高考物理一轮复习考点回扣练专题（06）力的合成与分解（含解析）

专题（06）力的合成与分解（解析版）

考点一 　

1．两个共点力的合成

|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小；当两力同向时，合力最大．

2．三个共点力的合成

(1)最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3.

(2)最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的大小之和．

3．几种特殊情况的共点力的合成

4.力合成的方法

(1)作图法

(2)计算法

若两个力F1、F2的夹角为θ，如右图所示，合力的大小可由余弦定理得到：

F＝，

tan α＝.

题型1　合力范围的确定

【典例1】　(多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内的三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N．下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是(　　)

A．物体所受静摩擦力可能为2 N

B．物体所受静摩擦力可能为4 N

C．物体可能仍保持静止

D．物体一定被拉动

【答案】ABC

【解析】两个2 N的力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定A、B、C正确，D错误．

【变式1】如图所示，位于斜面上的木块静止不动，则斜面对木块的支持力与摩擦力的合力方向为 (　　)

A．垂直斜面向上  B．沿斜面向上

C．竖直向上 D．竖直向下

【答案】C

【解析】木块受重力、支持力、摩擦力处于平衡，合力为零，则支持力和摩擦力的合力与重力等大反向，即合力的方向竖直向上，选项C正确，选项A、B、D错误.

题型2　作图法的应用

【典例2】　一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是(　　)

A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定

B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向

C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向

D．由题给条件无法求合力大小

【答案】B

【解析】先以力F1和F2为邻边作平行四边形，其合力与F3共线，大小F12＝2F3，如图所示，合力F12再与第三个力F3合成求合力F合．可见F合＝3F3.

【变式2】(多选)某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用，在如图所示的四种情况中(坐标纸中每格边长表示1 N的大小的力)，该物体所受的合外力大小正确的是 (　　)

A．甲图中物体所受的合外力大小等于5 N

B．乙图中物体所受的合外力大小等于5 N

C．丙图中物体所受的合外力大小等于0

D．丁图中物体所受的合外力大小等于0

【答案】ABD

【解析】由力的平行四边形定则可知，甲图中三个力的合外力大小为5 N，乙图中三个力的合外力大小为5 N，丙图中三个力的合外力大小为6 N，丁图中三个力的合外力大小为0.选项C错误，A、B、D正确．

题型3　计算法的应用

【典例3】　射箭是奥运会比赛项目之一，图甲为我国著名选手张娟娟的射箭场景．已知弓的顶部跨度为l，弦均匀且弹性良好，其原长为l.发射时弦和箭可等效为图乙的情景，假设弓的跨度保持不变，箭在弦的正中间，弦夹在类似动滑轮的附加装置上，将箭发射出去．已知弦的劲度系数为k，射箭时弦的最大长度为l(弹性限度内)，则箭被射出瞬间所受的最大弹力为(设弦的弹力满足胡克定律)(　　)

A.kl  B.kl

C.kl D．2kl

【答案】B

【解析】弓弦的张力F＝k＝kl，如题图乙所示，设弦与箭的夹角为θ，弦对箭的作用力F′＝2Fcos θ＝2·kl·＝kl，B正确．

【变式3】如图所示，四个半径为r、质量为m的排球呈正四面体堆放在粗糙水平面上，四个排球紧密接触，处于静止状态，最上面的排球与其余三个排球的摩擦不计，则上面的排球受到其他每个排球的作用力大小为(　　)

A.mg         B.mg      C.mg  D.mg

【答案】D

【解析】设下面每个排球对上面的排球作用力大小为F，方向与水平方向夹角为θ，则3Fsin θ＝mg　①，四个排球呈正四面体堆放，由几何知识可知sin θ＝　②，联立①②解得F＝mg，选项D正确，A、B、C错误．

【提 分 笔 记】

两种求解合力的方法的比较

(1)作图法求合力，需严格用同一标度作出力的图示，作出规范的平行四边形，才能较精确地求出合力的大小和方向．

(2)计算法求合力，只需作出力的示意图，对平行四边形的作图要求也不太严格，重点是利用数学方法求

解，往往适用于两力的夹角是特殊角的情况．

考点二 　

1．效果分解法

按力的作用效果分解(思路图)

2．正交分解法

(1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法．

(2)建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系．

(3)方法：物体受到多个力F1、F2、F3、…作用，求合力F时，可把各力向相互垂直的x轴、y轴分解．

x轴上的合力Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…

y轴上的合力Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…

合力大小F＝

合力方向：与x轴夹角为θ，则tan θ＝.

