高中数学3.2 函数的基本性质同步练习题

3.2.1课时2：函数的单调性和最值

1.    已知，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.    若函数则的最大值、最小值分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. 以上都不对

3.    函数在上的最大值为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    函数其中的图像不可能是(    )

A.  B.
C.  D.

5.    函数在区间上的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.    已知二次函数，若对任意的，，有，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    若函数在上的最大值与最小值的差为，则实数的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    的最大值为          ．
9.    当时，的最小值为          ；

当时，的最小值为          ．

10. 已知函数，且为的最小值，则实数的取值范围是          ．
11. 若函数的值域为，则实数的取值范围是          ．
12. 已知定义在上的函数满足，且当时，若对定义域上任意都有成立，则的最小值是          ．
13. 已知函数．

判断并证明函数在上的单调性；

求函数在上的最值．

14. 围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙利用旧墙需维修，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，设利用的旧墙的长度为单位：，修建此矩形场地围墙的总费用为单位：元．
    将表示为的函数：
    试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
15. 已知二次函数，且．
    求的解析式；
    若在上的最大值为，求的值以及的最小值．
16. 已知，函数．

当时，求函数的单调区间；

当时，求函数在上的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用对勾函数的单调性求最值，属于基础题．
利用对勾函数的单调性求解即可．

【解答】

解：由，，
当且仅当时取等号．

由对勾函数的单调性，得在上单调递减，

时，单调递减，
当时，取得最小值为．
故选A．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的最值问题，属于基础题目．
根据分段函数的单调性得出函数的最值即可．

【解答】

解：函数在上单调递增，且函数在上单调递增，
而当时，，
故得在上单调递增，
所以的最大值为，最小值为．
故选A．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性与最大值，正确运用函数的单调性是关键．
确定函数的单调性，利用函数在上的最大值为，即可求出的值．

【解答】

解：函数，在上的最大值为，
由题意，时，函数在上单调递减，
，
，
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的性质及函数图像的变换，函数解析式中参数的分类讨论．
对讨论，对各选项逐个判断即可得到答案．

【解答】

解：当，则，故A正确，
当时，若，则，此时为对勾函数的一部分，
若，则，此时函数单调递减，故选项B正确，
当时，若，则，此时函数单调递增，
若，则，此时函数为对勾函数的一部分，故选项D正确，
综合，选项C不可能为函数的图像，
故选C．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用换元思想和二次函数的性质求函数在特定区间上的最值问题，难度一般，关键是换元思想的运用．
令，，转化为关于的二次函数在特定区间上的最大值问题，即可得解．

【解答】

解：因为在上是减函数，
当时，取最大值，当时，取最小值，所以，
令，所以，，

所以，对称轴为．

因为在上单调递减，
所以，

所以在区间上的最大值为，

故选B．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查二次函数的性质及其最值．
根据二次函数的性质得到其对称轴，然后讨论其在上的单调性，使其在上的最值之差的绝对值小于等于即可．

【解答】

解：函数的对称轴是，
当时，即，在上单调递增，
要使任意的，，有，
只需，解得，
；
当时，即，
在上单调递减，在上单调递增，
要使任意的，，有，
只需，解得，
；
当时，即，在上单调递减，
要使任意的，，有，
只需，即，解得，
；
综上所述，
故选C 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用函数的单调性求函数的最值，考查分类讨论的数学思想，是基础题．
由已知可得，对分类可得函数的单调性，求得最值，再由最大值与最小值的差为列式求解值．

【解答】

解：由题意，当时，在上单调递增，
有，解得；
当时，在上单调递减，
有，解得．
综上知．
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的最值，
由，结合二次函数性质可得答案．

【解答】

解：设
因为，
在时有最大值为，
故的最大值为，
故答案为．

9.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
将化为，根据以及基本不等式求出的最小值；
本题考查利用对勾函数的性质求最值，属于基础题．
由函数在上为增函数，可知在上为增函数，由此可求答案．

【解答】

解：，
，
．
当且仅当，即时“”成立
的最小值为；
故答案为；
由函数在上为增函数，可知在上为增函数，
，
当时，取最小值为．
故答案为；．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题．
若为的最小值，则当时，函数为减函数，当时，函数的最小值，进而得到实数的取值范围．

【解答】

解：若为的最小值，
则当时，函数为减函数，
则，
当时，函数的最小值，
即，
解得：，
综上所述实数的取值范围是，
故答案为：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的值域，函数的单调性，对勾函数的性质，属于较难题．
，根据对勾函数的性质，对与的关系进行分类讨论，综合求出的取值范围．

【解答】

解：，
当，即时，在上单调递增，
满足的值域为
当，即时，
，则，
由基本不等式，
当且仅当时，不等式取等号，
此时，
在单调递增，

又，若值域为，
则需，即，
此时，
综上，．
故答案为．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

先求出在上的解析式，根据函数的单调性求出函数最大值，即可求出的取值范围，可得的最小值．
本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，函数的单调性，函数解析式的求法，属于拔高题．

【解答】

解：当时，，
，
又，
，
当时，单调递减；

当时，单调递增；
，
，
对定义域上任意都有成立，
，
故的最小值是，
故答案为：

13.【答案】解：函数在区间上单调递减，证明如下：
设，是区间上的任意两个实数，且，
．
由于，所以，且，
所以，即，
所以函数在区间上单调递减．

由知，函数在上单调递减，
因此，函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值，
即最大值为，最小值为．

【解析】本题考查了函数的单调性与单调区间、函数的最值的相关知识，属于基础题．
利用定义法证明即可得出答案；
由得出函数在上单调递减，即可得出最大值和最小值．
 

14.【答案】解：设矩形的另一边长为，
则．
由已知，得，
所以．
因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立．
即当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是元． 

【解析】函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大小化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大小是最优化问题中，最常见的思路之一．
设矩形的另一边长为，则根据围建的矩形场地的面积为，易得，此时再根据旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，我们即可得到修建围墙的总费用表示成的函数的解析式；
根据中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的值．
 

15.【答案】解：
由，
得，
所以，
所以，
故；
，
当，
即时，，得，
此时的图象的对称轴为，；
当，
即时，，得，无解；
综上所述，，的最小值为． 

【解析】本题考查函数解析式的求法及函数最值的求法，考查分类讨论思想，属于中档题．
运用待定系数法求解；
讨论二次函数的对称轴与区间中点的关系，进而得解．
 

16.【答案】解：函数 

，函数的图像如图所示

当时，则函数在区间单调递减，在区间单调递增，

当时，则函数在区间单调递增， 

综上可知，函数的单调增区间为，，单调减区间为 

时，函数在区间上单调递增，

则，               

时， 
当，即时，函数在单调递增，在单调递减，如图所示，
 

且， ，
若，即时，，

若，即时，，

当，即时，函数在单调递增，在单调递减，在单调递增，如图所示，
 

且，，    
               

而时，，即，即，

所以时，， 

且此时对，也成立，

综上所述，时，，时，    

【解析】本题考查函数的单调性及最值，考查分类讨论及数形结合思想，属于难题．
将函数写成分段函数的形式，根据的取值情况，画出函数图象求出函数的单调区间；

分和两种情况，求出函数在区间上的最值．