数学11.3.2 多边形的内角和教案设计

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第十一章 三角形11.3  多边形及其内角和11.3.2  多边形的内角和一、教学目标1.掌握多边形内角和与外角和公式.2.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.3.能灵活运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.二、教学重难点重点：多边形的内角和与外角和公式的应用.难点：多边形的内角和公式的推导.三、教学过程【新课导入】[复习导入]什么是多边形的内角？什么是多边形的外角？学生回忆，回答（多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.）[提出问题]多边形的内角和与外角和有什么性质呢？【新知探究】知识点1   多边形的内角和[提出问题]（1）三角形内角和是多少度？（180°）（2）长方形和正方形的内角和是多少度？（360°）（3）请大家任意画一个四边形，这个四边形的内角和是多少度？是否与长方形和正方形的内角和相等？你是怎么得到内角和的度数的？[动手操作]学生画出任意一个四边形，通过自己的方式得到四边形的内角和.教师巡视，帮助有困难的学生，同时鼓励通过做辅助线来证明四边形的内角和的同学.[提出问题]老师发现有一部分同学是用量角器测量可四边形四个角的度数，然后相加得到四边形的内角和的，但是测量有误差，如果能推理证明，就会更有说服力.该如何证明呢？[课件展示]教师利用多媒体展示分析思路,如下：[学生回答]教师请一位通过证明来得到内角和的同学讲述他的证明方法.之后课件展示证明过程，如下：[提出问题]类比四边形内角和的推导方法，请尝试探究五边形和六边形的内角和.[课件展示]教师利用多媒体展示五边形和六边形的内角和探究过程，如下：学生集体回答.[课件展示]教师利用多媒体展示如下表格，总结从一般到特殊，怎样得到n变形的内角和.学生集体回答.[归纳总结]边形的内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）×180°.[提出问题]以上我们的探究过程用到了转化的思想，把多边形分割成几个三角形.那么把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？以五边形ABCDE为例说明.[交流讨论]分成3小组，小组之间交流讨论.教师巡视，提示可将分割点放在五边形的边上，放在五边形的内部，放在五边形的外部.[课件展示]教师利用多媒体展示如下三种方法，让学生对比自己的解法，查漏补缺.同时与学生一起总结所用的转化思想与分割点的位置.[课件展示]教师利用多媒体展示以下例1：[提出问题]知道了多边形的内角和公式，那么回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？为什么？（因为正多边形的每个内角相等，所以用内角和除以内角的个数（n）即可得到正多边形每个内角的度数.）[归纳总结]正多边形的每个内角的度数等于.[课件展示]跟踪训练1.将一个多边形的边数增加1，它的内角和将（　B　）A．增加90° B．增加180° C．增加360° D．保持不变同时提醒学生：多边形每增加一条边，其内角和就会增加180°.[课件展示]跟踪训练（2021春•娄底期中）一个正多边形的内角和为1800°，求它的边数和每个内角的度数．解：设这个正多边形的边数是n，则（n-2）•180°=1800°.解得n=12．1800°÷12=150°.故这个正多边形的边数为12；每个内角的度数150°．同时提醒学生：利用内角和公式计算时，先不要去括号，把（n-2）看成一个整体，先求（n-2）的值，再求n的值.这样可使运算更简单.知识点2   多边形的外角和[课件展示]教师利用多媒体展示如下例2.例2  如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，六边形的外角和等于多少？   [分析]教师提出以下三个问题，学生带着这三个问题分析例2：（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？（2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？分析得到六边形的外角和为：6个外角加上与它们相邻的内角所得的总和（即6个平角）减去六边形的内角和,最终结果为360°.[提出问题]在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形的外角和又是多少呢？[课件展示]教师利用多媒体展示如下推导过程：n个外角加上与它们相邻的内角为180°×n，n边形的内角和为180°×（n-2），n边形的外角和为180°×n-180°×（n-2）=360°.[归纳总结]多边形的外角和等于360°.同时提醒学生，多变形的外角和为定值360°，与边数无关.[课件展示]教师利用多媒体展示动画，同时解释多边形外角和的另一种理解方式:从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和. 由于走了一周，所转的各个角的和就等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.[提出问题]知道了多边形的外角和公式，那么回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个外角是多少度吗？为什么？(因为正多边形的每个外角相等，所以用外角和（360°）除以内角的个数（n）即可得到正多边形每个外角的度数.)[归纳总结]多边形的每个外角的度数等于.[课件展示]跟踪训练（2021•盐城）若一个多边形的每个外角均为40°，则这个多边形的边数为 　9　． 【课堂小结】【课堂训练】1.（2020秋•张店区期末）内角和为720°的多边形是（　D　）2.（2021扬州模拟）若某多边形的边数增加1，则这个多边形的外角和（　D　）A．增加180° B．增加360° C．减少180° D．不变3.（2021春•西湖区校级期中）在四边形ABCD中，∠A+∠C=160°，∠B比∠D大60°，则∠B的度数为（　D　）A．70° B．80° C．120° D．130°4.（2021广州一模）如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转45°，再沿直线前进6米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（　C　）米．A．60       B．72    C．48      D．365.（2021上海徐汇区二模）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　B　）A．180° B．270° C．360° D．540°6.（2021北京通州区一模）如图中的平面图形由多条直线组成，计算∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=    360    °．7.一个多边形的边数由5增加到11，则内角和增加的度数是  1080     °．8.（2021南京一模）如图，五边形ABCDE是正五边形，过点B作AB的垂线交CD于点F，则∠C-∠1=  54     °．9.已知正多边形的一个内角为144°，求该正多边形的内角和.解：根据题意，得（n-2)×180°=144°n，解得n=10.∴这个正多边形的边数是10．∴该正多边形的内角和为（10-2)×180°=14400° 解法二：∵正多边形的一个内角是144°，∴该正多边形的一个外角为36°，∵多边形的外角之和为360°，∴边数=     =10.∴这个正多边形的边数是10．∴该正多边形的内角和为（10-2)×180°=14400°如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.解：如图，∵∠3＋∠4=∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7=∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7=五边形的内角和=540°.【教学反思】本节课先引导学生用分割四边形的方法（分割点在顶点）得到四边形内角和，再根据四边形内角和的推导过程探究五边形、六边形的内角和，进而从特殊到一般，推导出多边形的内角和，让学生再一次经历转化的过程，加深对转化思想方法的理解，然后鼓励学生寻找多种分割形式（分割点分别在边上、内部、外部），深入领会转化的本质——将多边形转化为三角形问题来解决。经历六边形的外角和去推导n变形的外角和，在理解了内角和与外角和的基础上，提出正多边形的每一个内角和外角的计算公式.充分体现了学生学习的自主性，新课标“以人为本”的思想，发展学生的语言表达能力.