3．力的分解的唯一性和多解性

(1)已知两个不平行分力的方向，可以唯一地作出力的平行四边形，对力进行分解，其解是唯一的．

(2)已知一个分力的大小和方向，力的分解也是唯一的．

(3)已知一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小，对力F进行分解，如图所示，有三种可能：(F1与F的夹角为θ)

①F2<Fsin θ时无解．

②F2＝Fsin θ或F2≥F时有一组解．

③Fsin θ<F2<F时有两组解．

(4)已知合力和两个不平行分力大小，许多同学认为只有如下两种分解.  

事实上，以F为轴在空间将该平行四边形转动一周，每一个平面分力方向均有变化，都是一个解，因此，此情景应有无数组解．

题型1　按力的效果分解

【典例4】　(多选)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可．一游僧见之曰：无烦也，我能正之．”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身．假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则  (　　)

A．若F一定，θ大时FN大        B．若F一定，θ小时FN大

C．若θ一定，F大时FN大         D．若θ一定，F小时FN大

【答案】BC

【解析】根据力F的作用效果将力F分解为垂直于木楔两侧的力FN，如图所示，则＝sin

即FN＝所以当F一定时，θ越小，FN越大；当θ一定时，F越大，FN越大．故选项B、C正确．

【变式4】刀、斧、凿等切削工具的刃部叫做劈，如图是斧头劈木柴的示意图．劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开．设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头的自身重力，则劈的侧面推压木柴的力约为  (　　)

A.F         B.F        C.F  D.F

【答案】B

【解析】斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2且F1＝F2，利用几何三角形与力的三角形相似有＝，得推压木柴的力F1＝F2＝F，所以B正确，A、C、D错误．

题型2　正交分解

【典例5】(多选)如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则(　　)

A．绳OO′的张力也在一定范围内变化

B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化

C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化

D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化

【答案】BD

【解析】系统处于静止状态，连接a和b的绳的张力大小T1，等于物块a的重力Ga，C项错误；以O′点为研究对象，受力分析如图甲所示，T1恒定，夹角θ不变，由平衡条件知，绳OO′的张力T2恒定不变，A项错误；以b为研究对象，受力分析如图乙所示，则

FN＋T1cos θ＋Fsin α －Gb＝0

f＋T1sin θ－Fcos α＝0

FN、f均随F的变化而变化，B、D项正确．

【变式5】如图所示，物体重为G，AO绳与顶板间的夹角为45°，BO绳水平，且AO、BO两根绳能承受的最大拉力相等，当物体的重力逐渐增大时，哪根绳先断裂？

【答案】AO绳先断裂

【解析】在结点O，竖直向下的拉力F产生了两个效果：一是沿AO向下拉紧AO绳的分力F1，二是沿BO向左拉紧BO绳的分力F2，分解示意图如图．则有

F1＝＝G，F2＝＝G

显然F1>F2，又因为F1＝FAO，F2＝FBO，且两绳能承受的最大拉力相等，故当逐渐增大物体的重力时，AO绳先断．

【提 分 笔 记】

力的合成与分解方法的选择

力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法．一般情况下，物体只受三个力的情形下，力的效果分解法、合成法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定．

题型3 力的分解的唯一性和多解性

【典例6】(多选)已知力F，且它的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为 F，方向未知，则F1的大小可能是(　　)

A.     B.       C.  D.F

【答案】AC

【解析】根据题意作出矢量三角形如图所示，因为F>，从图上可以看出，F1有两个解，由直角三角形OAD可知：FOA＝＝F.由直角三角形ABD得：FBA＝＝F.由图的对称性可知：FAC＝FBA＝F，则分力F1＝F－F＝F；F1′＝F＋F＝F.

