2022-2023学年浙江省绍兴市越城区建功中学教共体八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省绍兴市越城区建功中学教共体八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程中，是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列医护图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  平行四边形的两条对角线一定(    )

A. 互相平分 B. 互相垂直 C. 相等 D. 以上都不对

5.  若能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  用反证法证明，“在中，、对边是、，若，则”第一步应假设(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根

8.  如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

9.  一组数据：，，，，，若拿掉一个数据，则发生变化的统计量是(    )

A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数

10.  我国古代数学家研究过一元二次方程正根的几何解法．以方程，即为例说明，方图注中记载的方法是：构造图如图中大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此则在下面构图中，能正确说明方程的构图是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  如果一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数是          ．

12.  设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______ ．

13.  与最简二次根式是同类二次根式，则          ．

14.  如图，在平行四边形中，是边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的度数为______ ．

15.  在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点、分别为，的中点，则的最小值是______ ．

16.  如图，，点在边上，，点为边上一动点，连接，与关于所在的直线对称，点，分别为，的中点，连接并延长交所在直线于点，连接，当为直角三角形时，的长为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
解方程：
；
．

19.  本小题分
已知：如图，在▱中，点、分别在、上，与相交于点，求证：、互相平分．

20.  本小题分
为了弘扬中国传统文化，某校举行了“经典诵读”比赛，本次比赛结果由评委评分和学生代表评分两个部分组成，评委评分和学生代表评分分别以平均数计分，小颖同学各项得分如表所示：

求学生代表给小颖评分的众数和中位数．
根据竞选规则，将评委评分和学生代表评分的平均分按，的比例计算成绩，求小颖的最后得分．

21.  本小题分
某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为米计划建造车棚的面积为平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为米．
这个车棚的长和宽分别应为多少米？
如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为平方米，那么小路的宽度是多少米？

22.  本小题分
如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，求的长．

23.  本小题分
一个物体从地面竖直向上抛，有这样的关系式：不计空气阻力，其中是物体距离地面的高度，是初速度，是重力加速度取，是抛出后所经历的时间圆圆用发射器发射器的高度忽略不计将一个小球以的初速度从地面竖直向上抛．
当小球的高度为米时，求时间的值；
小球的高度能达到米吗？请作出判断，并说明理由；
若方方在圆圆抛出之后将另一个完全相同的小球以相同的速度从地面竖直向上抛，这两个小球在某一时刻的高度均为米，求方方与圆圆抛球的时间差．

24.  本小题分
如图，平行四边形的对角线，交于点，平分，交于点，且．
求证：；
若，，连接；
若，求平行四边的面积；
设，试求与满足的关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意；
B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、当时，该方程中未知数的最高次数不是，故本选项不符合题意．
故选：．
一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”．
 

2.【答案】 

【解析】解：、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、原式，所以选项错误；
C、原式，所以选项错误；
D、原式，所以选项正确．
故选：．
根据二次根式的加减法对选项进行判断；利用二次根式的性质对选项、选项和选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为平行四边形的两条对角线一定互相平分，菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，
所以选项正确．
故选：．
根据平行四边形的性质即可进行判断．
本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：当时，，有意义，符合题意；
B.当时，，无意义，不符合题意；
C.当时，，无意义，不符合题意；
D.当时，，无意义，不符合题意；
故选：．
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数逐一判断即可．
本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
 

6.【答案】 

【解析】解：反证法证明，“在中，、对边是、，若，则”，
第一步应假设，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
有两个不相等的实数根．
故选：．
计算判别式的值即可判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、，，，不能判定≌，
不能得到，
不能得到，
不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
D、，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：．
分别利用平行四边形的判定方法和全等三角形的判定与性质进行判断，即可得出结论．
此题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，正确把握平行四边形的判定方法是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原数据，，，，的极差为，
原数据，，，，的中位数为，
原数据，，，，的众数为，
原数据，，，，的平均数为，
原数据，，，，的方差为；
新数据的，，，的极差为，
新数据的，，，的中位数为，
新数据的，，，的众数为，
新数据的，，，的平均数为，
新数据的，，，的方差为；
拿掉一个数据，方差发生变化，
故选：．
依据定义和公式分别计算新旧两组数据的极差、方差、中位数、众数，由此即可求解．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、极差，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：方程，即的拼图如图所示；

