2023年河南省南阳市卧龙区中考数学二模试卷（含解析）

2023年河南省南阳市卧龙区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中小于的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  外贸进出口差额是衡量国家经济的重要指标，外贸出口总额超过外贸进口总额的差额称为外贸进出口顺差据海关统计显示，年我国外贸进出口总值万亿元，其中，出口万亿元，进口万亿元则年我国外贸进出口顺差是(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

4.  如所示四个图形中，不能作为正方体的展开图的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知双曲线经过点，则下面说法错误的是(    )

A. 该双曲线的解析式为 B. 点在该双曲线上
C. 该双曲线在第二、四象限 D. 当时，随增大而减小

6.  将一块含角的三角板和一把对边平行的直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  无色酚酞溶液是一种常用的酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色，现有五瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、弱酸性柠檬水溶液、火碱溶液，从这五瓶中同时取出两瓶，将酚酞试剂分别滴入这两瓶液体中，则滴入后只有一瓶呈现红色的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知两个函数关系：
小明从家匀速步行到图书馆，看了一会书后，搭上爸爸的顺风车匀速回家，设所用时间为分钟，离家的距离为千米；
将挂在弹簧测力计下方的一个铁块匀速浸入水中，在铁块完全浸没到水中后稍停片刻，再以比之前快的速度匀速将铁块拉出水中，过程所用时间为，铁块所受浮力为；
则它们的图象符合如图所示的是(    )

A.  B.  C.  D. 都不符合

10.  如图，三角形的顶点、、，是边的中点，过点作交轴于点，将沿轴向右平移，当点的对应点恰好落在边上时，此时点对应点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  首届世界月季博览会年月日在河南省南阳市举行为了使学生了解更多有关月季的知识，某学校准备举办“我所知道的月季”主题竞赛活动某班需要从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的竞赛，已知甲、乙两位同学的次选拔成绩如统计图所示，两位同学的平均成绩相等，若从他们的稳定性考虑，应该选择参赛的同学是______ 填“甲”或“乙”．

 

13.  如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，交对角线于点，过点作于点，若，则的长为______ ．

14.  如图，网格中每个小正方形的边长均为，线段的两个端点均在格点上，将线段绕点顺时针旋转到图中的位置，点也在格点上，连接，点是的中点，格点在上，则图中阴影部分的面积为______ ．

15.  已知，如图，在边长为的菱形中，，点为边上一点，且，点为边上一动点，连接，将沿着直线折叠，点的对应点为，若在菱形的对角线上，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
老师让同学们化简，某同学给出了如下的解答过程：
解：原式



根据该同学的解答过程，你发现：
从第______ 步开始出现错误，该步错误的原因是______ ；
请你给出正确的解答过程．

17.  本小题分
某学校为了强化学生的交通意识，邀请交警队员到学校开展了道路交通知识宣讲活动，在宣讲前进行了一次“交通知识知多少”为主题的知识测试，在宣讲活动结束后，学校组织了第二次知识测试，为了对比分析两次测试的成绩，了解宣讲效果，学校按下列步骤开展了调查统计活动：
一、确定调查对象：从全校所有学生中随机抽取名学生两次的测试成绩．
二、确定调查标准：用表示学生的测试成绩总分：分，共分为四组：
，，，．
三、收集数据：两次测试成绩统计分析表：

第一次测试组的成绩：，，，，，，，
四、整理数据：

五、分析数据，解答问题：
______ ；
在其中一次调查中，小明的测试成绩为分，高于一半学生的测试成绩，请你判断这是第几次测试成绩，并说明理由；
若该校有名学生，求第二次测试成绩不低于分的人数；
结合统计量表，对前后两次测试成绩的统计量做出对比分析，并说明宣讲活动的效果．

