2023年江苏省常州外国语学校中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年江苏省常州外国语学校中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. −7的倒数是( )
A. −17B. 7C. 17D. −7
2. 若二次根式 x−3有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≠3B. x≥3C. x≤3D. x=3
3. 根据世卫组织实时统计数据，截至欧洲中部时间6月28日18时30分全球新冠肺炎确诊病例超54218万例，其中54218万例用科学记数法表示是例．( )
A. 5.4218×108B. 5.4218×107C. 54.218×107D. 54.218×108
4. 下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. −6a2÷3a=−2a
C. (−3pq)2=−6p2q2D. (b−a)2=b2−a2
5. “春蕾计划”是在全国妇联领导下，中国儿童少年基金会发起的一项社会公益活动，旨在帮助困境女童顺利完成学业.某中学广大教师为此积极捐款献爱心，该校50名教师的捐款情况统计如图所示，则他们捐款金额的众数和中位数分别是( )
A. 200元，100元B. 100元，200元C. 200元，150元D. 100元，150元
6. 如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC/​/BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为( )
A. 83
B. 73
C. 2
D. 53
7. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=35°，则∠C的度数是( )
A. 35°
B. 45°
C. 65°
D. 55°
8. 函数y=−x2(x−4)和y=kx(x>0)的图象如图所示.若x=a，x=b分别为方程−x2(x−4)=−1和kx=−1的一个解，则根据图象可知a、b的大小关系为( )
A. a≥bB. a≤bC. a>bD. a0)即可求得m=2512，即可求得D(34,1)．
本题考查了一次函数图象上点的坐标图象，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，通过三角形相似表示出点D的坐标是解题的关键．
26.【答案】解：操作：如图3，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于D和E，分别连接BD、CE交于点O，作直线AO.则直线AO就是△ABC的对称轴；
探究1：如图4，∵BD⊥AC于点D，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=AC=8，BD=4 2，
∴AD= AB2−BD2= 82−(4 2)2=4 2，
∴∠A=45°，
过点E作EF⊥AC于F，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∵AB=8，BE=10−4 2，
∴AE=4 2−2，
∴AF=EF=4− 2，
∴CF=AC−AF=4+ 2，
在Rt△CEF中，CE= CF2+EF2= (4+ 2)2+(4− 2)2=6；
探究2：如图5，在AC上取点F，使AF=AE，连接BF，

又∵∠A=∠A，AB=AC，
∴△ABF≌△ACE(SAS)，
∴BF=DE，
又∵CE=BD，
∴BD=BF，
过点B作BG⊥AC于G，
∴FG=GD=12DF，
∵AB=AC，AE=AF，
∴CF=BE=3，
又∵CD=1，
∴FD=2，
∴FG=GD=1，
∴AG=AC−CG=6，
在Rt△ABG中，BG= AB2−AG2= 82−62=2 7，
在Rt△BDG中，BD= BG2+DG2= 29，
∴CE=BD= 29，
即CE的长为 29．
【解析】操作：以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于D和E，分别连接BD、CE交于点O，作直线AO即可；
探究1：根据已知条件判定△ABD是等腰直角三角形，过点E作EF⊥AC于F，判定△AEF为等腰直角三角形，求出EF和AF的长，易求CF，然后根据勾股定理在Rt△EFC中求出CE的长即可；
探究2：在AC上取点F，使AF=AE，连接BF，作BG⊥AC于G，根据已知条件判定△ABF≌△ACE，得到BF=CE，易得BF=BF，然后根据“三线合一”和勾股定理先求出BG的长，再根据勾股定理求出BD的长就是CE的长．
本题是几何变换综合题，主要考查轴对称的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等，深入理解题意是解决问题的关键．
