图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由，知：关于原点对称，排除B、D；当时，，排除C.故选：A10．（全国高一专题练习）已知函数（且）的图象必经过定点P，则P点坐标是（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】令，解得，所以，因此函数的图象 过定点．故选：C．11．（河南漯河·高一期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，我们要学会以形助数．则在同一直角坐标系中，与的图像可能是（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】是定义域为R的增函数，：-x>0，则x<0.结合选项只有B符合.故选：B12．（浙江高一期末）幂函数，指数函数，对数函数是生活中三类常见基本的初等函数，可以刻画客观世界不同的变化规律．已知函数，，的图象如图所示，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由图象可得曲线①为对数函数，在定义域为为增函数，则，曲线②为指数函数，为减函数，则 曲线③为幂函数，在上为减函数，则 所以 故选：A13．（上海普陀·曹杨二中高一期末）函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ）A． B．C．D．【答案】B【详解】由对数和指数函数的性质可得且，当时，过点在上单调递减，过点在单调递减，所以排除选项C，当时，过点在上单调递增，过点在单调递增，所以排除选项AD，故选：B.14．（安徽宿州·高一期末）已知函数是幂函数，则函数(，且)的图象所过定点的坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数是幂函数，所以，因此，所以，由可得，，所以函数(，且)的图象所过定点的坐标是.故选：A.考点三 对数函数的单调性1．（广东高三月考）已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】，∴.故选：B2．（河南高一月考）已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】，所以.故选：B.3．（浮梁县第一中学高一月考）已知设，，，则，，的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：∵，，，∴，，的大小关系为．故选：D．4．（河南高三月考（文））设，， ，则，，的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由，得，，，所以.故选：D.5．（天津河东·高二学业考试）已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】，∴.故选：D6．（湖北荆州·高一期中）已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，得，，则；故选：C7．（江西省铜鼓中学高二开学考试（文））设，，，则，，的大小是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】，，.所以.故选：D8．（正阳县高级中学高三（理））已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，由，故．故选：C．9．（九龙坡·重庆市育才中学高三月考）已知，则的单调增区间为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为对数函数在上是增函数，反比例函数在上也是增函数，所以在定义域上单调递增；又是由向左平移两个单位得到，所以的单调增区间为.故选：A.10．（内蒙古赤峰·高一月考（文））函数的单调递减区间是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题得，所以或.函数在单调递增，在单调递减.又函数在定义域内单调递减，所以函数的单调递减区间是.故选：C11．（福建福州四中高一期中）已知函数，则函数的减区间是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由解得或，所以的定义域为.函数的开口向上，对称轴为，函数在上递减，根据复合函数单调性同增异减可知函数的减区间是.故选：C12．（四川省南充市白塔中学高三月考（理））函数的单调递增区间为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由解得，二次函数的开口向下，对称轴为，在上递减.根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增区间为.故选：D13．（宁夏吴忠市·吴忠中学高三月考（理））已知函数在单调递增，则的取值范围是（    ）A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[5，＋∞) D．[3，＋∞)【答案】D【详解】由题意，函数满足，解得或，设，根据二次函数的性质，可得函数在单调递增，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数的单调递增区间为，又由函数在上单调递增，可得，即实数的取值范围是.故选：D.14．（贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（理））函数的单调递减区间为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】在函数中，由得或，则的定义域为，函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，于是得在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递减区间为.故选：B15．（静宁县第一中学高三月考（文））函数的单调递增区间是（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】函数的定义域需满足，解得：，函数分为内外层函数，，，定义域内，内层函数在区间是增函数，在区间是减函数，根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是.故选：B16．（新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）函数的单调递增区间为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于函数，有，解得或，故函数的定义域为，内层函数在上单调递减，在上单调递增，外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为.故选：D.17．（海南儋州二中高一月考）函数的单调递增区间是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于函数，有，解得或，即函数的定义域为，令，则，由在上递减，在上递增，外层函数在上递增，可得函数的单调递增区间是．故选：D．18．（江苏苏州·）若函数在上单调，则实数的取值范围是（    ）．A． B．C． D．【答案】D【详解】解：函数在上单调，函数的定义域为，因为，在上单调递增，在上单调递减，在定义域上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，要使函数在上单调，，或，解得，或，即，故选：．19．（黑龙江哈尔滨·哈师大附中高二期末（文））函数的单调增区间为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，，解得，又在上是增函数，在是减函数，在上是增函数，所以函数的单调增区间为故选：B