(新高考)高考物理一轮复习讲义 第9章 专题强化十一 带电粒子在复合场中运动的实例分析（含解析）

专题强化十一　带电粒子在复合场中运动的实例分析

专题解读 1.本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用，高考往往以计算压轴题的形式出现．

2．学习本专题，可以培养同学们的审题能力、推理能力和规范表达能力．针对性的专题训练，可以提高同学们解决难题、压轴题的信心．

3．用到的知识有：动力学观点(牛顿运动定律)、运动学观点、能量观点(动能定理、能量守恒定律)、电场的观点(类平抛运动的规律)、磁场的观点(带电粒子在磁场中运动的规律)．

1．作用

测量带电粒子质量和分离同位素的仪器．

2．原理(如图1所示)

图1

(1)加速电场：qU＝mv2；

(2)偏转磁场：qvB＝，l＝2r；

由以上两式可得r＝ ，

m＝，＝.

例1　(2019·山东济南市上学期期末)质谱仪可利用电场和磁场将比荷不同的离子分开，这种方法在化学分析和原子核技术等领域有重要的应用．如图2所示，虚线上方有两条半径分别为R和r(R>r)的半圆形边界，分别与虚线相交于A、B、C、D点，圆心均为虚线上的O点，C、D间有一荧光屏．虚线上方区域处在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B.虚线下方有一电压可调的加速电场，离子源发出的某一正离子由静止开始经电场加速后，从AB的中点垂直进入磁场，离子打在边界上时会被吸收．当加速电压为U时，离子恰能打在荧光屏的中点．不计离子的重力及电、磁场的边缘效应．求：

(1)离子的比荷；

(2)离子在磁场中运动的时间；

(3)离子能打在荧光屏上的加速电压范围．

图2

答案　(1)　(2)　(3)≤U′≤

解析　(1)由题意知，加速电压为U时，离子在磁场区域做匀速圆周运动的半径r0＝

洛伦兹力提供向心力，qvB＝m

在电场中加速，有qU＝mv2

解得：＝

(2)离子在磁场中运动的周期为T＝

在磁场中运动的时间t＝

解得：t＝

(3)由(1)中关系，知加速电压和离子轨迹半径之间的关系为U′＝r′2

若离子恰好打在荧光屏上的C点，轨道半径rC＝

UC＝

若离子恰好打在荧光屏上的D点，轨道半径rD＝

UD＝

即离子能打在荧光屏上的加速电压范围：≤U′≤.

变式1　(2019·福建龙岩市5月模拟)质谱仪的原理如图3所示，虚线AD上方区域处在垂直纸面向外的匀强磁场中，C、D间有一荧光屏．同位素离子源产生a、b两种电荷量相同的离子，无初速度进入加速电场，经同一电压加速后，垂直进入磁场，a离子恰好打在荧光屏C点，b离子恰好打在D点．离子重力不计．则(　　)

图3

A．a离子质量比b的大

B．a离子质量比b的小

C．a离子在磁场中的运动时间比b的长

D．a、b离子在磁场中的运动时间相等

答案　B

解析　设离子进入磁场的速度为v，在电场中qU＝mv2，在磁场中Bqv＝m，联立解得：r＝＝ ，由题图知，b离子在磁场中运动的轨道半径较大，a、b为同位素，电荷量相同，所以b离子的质量大于a离子的质量，所以A错误，B正确；在磁场中运动的时间均为半个周期，即t＝＝，由于b离子的质量大于a离子的质量，故b离子在磁场中运动的时间较长，C、D错误．

1．构造：

如图4所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源．

图4

2．原理：

交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子被加速一次．

3．最大动能：

由qvmB＝、Ekm＝mvm2得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关．

4．总时间：

粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝，粒子在磁场中运动的总时间t＝T＝·＝.

