2022-2023学年河南省郑州市金水区励德双语学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省郑州市金水区励德双语学校高一（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省郑州市金水区励德双语学校高一（下）期中数学试卷一、单选题（本题共9小题，共45分）1.  在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是(    )A.  B.  C.  D. 2.  复数在复平面内对应的点位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.  已知复数，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 4.  设向量，满足，，则  (    )A.  B.  C.  D. 5.  经过空间任意三点作平面(    )A. 只有一个 B. 可作二个
C. 可作无数多个 D. 只有一个或有无数多个6.  用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是(    )A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 正方形 D. 正六边形7.  已知正三角形的边长为，那么的直观图的面积为(    )A.  B.  C.  D. 8.  用与球心距离为的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为(    )A.  B.  C.  D. 9.  在中，，，若是直角三角形，则的值可能为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本题共3小题，共15分）10.  下面关于复数的四个说法中，正确的有(    )A.  B.
C.  的共轭复数为  D.  的虚部为11.  两条直线，满足，，则与平面的关系是(    )A.  B. 与相交 C. 与不相交 D. 12.  如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题中，正确的有(    )
A. 平面 B. 平面
C. 平面平面 D. 平面平面三、填空题（本题共4小题，共20分）13.  体积为的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为          ．14.  在中，，，，则的值为______．15.  是虚数单位，复数_____  ．16.  如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得已知山高，则山高________．

 四、简答题（本题共6小题，共70分）17.  已知平面向量，．
Ⅰ若，求；
Ⅱ若，求与所成夹角的余弦值．18.  已知复数是纯虚数．
求的值；
若，求复数的模．19.  在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且．
求的大小；
求的面积．20.  如图，在长方体中，，，分别是，，的中点，求证：平面．
21.  在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，，求及的面积．22.  如图，四棱锥中，底面，，，，分别为，的中点，．
证明：平面平面；
求三棱锥的体积．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由，
得，
，
．
故选：．
根据余弦定理求得的值，进而求得角．
此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：因为，
所以复数在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：．
根据复数的除法运算，化简复数，即可根据复数的几何意义，得出答案．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：，
则．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了向量的数量积  性质的基本应用，属于基础题．
由
，代入已知可求．
【解答】
解：，，

故选：．  5.【答案】 【解析】解：当三点在一条直线上时，过这三点的平面能作无数个；
当三点不在同一条直线上时，过这三点的平面有且只有一个；
过空间的任意三点作平面，只有一个或有无数多个．
故选：．
讨论三点在一条直线上时和三点不在同一条直线上时，过三点的平面能作多少即可．
本题考查了空间中确定平面的条件是什么，解题时应根据平面的基本公理与推理进行解答，是基础题．
 6.【答案】 【解析】【分析】
本题考查学生作图能力，判断能力，以及空间想象能力，明确几何图形的特征是解好本题的关键，属于基础题．
画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，即可判断选项．
【解答】
解：画出截面图形如图：