18.  本小题分
某施工队计划对一条长度为米的道路进行施工，表中记录了开工天以来的施工进度，其中表示施工的天数单位：天，表示未施工道路的长度单位：米．

为描述未施工道路的长度与开工天数的关系，现有以下三种函数关系式可供选择：，，．
根据表中数据，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
根据画出的图象，选出最符合实际情况的函数模型，求出相应的函数表达式；
求施工多少天后，未施工道路的长度为米．

19.  本小题分
为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向．测量方案与数据如下表：

哪个小组的数据无法计算出河宽？
请选择其中一个方案及其数据求出河宽精确到参考数据：，，，

20.  本小题分
春季正是新鲜草莓上市的季节，甲、乙两人一起去某水果超市购买奶油草莓，甲购买了，乙购买了，后来觉得草莓不错，又约好一起去该水果超市购买第二次购买时，甲花了和上次相同的钱，却比上次多买了，乙购买了和上次相同重量的草莓，却比上次少花了元．
求这种草莓两次购买的价格；
分别求甲、乙各自两次购买这种草莓的平均价格；
生活中，无论物品的单价如何变化，有人总按相同金额购买，有人总按相同重量购买，结合的计算结果，建议按相同______ 购买更合算填“金额”或“重量”．

21.  本小题分
“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积这个问题困扰了人类上千年，直到世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法具体如下：
已知：纸片，其半径为．
求作：一个正方形，使其面积等于的面积．
作法：如图，取的直径，作射线，过点
作的垂线；
如图，以点为圆心，为半径画弧交直线于点点在点的左边；
将纸片沿着直线向右无滑动地滚动半周，使点、分别落在对应的，处；
取的中点，以点为圆心，为半径画半圆，交射线于点在点下方；
以为边作正方形则正方形即为所求．
请你根据上述作图步骤，完成下面任务：
由可知，直线为的切线，其依据是______ ；
求和的长结果用含的代数式表示；
证明：．

22.  本小题分
如图，在斜坡底部点处安装一个自动喷水装置，喷水头视为点的高度喷水头距喷水装置底部的距离是米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为米时，达到最大高度米以点为原点，自动喷水装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．

求抛物线的函数关系式；
斜坡上距离水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面，且点到水平地面的距离为米，绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点，求自动喷水装置向左水平平移即抛物线向左了多少米？

23.  本小题分
综合与实践
问题提出
如图，请你在直线上找一点，使点到两个定点和的距离之和最小，即的和最小保留作图痕迹，不写作法；
思维转换图
如图，已知点是直线外一定点，且到直线的距离为，是直线上的动线段，，连接，，求的最小值小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”，请你参考小敏的思路求的最小值；
拓展应用
如图，在矩形中，，连接，点、分别是边、上的动点，且，分别过点、作，，垂足分别为、，连接、，请直接写出周长的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，，
所给的各数中小于的是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：．与不是同类二次根式，无法合并，则不符合题意；
B.与不是同类项，无法合并，则不符合题意；
C.，则不符合题意；
D.，则符合题意；
故选：．
根据二次根式的加减法则，整式运算的相关法则将各项计算后进行判断即可．
本题主要考查二次根式及整式的运算法则，它们均为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：万亿元万亿元万亿元元元．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意知，图形不能折叠成正方形，
故选：．
根据正方体的展开图得出结论即可．
本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：双曲线经过点，
，
双曲线的解析式为，函数图象分布在第二、四象限，当时，随的增大而增大，
，
点在该双曲线上，
选项D错误，
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征逐一判断即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：给图中各角表示序号，如图所示．
，
，
，
．
直尺的对边平行，
．
故选：．
给图中各角表示序号，利用邻补角互补，可求出的度数，结合三角形的外角性质，可求出的度数，结合对顶角相等，可得出的度数，再利用“两直线平行，同位角相等”，即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质、对顶角、邻补角以及三角形的外角性质，利用邻补角互补、三角形的外角性质及对顶角相等，找出的度数是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
解得，
，
故选：．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解出的取值范围即可进行判断．
本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：将蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、弱酸性柠檬水溶液、火碱溶液分别记作、、、、，列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中滴入后只有一瓶呈现红色的有种结果，
所以滴入后只有一瓶呈现红色的概率为，
故选：．
将蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、弱酸性柠檬水溶液、火碱溶液分别记作、、、、，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法求概率以及随机事件和不可能事件的概念．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】 

