2022-2023学年山西省大同市广灵县平城中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山西省大同市广灵县平城中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省大同市广灵县平城中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  设，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知复数满足，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知点是的边的中点，点在边上，且，则向量(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知圆锥的母线长为，侧面展开图扇形的面积为，那么该圆锥的体积是(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知，，，则，，的大小关系是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如果满足，，的恰有一个，那么的取值为(    )A.  B.
C.  D. 或7.  已知体积为的球与正三棱柱的所有面都相切，则三棱柱外接球的表面积为(    )A.  B.  C.  D. 8.  关于函数，下列叙述有误的是(    )A. 其图象关于直线对称
B. 其图象关于点对称
C. 其值域是
D. 其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的得到二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  下列命题中是假命题的为(    )A. 已知向量，则，可以作为某一平面内所有向量的一个基底
B. 若，共线，则
C. 已知是平面的一个基底，若，则也是该平面的一个基底
D. 若，，三点共线，则10.  下列命题为真命题的是(    )A. 已知幂函数的图象过点，则
B. ，
C. 函数过定点
D. 时，的最小值为11.  数书九章是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，数书九章中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上余四约之，为实：一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即现有满足：：：：，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是(    )A. 的周长为
B. 三个内角，，满足
C. 外接圆的直径为
D. 的中线的长为12.  已知函数，函数满足则(    )A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 若实数、满足，则
D. 若函数与图象的交点为、、，则三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  设向量，，若向量与同向，则______；14.  一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰为，上底面为的等腰梯形，则这个平面图形的面积是________15.  复数满足，则的最小值是______．16.  在梯形中，，，，，若在线段上运动，且，则的最小值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知复数的共轭复数是，是虚数单位，且满足．
求复数；
若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围．18.  本小题分
已知向量，，．
求向量与夹角的正切值；
若，求的值．19.  本小题分在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．求角的大小求的值求的值． 20.  本小题分
如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且：：：，求证：
，，，四点共面；
与的交点在直线上．
21.  本小题分
已知向量，．
求在方向上的投影向量的坐标；
若向量，求实数的值；
若向量满足，求的值．22.  本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
若点在边上，且，，求的面积；
若为锐角三角形，且，求的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：或，
，
又，
，
故选：．
利用补集的运算求出，再求出集合，集合交集的运算即可求出结果．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：复数满足，
则，
，
．
故选：．
根据复数的定义与运算性质，计算即可．
本题考查了复数的定义与计算问题，是基础题．
 3.【答案】 【解析】解：如图：点是的边的中点，点在边上，
且，
则向量

．
故选：．
画出图形，利用向量的加减法求解即可．
本题考查平面向量的加法与减法运算法则的应用，是基础题．
 4.【答案】 【解析】【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，圆锥体积公式的应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
设圆锥的底面半径为，高为，由圆锥的侧面积求出，再由勾股定理求出，由体积公式求解即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为，高为，，
因为侧面展开图扇形的面积为，
所以，解得，
又圆锥的母线长为，
所以，
则．
故本题选D．  5.【答案】 【解析】解：，
，
，
，，的大小关系为．
故选：．
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 6.【答案】 【解析】【分析】本题属于解三角形的题型，主要考查了三角形解个数的问题，重在分情况分类讨论．易错点在于可能漏掉这种情况．
要对三角形解的各种情况进行讨论，即：无解、有个解、有个解，从中得出恰有一个解时满足的条件．【解答】解：；
；
；
当，即时，三角形有个解．
综上所述：当时，三角形恰有一个解．
故选：．  7.【答案】 【解析】解：因为球的体积为，所以球的半径为，
又球与正三棱柱的所有面都相切，
所以正三棱柱底面内切圆的半径为，棱柱高为，
设正三棱柱的外接球的球心为，底面内切圆的圆心为，
设的中点为，则在上，且，，

