人教版八年级上册11.2.2 三角形的外角多媒体教学ppt课件
展开第十一章 三角形
11.2.2 三角形的外角
两只小猫在如图的 A 处发现有一只老鼠在 O 处觅食,小猫打算用迂回的方式,由一只先从 A 前进到 C 处,然后再折回至 B 处,截住老鼠返回墙洞的去路 ,另一只则直接从 A 处扑向老鼠,已知∠BAC = 40°,∠ABC = 70°,问,小猫从 C 处要逆时针转多少度才能直达 B 处?
题目所求的是哪个角度?
知识点1:三角形外角的定义
探究一 (1) 任意画两条直线,使它们相交,会出现四个角,这些角有什么关系呢?分别说一说.
(2) 分别在图 1 中再画一条直线,使得三条直线两两相交,得到图 2,使其出现更多的角,这些角有什么关系呢?分别说一说.
(3) 三角形同一顶点处的角有四个,仔细观察并连线.
一边与另一边边的延长线组成的角
三角形外角:三角形的一边与另一边的延长线组成的角.
1.下列各图中,∠1 是△ABC 的外角的是 ( )
A B C D
知识点2:三角形外角的性质
探究二 如图,∠ACD 是 △ABC 的一个外角.(1) 说说图中角的关系.
例如:∠A + ∠B + ∠ACB = 180°, ∠ACD + ∠ACB = 180° 等.
(2) 如果∠A = 70°,∠B = 60°,求∠ACD 的度数,并说说 ∠ACD 与∠A、∠B 的关系;
∠ACD = 130°.∠ACD = ∠A + ∠B,∠ACD > ∠A 等.
(3) 改变∠A、∠B 的度数,∠ACD 与∠A、∠B 还有(1)中你发现的关系吗 ? 如果有,请说明理由并试着用语言归纳一下你发现的结论.
∠ACD = ∠A + ∠B
想一想,如何证明这个结论呢?
证明 已知:△ABC 如图,求证:∠ACD =∠A +∠B.
证明:过 C 作 CE∥AB,
则∠1 = ∠B(两直线平行,同位角相等),
∠2 = ∠A (两直线平行,内错角相等).
∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B.
三角形内角和定理推论:三角形的外角_____与它不相邻的两个内角的___.
∵∠ACD 是△ABC 的一个外角,∴∠ACD =∠A +∠B.
例1 如图,∠A = 42°,∠ABD = 28°,∠ACE = 18°,求∠BFC 的度数.
解:∵∠BEC 是△AEC 的一个外角,
∴∠BEC = ∠A + ∠ACE.
∵∠A = 42° ,∠ACE = 18°,
∴∠BEC = 60°.
∵∠BFC 是△BEF 的一个外角,
∴∠BFC = ∠ABD + ∠BEF.
∵∠ABD = 28°,∠BEF = 60°,
∴∠BFC = 88°.
例2 (一题多解) 如图,∠A = 51°,∠B = 20°,∠C = 30°,求∠BDC 的度数.
分析:添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解法一:连接 AD 并延长到点 E.在 △ABD 中,∠1 +∠B = ∠3,在 △ACD 中,∠2 +∠C = ∠4.∵∠BDC = ∠3 +∠4, ∠BAC = ∠1 +∠2,∴∠BDC = ∠BAC +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°.
解法二:延长 BD 交 AC 于点 E.在△ABE 中,∠1 = ∠B + ∠A,在△ECD 中,∠BDC =∠1 +∠C.∴∠BDC =∠A +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°.
解法三:连接 CD 并延长交 AB 于 F (解题过程同解法二).
通过前面的例题 ,你能画出这些题型的基本图形吗?
∠BDC=∠A + ∠B + ∠C
2. 两只小猫在如图的 A 处发现有一只老鼠在 O 处觅食,小猫打算用迂回的方式,由一只先从 A 前进到 C 处,然后再折回至 B 处,截住老鼠返回墙洞的去路 ,另一只则直接从 A 处扑向老鼠,已知∠BAC = 40°,∠ABC = 70°,问,小猫从 C 处要逆时针转多少度才能直达 B 处?
解:∵∠BAC = 40°,∠ABC = 70°,∴∠A = 70°.∴小猫需要转动的角度为: ∠ECB = ∠A+∠ABC = 40°+70° = 110°.
知识点3:三角形的外角和
探究三 对于任意三角形 ABC,请探索其外角和是多少.
例3 如图, ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD 是△ABC 的三个外角,它们的和是多少?
分析:利用三角形内角和及其推论、平角的定义等将这些角整体计算.
证法一:利用三角形内角和及其推论.
解:由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得∠BAE = ∠2 + ∠3,∠CBF = ∠1 + ∠3,∠ACD = ∠1 + ∠2.又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°,所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD= 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°.
证法二:利用三角形内角和及平角的定义.
解法二:如图,∠BAE +∠1 = 180° ① ,∠CBF +∠2 = 180° ②,∠ACD +∠3 = 180° ③,又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°,① + ② + ③ 得∠BAE + ∠CBF + ∠ACD + (∠1 + ∠2 + ∠3) = 540°,所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 540° - 180° = 360°.
三角形外角和:三角形的外角和等于_____.
例如:∠FAE + ∠ECD + ∠DBF = 360°.
三角形的一个外角等于与它______的两个内角的和
三角形的一边与另外一边的______所组成的角
三角形的外角和等于_____
1. 如图,AB∥CD,∠A=37°, ∠C=63°,那么∠F 等于 ( )
A. 26°B. 63°C. 37°D. 60°
解:∵∠1 是△FBE 的外角,
∴∠1 = ∠B + ∠E,
同理∠2 = ∠A + ∠D.
在△CFG 中,∠C +∠1 +∠2 = 180°,
∴∠A + ∠B +∠C + ∠ D +∠E = 180°.
2. 如图,求∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E 的度数.
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