【解析】解：小明从家匀速步行到图书馆，看了一会书后，搭上爸爸的顺风车匀速回家，设所用时间为分钟，离家的距离为千米，
开始时随的增大而增大，看书过程中的值不变，回家时随的增大而减小，因为回家的速度比去图书馆的速度快，所以减小的速率比增大的速率大．
故符合题意；
将挂在弹簧测力计下方的一个铁块匀速浸入水中，在铁块完全浸没到水中后稍停片刻，再以比之前快的速度匀速将铁块拉出水中，过程所用时间为，铁块所受浮力为；
开始时随的增大而增大，铁块完全浸没到水中后稍停片刻过程中的值不变，再以比之前快的速度匀速将铁块拉出水中，随的增大而减小，且减小的速率比增大的速率大．
故符合题意．
所以它们的图象符合如图所示的是．
故选：．
根据下面的情境，分别计算判断即可．
本题考查了函数的图象，注意看清楚因变量和自变量分别表示的含义．
 

10.【答案】 

【解析】解：、、，
，，，
，
是边的中点，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
将沿轴向右平移，当点的对应点恰好落在边上时，可知是将沿轴向右平移个单位长度，
此时点对应点的坐标为，即．
故选：．
根据已知得，由是边的中点，得，证明∽，得，所以，，根据平移法则即可求出答案．
本题考查了坐标与图形变化平移，关键是求出的长度和掌握平移法则．
 

11.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
首先计算负整数指数幂、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

12.【答案】乙 

【解析】解：，
，
，
，
，
乙比较稳定，
应该选择参赛的同学是乙，
故答案为：乙．
分别求出甲、乙两位同学的方差，根据方差的性质判断即可．
本题考查的是方差和算术平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

13.【答案】 

【解析】解：，的平分线交于点，
，
于点，，
，
，
，
，
故答案为：．
由，，求得，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查角平分线的定义、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，根据，，求得是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，由题意可知的中点在格点上，连接，，
由网格构造直角三角形，利用勾股定理得
，即，
，即，
，即，
，，
，


，
故答案为：．
根据对称性可得的中点在格点上，根据网格构造直角三角形，求出、、，进而得出扇形的圆心角的度数及半径，利用进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握勾股定理、勾股定理逆定理以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当点在上时，
在菱形中，，
，，
在中，，，
；
点落在对角线上，
，
，
，
由折叠可知，，
四边形是菱形；
，
，
即：，
解得：，
，
在中，
，
当点在上时，
，，
，
又，
∽，
，
又是等边三角形，
，
设，则，，，
，
即：，
解得：，舍去，
，
的长为或．
根据翻转变换的性质、菱形的判定和性质定理分点在和两种情况进行讨论即可．
本题考查的是菱形的判定和性质、翻转变换的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握翻转变换的是一种轴对称、翻折前后的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
 

16.【答案】  括号前是“”号，去括号后，括号内的第二项没有变号 

【解析】解：从第步开始出现错误，该步错误的原因是括号前是“”号，去括号后，括号内的第二项没有变号，
故答案为：；括号前是“”号，去括号后，括号内的第二项没有变号，
正确的解答过程如下：




．
根据去括号法则，即可解答；
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：第一次测试组的成绩从小到大排列为：，，，，，，，．
中位数为：，
．
故答案为：．
第一次测试成绩，理由如下：
第一次测试成绩中位数是，第二次测试成绩中位数是，
小明的测试成绩为分，高于一半学生的测试成绩，为第一次测试成绩．
人，
答：第二次测试成绩不低于分的人数为人．
由统计表可知，第二次成绩的平均数、众数、中位数很明显都比第一次成绩好，说明第二次效果更好．
把数据从小到大进行排列即可求出中位数；
根据中位数的意义回答；
先求第二次测试成绩不低于分所占比例，再乘以；
从平均数、众数、中位数三方面进行比较．
本题主要考查了中位数、众数、平均数等统计的知识，难度不大，认真作答即可．
 