27.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A(−1,0)、C(4,0)两点，
∴0=a−b+40=16a+4b+4，
解得a=−1b=3，
∴该抛物线的解析式为y=−x2+3x+4，
∵y=−x2+3x+4=−(x−32)2+254，
∴抛物线的解析式的顶点坐标为(32,254)；
(2)∵抛物线y=−x2+3x+4与y轴交于点B，
∴B(0,4)，
∵点D是抛物线上的一个动点，△ABD与△BCD的面积相等，
∴BD/​/AC，
∴D点的纵坐标为4，
当y=4时，即−x2+3x+4=4，
解得x1=0，x2=3，
∴D(3,4)；
(3)设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴b=44k+b=0，
解得k=−1b=4，

∴直线BC的解析式为y=−x+4，
设F(m,0)，则E(m,−m2+3m+4)，P(m,−m+4)，
∵OB=OC=4，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BCO=45°，
∵EF⊥AC，
∴△CPF是等腰直角三角形，
∴CP= 2(4−m)，
∴BP=4 2− 2(4−m)= 2m，
①当△BPF∽△CPE时，
则PEPF=PCPB，
∴−m2+3m+4+m−44−m= 2(4−m) 2m，
解得m=−1± 172或m=4，
∵m>0且m≠4，
∴m=−1+ 172，
②当△BPF∽△EPC时，
则PBPE=PFPC，
∴ 2m−m2+3m+4+m−4=4−m 2(4−m)，
解得m=2或m=0(不合题意舍去)，
∴点E的横坐标为2或−1+ 172．
【解析】(1)根据题意列方程组，解方程组得到该抛物线的解析式为y=−x2+3x+4，由于y=−x2+3x+4=−(x−32)2+254，于是得到抛物线的解析式的顶点坐标为(32,254)；
(2)根据点D是抛物线上的一个动点，△ABD与△BCD的面积相等，于是得到BD/​/AC，求得D点的纵坐标为4，解方程即可得到D(3,4)；
(3)设直线BC的解析式为y=kx+b，解方程得到直线BC的解析式为y=−x+4，设F(m,0)，则E(m,−m2+3m+4)，P(m,−m+4)，根据已知条件得到△BOC是等腰直角三角形，△CPF是等腰直角三角形，求得CP= 2(4−m)，得到BP=4 2− 2(4−m)= 2m，①当△BPF∽△CPE时，②当△BPF∽△EPC时，根据相似三角形的性质解方程即可得到结论．
本题是二次函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，分类讨论是解题的关键．
28.【答案】5 2 2
【解析】解：(1)①如图1所示：
∵点P(3,2)，
∴以O，P为直角三角形的两个锐角顶点的直角三角形OPM的两条直角边长为3和2，
∴LOP=3+2=5，
故答案为：5；
②当点Q在一，三象限的角平分线上或二、四象限的角平分线上时，LOQ的值最大，最大值为2 2，
故答案为：2 2；
(2)∵一次函数y=x+2的图象分别交x轴、y轴于点A、B，
∴A(−2,0)，B(0,2)，
∵点P是线段AB上一点，
∴设P(a,a+2)，
则a≤0，a+2≥0，
∴LOP的值=|a|+|a+2|=−a+a+2=2；
(3)如图2，N是以T(t,0)为圆心，1为半径的⊙T上任意一点，
当点N在⊙T最上方时，
∵点M(2,1)，LMN=3，
∴N为(5,1)或(−1,1)，
此时t=5或t=−1，
以NN′为对角线作正方形ANBN′，
则与点M的“折距”为3的点在正方形ANBN′的各边上，
∴点N的运动轨迹是以T(t,0)为圆心，1为半径的圆与正方形ANBN′的交点，
∵NN′//x轴，
∴NB与x轴的夹角的锐角值为45°，
∴在圆与NB边的交点上t的最小值为− 2，
同理：t的最大值为 2，
同理：N′B与x轴的夹角锐角值也为45°，N′B与x轴的交点为(4,0)，
∴在圆与N′B边的交点上时，t的最大值为4+ 2，最小值为4− 2，
∴t的取值范围为− 2≤t≤ 2或4− 2≤t≤4+ 2．
(1)①由“折距”的定义求解即可；
②由“折距”的定义得：当OQ与x轴或y轴重合时，LOQ的值最小为2；
(2)由一次函数求出A(−2,0)，B(0,2)，设P(a,a+2)，则a≤0，a+2≥0，再由“折距”的定义和绝对值的定义求解即可；
(3)当点N在⊙T最上方时，由题意得N为(5,1)或(−1,1)，此时t=5或t=−1，以NN′为对角线作正方形ANBN′，则与点M的“折距”为3的点在正方形ANBN′的各边上，则点N的运动轨迹是以T(t,0)为圆心，1为半径的圆与正方形ANBN′的交点，再分别求出在圆与NB边的交点上t的最小值与最大值，同理在圆与N′B边的交点上t的最大值与最小值，即可得出结论．
本题是圆的综合题目，考查了圆的性质、新定义“折距”、一次函数的性质、坐标与图形性质等知识；本题综合性强，解题的关键是理解题意，学会利用新的定义解决问题，属于中考压轴题．
组别
投放次数
频数
A
0≤x