显然正三角形，正方形，正六边形都可以画出，可以画出三角形但不是直角三角形；
故选B．  7.【答案】 【解析】解：如图所示

直观图的高为
，
底边长为；
所以的面积为：
．
故选：．
作出原图三角形与直观图形，再求直观图形的面积即可．
本题考查了平面图形的直观图形画法与直观图形的面积计算问题，是基础题．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本题考查球的表面积，考查勾股定理的运用，比较基础．
求出截面圆的半径为，利用截面圆的面积为，可得，即可求出球的表面积．
【解答】
解：设半径为，则截面圆的半径为，
截面圆的面积为，，
球的表面积．
故选：．  9.【答案】 【解析】解：若为直角，则即，
所以，解得；
若为直角，则即，
因为，所以，
解得；
若为直角，则，即
所以，
所以，解得或；
综合可得，的值可能为．
故选：．
若是直角三角形，分析三个内角都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】解：，
对于，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，，故C错误；
对于，的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，先对化简，即可依次求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】【试题解析】
【分析】
以正方体为载体，列举所有情况，由此能求出与平面的关系．
本题考查线面关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．
【解答】
解：在正方体中，
，平面，平面，
，平面，平面，
两条直线，满足，，
则与平面的关系是或，
与不相交．
故选C．
  12.【答案】 【解析】解：把正方体的平面展开图还原成正方体，
对于，显然与平面相交，所以不可能平行于平面，故A错误；
对于，显然与平面相交，所以不可能平行于平面，故B错误；
对于，，，，、平面，
平面平面，故C正确；
对于，，，，、平面，
平面平面，故D正确．
故答案为：．
把正方体的平面展开图还原成正方体，由此能求出结果．
本题主要考查了正方体的平面展开图，考查了线面平行和面面平行的判定定理，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】【分析】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，考查正方体、球等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
先求出该正方体的棱长，再求出球半径，由此能求出该球面的表面积．【解答】解：体积为的正方体的顶点都在同一个球面上，
该正方体的棱长，
球半径，
该球面的表面积．
故答案为：．  14.【答案】 【解析】解：由余弦定理可知，
解得，或舍去
故答案为：．
利用余弦定理可得关于的方程，求得即可．
本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．
 15.【答案】 【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，属于基础题．
利用复数的四则运算法则，直接计算即可得出答案．【解答】解： 
，
故答案为：．  16.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考察了正弦定理的应用，考察了解三角形的实际应用，属于中档题．由题意，可先求出的值，从而由正弦定理可求的值，在中，，，从而可求得的值．
【解答】
解：在中，，，所以
在中，，，从而，
由正弦定理得，，因此，
在中，，，由，
得．
故答案为．  17.【答案】解：Ⅰ平面向量，
若，则，
解得；
Ⅱ若，则，
即，
解得，
，
与所成夹角的余弦值为
． 【解析】本题考查了平面向量的共线定理与数量积应用问题，是基础题．
Ⅰ由平面向量的共线定理列方程求出的值；
Ⅱ根据平面向量垂直的坐标表示列方程求出，再计算与所成夹角的余弦值．
 18.【答案】解：根据题意，复数，
若复数是纯虚数，
则，解可得；
由的结论，，
则，
故． 【解析】根据题意，由复数的计算公式可得，由纯虚数的定义可得，解可得的值，即可得答案；
根据题意，先求出，据此由复数模的计算公式计算可得答案．
本题考查复数的计算，涉及纯虚数的定义，属于基础题．
 19.【答案】解：由余弦定理得，即，
即，即，
将代入整理得，即，
解得或或舍，
因为，
所以，即，
所以不合题意，舍去，
所以，，
所以，
因为，
所以．
． 【解析】利用余弦定理把表示成边的关系，然后解方程组即可求出，，，再利用余弦定理可求的值，结合的范围即可求解的值．
直接利用三角形面积公式计算即可．
此题考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．
 20.【答案】证明：如图，取的中点，连接，，
，分别是，的中点，
，
又平面，
平面，
平面，
又是的中点，
，
又平面，
平面，
平面，
又平面，平面，，
平面平面，
又平面，
平面．
 【解析】根据面面平行的判定定理和面面平行的性质证明即可．
本题考查线面平面的证明，考查面面平行的判定定理，属于基础题．
 21.【答案】本题满分为分
解：，
由正弦定理可得：，可得：，
，
，
，
分
，，，
由余弦定理可得：，整理可得：，
解得：或舍去，
的面积分 【解析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得，结合，可得，由于，可求的值．
由已知利用余弦定理可得：，解得的值，进而利用三角形的面积公式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 22.【答案】证明：由已知为的中点，且，所以，
因为，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为面，面，
所以平面．
在中，因为，分别为，的中点，所以，
因为面，面，所以面，
因为，所以平面平面．
解：由已知为中点，，
又因为，所以，
因为，，
所以三棱锥的体积． 【解析】推导出，，从而四边形为平行四边形，，进而平面再推导出面，由此能证明平面平面．
由为中点，得，从而，由此能求出三棱锥的体积．
本题考查面面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．