18.【答案】解：该函数的图象如图所示：

根据图象可知，与满足一次函数，
把，代入解析式得：，
解得，
，
当，则，
解得，
施工天后，未施工道路的长度为米． 

【解析】根据题意画出函数图象即可；
根据图象确定函数模型，再由待定系数法求函数解析式；
根据题意列方程即可得到结论．
本题考查一次函数的应用，关键是画出函数图象，求出函数解析式．
 

19.【答案】解：第二个小组的数据无法计算出河宽．
第一个小组的解法：
，，，
，
，
．
第三个小组的解法：设，
，
则，，
，
，
，
解得：．
答：河宽约为． 

【解析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
第二个小组的数据无法计算河宽．
第一个小组：证明，解直角三角形求出即可．
第三个小组：设，则，，根据，构建方程求解即可．
 

20.【答案】金额 

【解析】解：设这种草莓第一次购买的价格是元，第二次购买的价格是元，
根据题意得：，
解得：．
答：这种草莓第一次购买的价格是元，第二次购买的价格是元；
甲两次购买这种草莓的平均价格为元，
乙两次购买这种草莓的平均价格为元．
答：甲两次购买这种草莓的平均价格为元，乙两次购买这种草莓的平均价格为元；
由可知：，
按相同金额购买更合算．
故答案为：金额．
设这种草莓第一次购买的价格是元，第二次购买的价格是元，根据甲、乙两人两次购进数量及金额间的关系，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
利用平均价格两次购买这种草莓的总价之和两次购买这种草莓的数量之和，即可求出结论；
将得出的结论作比较，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

21.【答案】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 

【解析】解：于点，为的半径，
直线为的切线经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
故答案为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
以点为圆心，长为半径画弧交直线于点，
．
纸片沿着直线向右无滑动地滚动半周，使点，分别落在对应的，处，
，
．
为的中点，
，
，
证明：连接，如图：

，
在中，
，




．
．
利用已知条件结合切线的判定定理解答即可；
利用中点的定义和线段和差的意义解答即可；
连接，利用勾股定理可得结论．
本题主要考查了圆的切线的判定，圆的周长与面积，正方形的面积，勾股定理，本题是操作型题目，根据题干中的作图步骤转化成几何语言是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题可知：当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米，
则可设水流形成的抛物线为，
将点代入可得，
抛物线，
设喷射架向左水平平移了米，
则平移后的抛物线可表示为，
将点代入得：，
解得或舍去，
喷射架应向左水平移动米． 

【解析】题目中告知了抛物线的顶点，可以设抛物线的顶点式，又抛物线经过点即可求解顶点式中的，从而求解；
设抛物线向后平移了米，用中的顶点式，表示出新的抛物线解析式，将点坐标代入解析式中，求解即可．
本题考查了二次函数的应用，正确理解题意，熟练掌握待定系数法及二次函数性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，则点为所求．

做法：作点关于的对称点，
连接交于点，由对称得，
，
两点之间线段最短，
最短，即的和最小．
如图，过点作直线，作点关于的对称点，连接，交于点，
则的值即是的最小值，

点到直线的距离为，
，
，
，
，即的最小值为．
如图，过作，于点，作点关于的对称点，连接，
由得为的最小值，

，，
，
，
，
设，
由∽得，，，
，
，
由∽得，，
，
，，
，
，
周长的最小值为． 

【解析】作点的对称点，由两点之间线段最短解题即可；
将、看作定点，看作动点，由作法可解；
由相似得出为定值，再根据作法求出的最值，即可解答．
本题考查了线段和最值的做法的应用，三角形相似及准确的计算是解题关键．