专题02-因数与倍数-2023年五年级数学暑假专项提高（人教版）

02因数与倍数

1．在下面关于算式、、均为整数，且的说法中，正确的是　　

A．是的因数 B．是的倍数 C．是的倍数 D．是的因数

2．下面的数中，既是3的倍数，也是5的倍数的是　　

A．1235 B．2470 C．3375 D．8481

3．古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）之和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除6本身以外，还有1、2、3三个因数，，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是　　

A．12 B．24 C．28 D．36

4．在以内，连续三个数都是合数的一共有　　组．

A．0 B．1 C．2 D．3

5．在3，8，12和25四个数中任意取两个数组成一对互质数，一共有　　对．

A．3 B．4 C．5 D．6

6．把50写成两个质数之和，不同的表示方法共有　　种．（只要两个质数分别相同，就认为是同一种表示方法．

A．1 B．2 C．3 D．4

7．706最少要减去 　　，就是3的倍数。

8．有四张数字卡片，分别是2、3、5、7，从中选三张组成三位数，要使这个三位数既是2的倍数，又是3的倍数。组成的三位数是 　　和 　　。

9．为了在蚂蚁森林种一棵白杨树，小豪坚持每天步行上学，他平均每天步行产生的能量（单位：克）是一个同时为3，5的倍数的最大两位数。那么小豪平均每天步行产生 　　克能量。

10．2022年在北京第13届冬残奥会上，中国体育代表团奋勇争先，夺得金牌数量位居世界第一，金牌数个位上是8的最小倍数，十位上是8的最小因数，本届冬残奥会，中国获得 　　枚金牌。

11．□是一个三位数，且是3的倍数，已知，那么□里可以填的数有 　　个。

12．李老师带领一部分同学去植树，同学们正好可以平均分成3组，如果师生每人植树一样多，则共植155棵树，平均每人植树 　　棵。

13．写出下面各数的因数．

25     12      49      36．

14．用18个小正方形拼一个长方形，有几种拼法？请你画出3种拼法，再填一填。

18的全部因数有：　　

15．选择合适的数填在圆圈内．

1、2、3、4、6、9、8、12、16、18、24、30、33、54、57、65、91、97、101、121、131．

16．端午节学校组织学生们看望“第一老年公寓”的爷爷奶奶。同学们自己动手包了96个粽子，现在要把这些粽子装在袋子里，如果每个袋子里的粽子不少于2个，不多于4个，且每个袋子里装的粽子同样多，那么共有几种不同的装法？

17．大约1500多年前，我国伟大的数学家祖冲之计算出的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把的值精确到七位小数的人。现代人利用计算机已经将的值计算到了小数点后15亿位以上。这些数排列既无序又无规律。但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141、31415、314159、3141592、31415926、31415927中，哪些是质数？

18．爸爸买回20个梨，让小明把梨放入篮中。不许一次拿完，也不许一个一个地拿，要每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。小明共有几种拿法？每种拿法每次各拿多少个？（提示：将问题转化为求20的所有因数，再排除不合要求的拿法）

19．小明到文具店买文具套装，文具套装的单价已经看不清了，他买了3套文具套装，付了150元，售货员阿姨找回了17元，小明认为不对，你能解释这是为什么吗？

20．下面是红星小学五年级各班的人数．哪几个班可以平均分成人数相同的小组？哪几个班不可以？为什么？

21．学生在操场上列队做操，人数在90至110之间，如果排成3列不多也不少，如果排成5列则少2人，如果排成7列则少4人．一共有多少学生在操场上做操？

22．一个房间长，宽，现在计划用方砖铺地，问：需要边长最大为多少厘米的方砖多少块（整块）正好将房间的地面铺满？

1．【答案】

【分析】在整除算式中，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。据此解题。

【解答】解：、、均为整数，且，那么是和的倍数，和是的因数。所以，选项中说法正确的是“是的倍数”。

故选：。

【点评】本题考查了因数和倍数，掌握因数和倍数的概念是解题的关键。

2．【答案】

【分析】根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；要想同时是3、5的倍数，这个数的个位一定是0或5，各位上数的和一定是3的倍数。

【解答】解：是5的倍数，个位上是5，所以能被5整除；，11不能被3整除，所以1235不是3的倍数；不符合题意。

是5的倍数，个位上是0，所以能被5整除；，13不被被3整除，所以2470不是3的倍数；不符合题意。是5的倍数，个位上是5，所以能被5整除；，18能被3整除，所以3375是3的倍数；因此3375既是5的倍数也是3的倍数。

