2022-2023学年江苏省常州市联盟学校高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省常州市联盟学校高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知向量，，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某中学高一年级有学生人，高二年级有学生人，高三年级有学生人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取人参加表演，若高二年级被抽取的人数为，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则

4.  已知为锐角，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某圆锥的底面半径为，母线长为，则下列关于此圆锥的说法正确的是(    )

A. 圆锥的体积为 B. 过圆锥两条母线的截面面积最大值为
C. 圆锥的侧面积为 D. 圆锥的侧面展开图的圆心角为

7.  设，为两个随机事件，以下命题正确的为(    )

A. 若，是对立事件，则
B. 若，是互斥事件，，则
C. 若，且，则，是独立事件
D. 若，是独立事件，，则

8.  已知的内角，，所对的边分别为，，，下列说法中不正确的是(    )

A. ，，则的外接圆半径是
B. 在锐角中，一定有
C. 若，则一定是等腰直角三角形
D. 若，则一定是钝角三角形

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知复数，则(    )

A. 的虚部为
B.
C. 在复平面内对应的点在第四象限
D. 是关于的方程的一个根

10.  为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取名学生每天进行体育运动的时间，按照时长单位：分钟分成组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是(    )

A. 频率分布直方图中的
B. 估计名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为
C. 估计名学生每天体育活动时间的众数是
D. 估计名学生每天体育活动时间的第百分位数为

11.  小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有(    )

A. 抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B. 同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C. 从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D. 小明、小华两人各写一个数字或，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜

12.  已知正方体的棱长为，为底面内包括边界的动点，则下列结论正确的是(    )

A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使得平面
C. 若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为
D. 若点是的中点，点是的中点，经过，，三点的正方体的截面周长为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  某工厂利用随机数表对生产的个零件进行抽样测试，先将个零件进行编号，，，，，从中抽取个样本，若从下图提供随机数表中第行第列开始向右读取数据，则得到的第个样本编号是______ ．


 

14.  给定数，，，，，，，，，，则这组数据的中位数是______ ；方差是______ ．

15.  正四棱台上、下底面的边长分别为，，且侧面积等于两底面面积之和，则该棱台的体积是______ ．

16.  端午节是我国传统节日，甲，乙，丙人端午节来常州旅游，若甲、乙人中至少有人来常州旅游的概率是，丙来常州旅游的概率是，假定人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内甲，乙，丙人中至少有人来常州旅游的概率为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知向量，．
若，求的值；
若，求的值．

18.  本小题分
如图，在中，，，，，．
求的长；
求的值．

19.  本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，．
求的大小；
若，，求边上的高．

20.  本小题分
如图，在长方体中，，，点是的中点．
证明：；
在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求，若不存在，说明理由；
求到平面的距离．

21.  本小题分
甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制先胜局者获胜，比赛结束；方案二：五局三胜制先胜局者获胜，比赛结束．
若选择方案一，求甲获胜的概率；
用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若“两枚骰子向上的点数之和不大于”则选择方案一；否则选择方案二判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由．

22.  本小题分
如图，三棱柱中，是正三角形，，，平面平面，、分别为，的中点．
证明：平面；
若为底面内包括边界的动点，平面，且的轨迹长度为，求三棱柱的体积．
在的条件下，求二面角的正切值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意，设与夹角为，
向量，，
则，，，
则，
又由，则．
故选：．
根据题意，设与夹角为，由向量、的坐标求出、以及的值，由向量夹角公式计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标表示和向量夹角的计算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据分层随机抽样中抽取比例相同，
得，解得．
故选：．
根据分层随机抽样中抽取比例相同，列方程求解即可．
本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故A错误；
若，，则与的位置关系有三种：平行、相交或异面，故B错误；
若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故C错误；
若，，则，又，则，故D正确．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为为锐角，
所以，
因为，
所以，
则．
故选：．
由已知结合同角平方关系先求出，然后结合两角差的正弦公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以由正弦定理，可得，
所以，
因为，为锐角，
则．
故选：．
由已知利用正弦定理可得的值，利用大边对大角可求为锐角，进而利用同角三角函数基本关系式可求的值．
本题考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：某圆锥的底面半径为，母线长为，如图所示：