【变式6】如图所示，甲、乙、丙三人分别在两岸用绳拉小船使其在河流中行驶，已知甲的拉力大小为800 N，方向与航向夹角为30°，乙的拉力大小为400 N，方向与航向夹角为60°，要保持小船在河流正中间沿虚线所示的直线行驶，则丙用力最小为(　　)

A．与F甲垂直，大小为400 N             B．与F乙垂直，大小为200  N

C．与河岸垂直，大小约为746 N          D．与河岸垂直，大小为400 N

【答案】C

【解析】　甲、乙两人的拉力大小和方向一定，则其合力F的大小和方向一定，作出平行四边形如图所示．要保持小船在河流中间沿直线行驶，则小船所受合力应沿直线方向，力F的大小和方向已知，合力的方向已知，求最小的另一分力F丙，则最小的F丙与直线垂直(即与河岸垂直)，且F丙＝F乙sin 60°＋F甲sin 30°＝200  N＋400 N＝746 N，C正确．

考点三 “活结”和“死结”与“动杆”和“定杆”问题　

1．活结：当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，由于滑轮或挂钩对绳无约束，因此绳上的力是相等的，即滑轮只改变力的方向不改变力的大小．

2．死结：若结点不是滑轮，是固定点时，称为“死结”结点，则两侧绳上的弹力不一定相等．

3．动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆处于平衡时杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动．如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向．

4．定杆：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向，如图乙所示．

题型1　“活结”和“死结”问题

【典例7】 如图所示，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上．一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球．在a和b之间的细线上悬挂一小物块．平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径．不计所有摩擦．小物块的质量为(　　)

A.      B.m        C．m D．2m

【答案】C

【解析】如图所示，圆弧的圆心为O，悬挂小物块的点为c，由于ab＝R，则△aOb为等边三角形，同一条细线上的拉力相等，FT＝mg，合力沿Oc方向，则Oc为角平分线，由几何关系知，∠acb＝120°，故细线的拉力的合力与小物块的重力大小相等，且每条细线上的拉力大小FT＝G，所以小物块质量为m，故C对．

【变式7】如图所示，在竖直平面内固定一直杆，将轻环套在杆上．不计质量的滑轮用轻质绳OP悬挂在天花板上，另一轻绳通过滑轮系在环上，不计所有摩擦．现向左缓慢拉绳，当环静止时，与手相连的绳子水平，若杆与地面间夹角为θ，则绳OP与天花板之间的夹角为(　　)

A.  B．θ

C.＋  D.－

【答案】C

【解析】当轻环静止不动时，PQ绳对轻环的拉力与杆对轻环的弹力等大、反向、共线，所以PQ绳垂直于杆，由几何关系可知，绳PQ与竖直方向之间的夹角是θ；对滑轮进行受力分析如图，由于滑轮的质量不计，则OP绳对滑轮的拉力与两个绳子上拉力的合力大小相等、方向相反，所以OP绳的方向一定在两根绳子之间的夹角的角平分线上，由几何关系得OP绳与天花板之间的夹角α＝β＝＝＋，C正确．

【提 分 笔 记】

1．“死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点．“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等．

2．“活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点．“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的．绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向 一定沿这两段绳子夹角的平分线．

题型2　“动杆”和“定杆”问题

【典例8】　如图为两种形式的吊车的示意图，OA为可绕O点转动的轻杆，重量不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA在图(a)、(b)中的受力分别为Fa、Fb，则下列关系正确的是(　　)

A．Fa＝Fb  B．Fa>Fb

C．Fa<Fb D．大小不确定

【答案】A

【解析】对题图中的A点受力分析，则由图(a)可得Fa＝Fa′＝2Gcos 30°＝G

由图(b)可得tan 30°＝

则Fb＝Fb′＝G

故Fa＝Fb.

【变式8】(多选)如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆，A端用铰链固定，滑轮在A点正上方(滑轮大小及摩擦均可不计)，B端吊一重物．现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉，在AB杆达到竖直前(　　)

A．绳子拉力不变  B．绳子拉力减小

C．AB杆受力增大 D．AB杆受力不变

【答案】BD

【解析】以B点为研究对象，分析受力情况：重物的拉力FT1(等于重物的重力G)、轻杆的支持力FN和绳子的拉力FT2，作出受力图如图所示：

由平衡条件得，FN和FT2的合力与FT1大小相等、方向相反，根据三角形相似可得

＝＝

又F＝FT2

解得FN＝·G，F＝·G

∠BAO缓慢变小时，AB、AO保持不变，BO变小，则FN保持不变，F变小，故选项B、D正确．