中间小正方形的边长为，其面积为，
大正方形的面积：，其边长为，
因此，选项所表示的图形符合题意，
故选：．
根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．
本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故这个多边形是六边形．
故答案为：．
多边形的外角和除以，即可解答．
本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，
故答案为：．
由根与系数的关系可求出的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于的方程，解出即可．
本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
【解答】
解：与最简二次根式是同类二次根式，且，
，解得：．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
由折叠的性质得：，，
，，
；
故答案为：．
由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得：，，由三角形的外角性质求出，与三角形内角和定理求出，即可得出的大小．
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，

点、分别为，的中点，
，
当时，的值最小，此时的值也最小，
由勾股定理得：，
，
，
，
故答案为：．
当时，的值最小，此时的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出，再求出答案即可．
本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点，注意：三角形的中位线等于第三边的一半．
 

16.【答案】或 

【解析】解：当为直角三角形时，存在两种情况：
当时，如图，
与关于所在直线对称，
，，
点，分别为，的中点，
、是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
当时，如图，
，
，
与关于所在直线对称，
，
是等腰直角三角形，
；
综上所述，的长为或；
故答案为：或．
当为直角三角形时，存在两种情况：当时，如图，根据对称的性质和平行线可得：，根据直角三角形斜边中线的性质得：，最后利用勾股定理可得的长；当时，如图，证明是等腰直角三角形，可得．
本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
根据负整数指数幂、零指数幂和分母有理化进行计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

18.【答案】解：，
，
则或，
解得，；
，
，
则或，
解得，． 

【解析】利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

19.【答案】证明：连接、，如图所示：
四边形为平行四边形，
，，
又，
，
四边形为平行四边形，
、互相平分． 

【解析】连接、，由平行四边形的性质得出，，再由得出，则四边形是平行四边形，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：学生代表给小颖评分的众数和中位数分别为，；

评委给小颖评分的平均分，
学生代表给小颖评分的平均分，
小颖的最后得分． 

【解析】根据众数，中位数的定义解决问题即可．
利用加权平均数公式计算即可．
本题考查众数，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又这堵墙的长度为米，
，
．
答：这个车棚的长为米，宽为米．
设小路的宽度是米，则停放自行车的区域可合成长为米，宽为米的长方形，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，，符合题意；
当时，，不合题意，舍去．
答：小路的宽度是米． 

【解析】设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米，根据建造车棚的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙的长度即可确定结论；
设小路的宽度是米，则停放自行车的区域可合成长为米，宽为米的长方形，根据停放自行车的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】证明：是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，即，
四边形是平行四边形；
解：过作于，如图所示：
则，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，
解得：，
． 

【解析】先证≌，得，再由，即，即可得出结论；
过作于，先证是等腰直角三角形，得，再由含角的直角三角形的性质得，，由求出，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：把，代入得：
，
当时，
，
即，
解得：，
答：小球的高度为米时，所用时间为或；
小球的高度不能达到米，
理由如下：
把代入得：
，
，
，
无实数解，
小球的高度不能达到米；
由题意得：，
，
解得：，，
，
答：方方与圆圆抛球的时间差为． 

【解析】把，，代入所给关系式求出二次函数解析式，再代入解析式求的值即可；
把代入函数解析式得到关于的一元二次方程，由判别式判定方程是否有解即可；
把代入函数解析式得到关于的一元二次方程，求出方程的两个根，两根之差即为所求．
本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意找出等量关系是解决问题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
平分，

是等边三角形，
；
解：，
，，
，
，

，
，
，
当时，由勾股定理得，，解得，
平行四边的面积；
四边形是平行四边形，
，，
是等边三角形，
，
的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍，
设边上的高为，的长为，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】根据▱中，，可得是等边三角形，进而可以证明结论；
根据，可得，证明，再利用含度角的直角三角形可得的长，进而可得平行四边的面积；
根据四边形是平行四边形，可得，，由是等边三角形，可得，由的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍，设边上的高为，的长为，分别表示出四边形和三角形的面积，进而可得与满足的关系．
此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得是等边三角形是关键．