对于，圆锥的高为，圆锥的体积为，选项A错误；
对于，圆锥的轴截面是等腰三角形，顶角的余弦值为，所以顶角为钝角，
所以过圆锥两条母线的截面面积最大值为，选项B正确；
对于，圆锥的侧面积为，选项C错误；
对于，圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，选项D错误．
故选：．
根据圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高和体积，计算侧面展开图扇形的圆心角，侧面积和过圆锥两条母线的截面面积最大值．
本题考查了圆锥的结构特征与有关计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：对于：若，是对立事件，则，故A错误；
对于，若，是互斥事件，，，则，故B错误；
对于：若，则，则，是独立事件，故A，也不是独立事件，故C错误；
对于：若，是独立事件，，，则，也是独立事件，
，，
则，故D错误．
故选：．
利用互斥事件与相互独立事件的性质逐一判断即可．
本题考查的知识要点：互斥事件和对立事件的定义，必然事件的定义及关系式的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对于，在中，设的外接圆半径是，
则根据正弦定理可得，故A正确；
对于，若为锐角三角形，可得且，
可得，且，
根据正弦函数的单调性，可得，
所以，故B正确；
对于：因为，由正弦定理得：，所以，
因为，为的内角，所以或，
所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于，若，则，
所以，又，所以，
则一定是钝角三角形，故D正确．
故选：．
根据正弦定理可判断；根据锐角三角形的性质，结合正弦函数单调性以及诱导公式可判断；利用正弦定理得到或可判断；利用两角和正弦公式得到可判断．
本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
则，
的虚部为，故A错误；
，
，故B正确；
在复平面内对应的点在第一象限，故C错误；
，
则是关于的方程的一个根，故D正确．
故选：．
先对化简，再结合共轭复数的定义，虚部的定义，复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，虚部的定义，复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由频率之和为得，
解得，故A错误；
学生每天体育活动不少于一个小时的概率为：，
则估计名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为，故B正确；
由频率分布直方图可估计名学生每天体育活动时间的众数是，故C正确；
由，，
故第百分位数位于内，
则第百分位数为，
可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第百分位数约为，故D错误．
故选：．
由频率分布直方图，结合选项逐一检验，可得答案．
本题考查频率分布直方图的应用，考查众数和百分位数，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平，故选项A正确；
对于，恰有一枚正面向上包括正，反，反，正两种情况，而两枚都正面向上仅有正，正一种情况，所以游戏不公平，故选项B错误；
对于，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平，故选项C正确；
对于，小明、小华两人各写一个数字或，一共有四种情况：，，，，两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平，故选项D正确．
故选：．
对四个选项中的事件分别分析其概率是否相同，由此进行判断即可．
本题考查了概率的理解与应用，解题的关键是判断游戏规则中是否是概率相同，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，由题意及图形可知平面平面，
所以点到平面距离为定值．
所以，
又为定值，故三棱锥的体积为定值．故A正确；

对于，如图有平面．
理由如下：连接，D.
由题可得，，
又，，平面，所以平面．
因为平面，所以．
同理可证得，
又，所以平面，得平面．

故点轨迹为平面与底面交线，即为线段，，故C正确；
对于，由可知由正方体的性质易证平面，
显然不存在点，使，
故不存在点，使得平面，故B错误；

延长分别与，的延长线交于点，两点，连接，分别交，于，，
则为经过，，三点的正方体的截面，易求得，
，由勾股定理可得，，
截面周长为，故D错误．
故选：．
利用正方体的性质，结合每个选项的条件逐项判断计算可判断其正确性．
本题考查空间几何体的性质，考查推理论证能力，考查截面图形的周长的求法，考查点的轨迹，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：从图中提供随机数表的第行第列开始向右读取数据，依次为：
，，，舍去，舍去，舍去，，；
所以得到的第个样本编号是．
故答案为：．
根据随机数表法依次取出满足条件的样本编号即可．
本题考查了随机数表法抽取样本数据的应用问题，是基础题．
 

14.【答案】  

【解析】解：根据题意，将数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，
则数据的中位数为，
其平均数，
则其方差．
故答案为：，．
根据题意，由中位数、平均数、方差的计算公式，计算可得答案．
本题考查数据的中位数、方差的计算，注意中位数、方差的计算公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设棱台的高为，斜高为，设、分别是棱台的底面中心，、分别为底面正方形边的中点
作出直角梯形如图，过作于
棱台的侧面积等于两底面面积之和，
，得，
中，
，
即棱台的高，当，时，，
该棱台的体积．
故答案为：．
设、分别是棱台的底面中心，、分别为底面正方形边的中点．作出直角梯形如图，过作于，设棱台的高为，斜高为，据题意可得，得，再在中，利用勾股定理可得，即得即棱台的高的大小，代入，结合台体的体积公式可求该棱台的体积．
本题考查求棱台的体积，考查棱台的侧面积等于上下底面的计算，考查了正棱台的基本概念和性质等知识，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意得，甲乙都不来常州旅游的概率为，
则甲，乙，丙人都不来常州旅游的概率为，
则甲，乙，丙人中至少有人来常州旅游的概率为．
故答案为：．
利用相互独立事件的乘法公式求得甲，乙，丙人都不来常州旅游的概率，再利用对立事件的性质求解．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