不是5的倍数，个位是1，所以不能被5整除；，21能被3整除，所以8481是3的倍数；不符合题意。

故选：。

【点评】此题是考查3、5的倍数特征。一个数要想同时是3、5的倍数，它必须同时具备3、5的倍数特征。

3．【答案】

【分析】根据完全数的定义，可将下列选项中的数字进行计算，即可得出答案。

【解答】解：的因数有：1、2、3、4、6、12，，所以12不是“完全数”，故不符合题意；

的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，，所以24不是“完全数”，故不符合题意；

的因数有：1、2、4、7、14、28，，所以28是“完全数”，故符合题意；

的因数有：1、2、3、4、9、12、18、36，，所以36不是“完全数”，故不符合题意。

故选：。

【点评】此题主要考查的是如何计算一个数的因数。

4．【分析】在大于1自然数中，除了1和它本身外没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外还有别的因数的数为合数．据此用枚举法找出20以内的合数即可．

【解答】解：20以内的合数有：

4，6，8，9，10，12，14，15，16，18共10个，

所以在以内，连续三个数都是合数的一共有8、9、10和14、15、16两组．

故选：．

【点评】解答此题的关键是列举出20以内的合数然后从中选择即可．

5．【分析】互质数是公因数只有1的两个数，据此把3，8，12和25四个数中任意取两个数组成一对互质数，然后数出即可．

【解答】解：把3，8，12和25四个数中任意取两个数组成的互质数有：3和8，3和25，8和25，12和25，共计4对；

故选：．

【点评】本题主要考查互质数的意义，注意互质数是公因数只有1的两个数．

6．【分析】50以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47；其中；；；；由此即可进行填空．

【解答】解：50以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47；

其中；；；；

答：不同的表示方法共有4种．

故选：．

【点评】本题主要考查了质数与合数的定义．此类问题要注意做到不重不漏．

7．【答案】1。

【分析】3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；706中各位上数字之和是13，12是3的倍数，所以至少减去1可满足条件，据此解答。

【解答】解：

12是3的倍数，满足题意。

即706最少要减去1，就是3的倍数。

故答案为：1。

【点评】熟练掌握3的倍数的特征是解答本题的关键。

8．【答案】732，372。

【分析】根据2、3的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；同时是2、3的倍数的数，个位上必须是偶数且各位上的数字之和是3的倍数。据此解答。

【解答】解：有四张数字卡片，分别是2、3、5、7，从中选三张组成三位数，要使这个三位数既是2的倍数，又是3的倍数。组成的三位数是732和372。

故答案为：732，372。

【点评】此题考查的目的是理解掌握2、3的倍数的特征及应用，关键是明确：同时是2、3的倍数的数，个位上必须是偶数且各位上的数字之和是3的倍数。

9．【答案】90。

【分析】3的倍数特征：每一个数位上的数字之和是3的倍数；

5的倍数特征：个位上是0或5的数。

【解答】解：因为是最大的两位数，所以十位尽可能的大，让十位为9；而又因为这个数是5的倍数，所以个位只能为0或者5；当个位为0时，是3的倍数，所以90符合同时为3，5的倍数；当个位为5时不是3的倍数，所以95不符合同时为3，5的倍数；因此同时为3，5的倍数的最大两位数是90。

故答案为：90。

【点评】此题需要学生掌握3、5的倍数特征并能灵活的运用。

10．【答案】18。

【分析】一个数的最小倍数是它本身，金牌数个位上是8的最小倍数，所以是8；一个数的最小因数是1，十位上是8的最小因数，所以是1。

【解答】解：根据分析得金牌数个位上是8，十位上是1，所以本届冬残奥会，中国获得18枚金牌。

故答案为：18。

【点评】本题考查倍数和因数，要掌握一个数的最小倍数是它本身，最小因数是1。

11．【答案】3。

【分析】3的倍数的特征是：一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此即可解答。

【解答】解：，满足要求；

，满足要求；

，满足要求；

，不满足要求，所以方框中可以填的数有3个。

故答案为：3。

【点评】3的倍数特征是各个数位上数的和是3的倍数，熟练掌握3的倍数特征就能解决问题。

12．【答案】5。

【分析】“同学们正好可以平均分成3组”，说明学生人数是3的倍数，再加李老师，则师生人数被3除余1，因为155是每人植的棵数与总人数的乘积，所以要先把155分解质因数为，然后把因数重新组合，使它们为两数的乘积，从而求解。

【解答】解：

（人

所以有学生30人，平均每人植树5棵。

答：平均每人植树5棵。

故答案为：5。

【点评】解决此题明确学生总人数是3的倍数，155棵树是师生共同种的棵数，所以把155分解质因数，进而重新组合，从而解决问题。

13．【分析】根据求一个数的因数的方法，进行依次列举即可．

【解答】解：25的因数：1、5、25；

 12的因数：1、2、3、4、6、12；

49的因数：1、7、49；

36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36．

【点评】此题主要考查了找一个数的因数的方法，要熟练掌握．

14．【答案】

1，18，2，9，3，6。

【分析】根据正方形的面积边长边长，可得小正方形面积为：，所以18个小正方形的面积是：，这也是拼成的长方形的面积；又因为长方形的面积长宽，所以长宽，也就是两个因数的积等于18，那这两个因数就分别为长方形的长和宽，据此即可求解。