又，则三棱柱外接球的半径为，
即外接球的表面积为．
故选：．
根据球与正三棱柱的所有面都相切，求得底面三角形内切圆的半径以及棱柱的高，继而求得外接球半径，即可求得答案．
本题主要考查球的表面积，考查转化能力，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：函数，
由，为最小值，可得其图象关于直线对称；
由，可得其图象不关于对称；
由，可得函数的最小值为；，可得函数的最大值为，
可得函数的值域为；
由图象上所有点的横坐标变为原来的得到的图象，
故A，，D正确；B错误．
故选：．
由正弦函数的对称轴特点，计算可判断；由正弦函数的对称中心特点计算可判断；由正弦函数的值域计算可判断；由正弦函数的周期变换特点计算可判断．
本题考查正弦函数的图象和性质，考查对称性和值域的求法，以及图象的周期变换，考查化简变形能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：中，若或中至少一个为零向量时，，就不能作为基底了，所以不正确；
中，若，共线，而，的方向不一定相同，且模长也不一定相等，所以不正确；
中，因为是平面的一个基底，则与不共线，而，所以，不共线，所以可以作为该平面的基底，所以C正确；
中，由向量的三点共线的定理可得，所以D正确；
故选：．
中，共线向量有可能有零向量，所以不能作为基底，判断的真假；中，共线向量不一定相等，判断的真假；中，由向量的基底的定义及向量的基本性质，可得，不共线，判断的真假；中，由三点共线的性质可判断的真假．
本题考查向量的运算性质及向量的基本定理的应用，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：对于：已知幂函数的图象过点，则，，则，故A正确；
对于：，，故B正确；
对于：当时，，故经过定点故C正确；
对于：当时，故D错误．
故选：．
直接利用幂函数，二次函数性性质，指数型函数，基本不等式的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：幂函数，二次函数性性质，指数型函数，基本不等式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：由，
根据正弦定理有：：：：，
所以设，，，
又，
所以有，
解得，
所以，，，
的周长为，故A正确；
在中，由余弦定理有，
所以，故B正确；
由正弦定理有外接圆直径，
故C正确；
在中，由余弦定理有，
在中，由余弦定理有，
，故D错误．
故选：．
阅读理解题目条件计算得出三角形的三边，然后依据条件逐一判断选项的正确性．
本题考查了学生的阅读理解能力，还考查了学生联合运用知识的能力，属中档题．
 12.【答案】 【解析】解：函数，函数满足．
对于，对任意的，，
函数的定义域为，
，
，故A正确；
对于，函数满足，
函数的图象关于点对称，故B错误；
对于，函数的定义域为，
，，
函数为奇函数，当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，
函数在上为增函数，
函数在上也为增函数，
函数在上连续，函数在上为增函数，
函数在上为增函数，函数在上为增函数，
实数、满足，
，可得，即，故C正确；
对于，由上可知，函数与图象都关于点对称，
函数与图象的交点为、、，
不妨设，
若，则函数与图象的交点个数必为偶数，不合乎题意，
，则，由函数的对称性可知，点、关于点对称，
则，，，D错误．
故选：．
对于，推导出函数的定义域为，，由此能求出结果；对于，由函数满足，得到函数的图象关于点对称；对于，推导出函数为奇函数，函数在上为增函数，由此判断；对于，函数与图象都关于点对称，设，推导出，则，由函数的对称性可知，点、关于点对称，由此判断．
本题考查函数奇偶性、周期性、单调性、复合函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 13.【答案】 【解析】解：向量，，
若向量与平行，
则，
解得；
又向量与同向，
则．
故答案为：．
根据向量与共线列方程求得，再根据与同向得出的值．
本题考查了平面向量的共线定理与应用问题，是基础题．
 14.【答案】 【解析】解：如图所示：由已知斜二测直观图根据斜二测化法画出原平面图形，
所以，
，
，
所以这个平面图形的面积为
．
．
故答案为：．
根据斜二测化法规则画出原平面图形，求出面积即可．
本题考查了斜二测直观图的应用问题，根据斜二测画法正确画出原平面图形是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：复数满足，
则复数表示的点到，两点的距离之和为，
而，两点间的距离为，
设为，，
则表示的点的集合为线段，
的几何意义为点到点的距离，
分析可得，在点时，
取得最小值，且其最小值为．
根据题意，分析可得满足的点几何意义为线段，进而分析的几何意义，进而由图示分析可得答案．
本题考查复数的模的计算，一般有两种方法，利用复数的几何意义，转化为点与点之间的距离，设出复数的代数形式，由模的计算公式进行求解．
 16.【答案】 【解析】解：建立如图所示的坐标系，

则，，，
设，则，且，
，，
，
故当时，的最小值为，
故答案为：．
画出图形，建立坐标系，利用向量的数量积以及二次函数的性质转化求解即可．
本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
 17.【答案】解：设复数，则，
于是，即，
，解得，
故；
由得，，
由于复数在复平面内对应的点在第一象限，
，解得．
实数的取值范围是． 【解析】设复数，则，代入足，整理后利用复数相等的条件列式求得，值，则可求；
由得，，再由实部与虚部都大于列不等式组求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 18.【答案】解因为，所以．
设向量与的夹角，
则
，解得．
又，所以，
故．
因为，
所以，
即，解得． 【解析】本题主要考查向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念及范围，以及向量垂直的应用，属于中档题．
先代入数量积求出夹角的余弦，再根据同角三角函数基本关系式求解结论，
直接根据向量垂直的条件即可求得结论．
 19.【答案】解：Ⅰ由余弦定理以及，，，
则，
，
；
Ⅱ由正弦定理，以及，，，
可得；
Ⅲ由，及，可得，
则，
，
． 【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．
Ⅰ根据余弦定理即可求出的大小；
Ⅱ根据正弦定理即可求出的值；
Ⅲ根据同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．
 20.【答案】证明：：：：，
，
，分别为，的中点，，
，
，，，四点共面．
、不是、的中点，
，且，
与必相交，设交点为，
平面，平面，
平面，且平面，
平面平面，
，
与的交点在直线上． 【解析】本题考查四点共面的证明，考查两直线的交点在直线上的证明，是基础题，
推导出，，从而，由此能证明，，，四点共面．
推导出，且，从而与必相交，设交点为，由此能证明与的交点在直线上．
 21.【答案】解：在方向上的投影为，
由于在方向上的投影向量与共线，
可得所求向量为；
向量，，
，
，
向量，
，
解得；
，
，，
，，
，
． 【解析】由向量投影的定义和向量共线定理，可得所求向量，
由向量的坐标运算和向量的平行即可求出的值，
根据向量的坐标运算和向量的模即可求出．
本题考查了向量的坐标运算以及向量的平行和向量的共线，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
 22.【答案】解：在中，，
则由正弦定理得，，，
，，，
又，得，由正弦定理可知，，
即，，由余弦定理有，则，
；
由知，，得，
又，，，
由正弦定理，则，，
，
由为锐角三角形，则且，
，，
的取值范围为． 【解析】由，利用正弦定理可得，结合两角和的正弦公式与诱导公式可得，再利用正弦定理可得，由余弦定理可得，从而利用三角形面积公式可得结果；由余弦定理可得，结合，求得，由正弦定理结合两角和的正弦公式可得，从而可得结果．
本题考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．