17.【答案】解：，，
由，得，，
，；
由，得，
即，，
即，得，

． 

【解析】由已知利用平面向量共线的坐标运算求解的值；
把两边平方，可得，由此列式求得，再由三角函数的恒等变换化简求值．
本题考查平面向量的坐标运算，考查三角函数的恒等变换应用，考查运算求解能力，是基础题．
 

18.【答案】解：，，
，
又，，，
，
所以


；
即．
，
，，
，
． 

【解析】将的长看成，将分解到和上，再利用数量积的计算公式求解；
根据题设，找出与，与的关系，从而将分解到基底、上，再求数量积即可．
本题考查平面向量基本定理及数量积运算，属基础题．
 

19.【答案】解：在中，角，，所对的边分别为，，，，
由正弦定理，
得，，
，，，
因为，所以，所以，
因为，所以；
在中，因为，
所以，所以，
解得，或舍，设边上的高为，
因为，
所以． 

【解析】根据正弦定理得，利用两角和正弦公式即可求解；
利用余弦定理和三角形的面积公式即可求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：证明：如图所示：连接交于点，则为的中点．

由题意可知，四边形是正方形，
所以．
因为平面，平面，
所以．
又因为平面，平面，，
所以平面，
又平面，
所以，即D.
存在一点满足时，使得平面，

当点满足，即为的中点，
取的中点，连接，，
在中，且，
因为是的中点，长方体，
所以且，
所以且，
所以在▱，，
又平面，平面，
所以平面．
连接，设到平面所成的距离为，
根据题意可得平面，
因为矩形，点是的中点，
所以，
所以，

在中，，
在中，，
因为平面，平面，
所以，
在中，，
在中，，
所以，
所以，
所以，
，
所以，
所以，
所以到平面所成的距离为． 

【解析】连接交于点，则为的中点，由几何体的特征结合线面垂直的性质定理可得，再由线面垂直的判定定理可得平面，即可得出答案．
当点满足，即为的中点，取的中点，连接，，由三角形中位线定理可得且，且，进而可得且，再由线面平行的判定定理，即可得出答案．
连接，设到平面所成的距离为，可得，，由平面，得，，推出，又，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，点到直线的距离，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

21.【答案】由题意可得，选择方案一，三局两胜制，记甲获胜的事件为
甲获胜事件包含甲连胜两局记为；甲第一局负，第二、三局胜记为；
甲第一局胜，第二局负、第三局胜记为且，，，互斥，且每局比赛相互独立，
则，，
，
甲获胜的概率为．
抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为，有个样本点，
为，，，，，，，
，，，，，，，
，，，，，，，
，，，，，，，
，，，，，，，，
两点数之和不大于的样本点有个：，，，，
，，，，，，，
，，，．
记事件为“两点数之和不大于”，．
记事件为“点数之和大于”，．
，方案二被选择的可能性更大． 

【解析】由互斥事件及相互独立事件的概率乘法公式即可得解；
根据题意，求出采用方案一的概率，由此可得采用方案二的概率，比较可得答案．
本题考查互斥事件、相互独立事件概率的计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．
 

22.【答案】证明：取的中点，连接，
因为是等边三角形，所以．
又平面平面，且平面平面，
所以平面C.
因为平面，所以C.
因为，，，平面，
所以平面．
解：取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，所以，
，分别为，的中点，所以，
因为三棱柱，所以侧面为平行四边形，所以，所以．
且平面，平面，所以平面，
因为三棱柱，所以侧面为平行四边形，分别为，的中点，
所以，且，所以平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又，，平面，
所以平面平面．
又因为为底面内包括边界的动点，当时，平面，
所以平面，所以的轨迹为，所以，所以，
又因为是正三角形，所以．
又因为三棱柱的高为，所以，
所以三棱柱的体积为．
解：取的中点，连接，，
因为是正三角形，为的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
又，，平面，
因为平面，且平面，所以，
所以二面角的平面角为，
在中，，，，
所以二面角的正切值为． 

【解析】取的中点，连接，由面面垂直得出平面，，再由，得出平面．
取的中点，连接，，，利用中位线定理得出，，由平行四边形得出，证明，得出平面，再证明四边形为平行四边形，得出，平面，从而证明平面平面，得出点的轨迹为，从而计算三棱柱的体积．
取的中点，连接，，找出二面角的平面角为，利用求出二面角的正切值．
本题考查了空间中的平行与垂直的判断与性质应用问题，也考查了几何体体积与二面角大小的计算问题，是中档题．