【解答】解：

①长为18，宽为1，面积是：

②长为9，宽为2，面积是：

③长为6，宽为3，面积是：

所以一共有3种不同的拼法，拼出来的长方形如图所示：

所以18的全部因数有：1，18，2，9，3，6。

故答案为：1，18，2，9，3，6。

【点评】解决本题的关键在于知道拼成的长方形的面积等于18个小正方形的面积。

15．【分析】求一个数的倍数的方法用这个数分别乘以自然数：1，2，3，4，，所得积就是这个数的倍数；在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数．解答即可．

【解答】解：由分析解答如下：1、2、3、4、6、9、8、12、16、18、24、30、33、54、57、65、91、97、101、121、131；

3的倍数有：3、6、9、12、18、24、30、33、54、57；

5的倍数有：30、65；

6的倍数有：6、12、18、24、30、54；

11的倍数有：33、121；

质数有：2、3、97、101、131；

合数有：4、6、9、8、12、16、18、24、30、33、54、57、65、91、121．

故答案为：

【点评】本题考查了求一个数倍数的方法、质数和合数的意义，数比较多，要一个一个的判断．

16．【答案】3种。

【分析】根据题意可知，每个袋子装粽子的个数必须是96的因数，且大于或等于2，小于或大于4，根据求一个数的因数的方法解答即可。

【解答】解：96的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、96；

在96的因数中大于或等于2，小于或大于4的有2、3、4。

答：共有3种不同的装法。

【点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数的方法及应用。

17．【答案】314159。

【分析】根据2、3、5的倍数的特征可知，3141、31415、3141592、31415926分别是3、5、2、2的倍数；31415927是31的倍数，再根据质数的定义即可得出答案。

【解答】解：3141、31415、3141592、31415926分别是3、5、2、2的倍数；31415927是31的倍数，所以314159是质数。

【点评】本题主要考查质数的知识，明确质数的定义是关键。

18．【答案】4；2，4，5，10。

【分析】从“每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩”可以知道每次拿的个数应是20的因数；因为不能一次拿完，也不能一个一个地拿，所以应该去掉1和它本身（即这两种拿法；因此，先找出30有多少个因数，用因数的个数减去2就是所求。

【解答】解：

20的因数有1、2、4、5、10、20共6个因数，也就是6种拿法，但是不能一次拿完，也不能一个一个地拿，所以总共有（种拿法；

可以2个2个的拿，4个4个的拿，5个5个的拿，10个10个的拿。

答：小明共有4种拿法，可以2个2个的拿，4个4个的拿，5个5个的拿，10个10个的拿。

【点评】此题需要学生熟练掌握找一个数因数的方法，还考查了因数的应用。

19．【分析】根据被3整除特征：每一位上数字之和能被3整除，根据题意，小名买了3套文具套装，付了150元，售货员阿姨找回了17元，3套文具套装售总价是，，7不是3的倍数，所以不对，解答即可．

【解答】解：，

1，，7不是3的倍数，

小明买3套文具套装，售货员阿姨找回了17元，

因此确定小明认为不对的观点是正确的．

答：小明认为不对的观点是正确的，因为，133不是3的倍数．

【点评】此题主要根据被3整除的数的特征解决问题．

20．【分析】这些班的人数中，是合数的可以平均分成每组相同的人数，是质数的就不能分成相同的组数．

【解答】解：39、42是合数，可以平均分成人数相同的小组；

41、43是质数，不可以平均分成人数相同的小组．

答：（1）班、（3）班班不可以平均分成人数相同的小组；（2）班、（4）班可以平均分成人数相同的小组．

【点评】本题考查了根据质数和合数的性质进行求解．

21．【分析】如果排成3列不多也不少，说明人数是3的倍数；如果排成5列则少2人，就可以说明比5的倍数少2，或是比5的倍数多3；如果排成7列则少4人，说明比7的倍数少4，或是比7的倍数多3；那么这个数就同时具备这样几个条件：90至110之间，是3的倍数，比5、7的倍数多3，那么就可以先求3、5、7的最小公倍数，再看他是不是在之间，然后再加3即可．

【解答】解：因为3、5、7是互质数，所以3、5、7的最小公倍数是，则总人数为：

（人

答：共有学生108人在操场上做操．

【点评】此题应根据因数和倍数的意义进行解答，即求在之间3、5、7的公倍数加3．

22．【分析】需要边长最大为多少厘米的方砖，即是求出450和330的最大公约数，求多少块用总面积除以方砖的面积即可．

【解答】解：，，

所以450和330的最大公约数为，

（块

答：需要边长最大为30厘米的方砖165块（整块）正好将房间的地面铺满．

【点评】本题考查了公因数应用题，关键是求出450和330的最大公约数．