例2　(多选)(2019·山东烟台市第一学期期末)如图5所示是回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，分别与高频交流电源连接，两个D形金属盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两个D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，下列说法中正确的是(　　)

图5

A．加速电压越大，粒子最终射出时获得的动能就越大

B．粒子射出时的最大动能与加速电压无关，与D形金属盒的半径和磁感应强度有关

C．若增大加速电压，粒子在金属盒间的加速次数将减少，在回旋加速器中运动的时间将减小

D．粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比为∶

答案　BC

解析　粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得：qvmB＝m，解得：vm＝，则粒子获得的最大动能为：Ekm＝mvm2＝，知粒子获得的最大动能与加速电压无关，与D形金属盒的半径R和磁感应强度B有关，故A错误，B正确；对粒子，由动能定理得：nqU＝，加速次数：n＝，增大加速电压U，粒子在金属盒间的加速次数将减少，粒子在回旋加速器中运动的时间：t＝T＝将减小，故C正确；对粒子，由动能定理得：nqU＝mvn2，解得vn＝，粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得：qvnB＝m，解得：rn＝ ，则粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比为：＝，故D错误．

变式2　(多选)(2019·福建龙岩市3月质量检查)回旋加速器是加速带电粒子的装置，如图6所示．其核心部件是分别与高频交流电源两极相连接的两个D形金属盒(D1、D2)，两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，D形盒的半径为R.质量为m、电荷量为q的质子从D1半盒的质子源(A点)由静止释放，加速到最大动能Ekm后经粒子出口处射出．若忽略质子在电场中的加速时间，且不考虑相对论效应，则下列说法正确的是(　　)

图6

A．质子加速后的最大动能Ekm与交变电压U大小无关

B．质子在加速器中的运行时间与交变电压U大小无关

C．回旋加速器所加交变电压的周期为πR

D．D2盒内质子的轨道半径由小到大之比为1∶∶∶…

答案　ACD

解析　质子在回旋加速器中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，则v＝，当r＝R时，质子有最大动能：Ekm＝mvm2＝，知质子加速后的最大动能Ekm与交变电压U大小无关，故A正确；质子离开回旋加速器时的动能是一定的，与加速电压无关，由T＝可知相邻两次经过电场加速的时间间隔不变，获得的动能为qU，故电压越大，加速的次数n越少，在加速器中的运行时间越短，故B错误；回旋加速器所加交变电压的周期与质子在D形盒中运动的周期相同，由T＝，R＝，Ekm＝mvm2知，T＝πR，故C正确；质子每经过1次加速电场动能增大qU，知D2盒内质子的动能由小到大依次为qU、3qU、5qU…，又r＝＝，则半径由小到大之比为1∶∶∶…，故D正确.

共同特点：当带电粒子(不计重力)在复合场中做匀速直线运动时，qvB＝qE.

1．速度选择器

(1)平行板中电场强度E和磁感应强度B互相垂直．(如图7)

图7

(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qvB＝qE，即v＝.

(3)速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量．

(4)速度选择器具有单向性．

例3　如图8所示是一速度选择器，当粒子速度满足v0＝时，粒子沿图中虚线水平射出；若某一粒子以速度v射入该速度选择器后，运动轨迹为图中实线，则关于该粒子的说法正确的是(　　)

图8

A．粒子射入的速度一定是v>

B．粒子射入的速度可能是v<

C．粒子射出时的速度一定大于射入速度

D．粒子射出时的速度一定小于射入速度

答案　B

2．磁流体发电机

(1)原理：如图9所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在B、A板上，产生电势差，它可以把离子的动能通过磁场转化为电能．

图9

(2)电源正、负极判断：根据左手定则可判断出图中的B是发电机的正极．

(3)电源电动势U：设A、B平行金属板的面积为S，两极板间的距离为l，磁场磁感应强度为B，等离子体的电阻率为ρ，喷入气体的速度为v，板外电阻为R.当正、负离子所受电场力和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为U(即电源电动势)，则q＝qvB，即U＝Blv.

(4)电源内阻：r＝ρ.

(5)回路电流：I＝.

例4　(2019·福建三明市期末质量检测)磁流体发电机的原理如图10所示．将一束等离子体连续以速度v垂直于磁场方向喷入磁感应强度大小为B的匀强磁场中，可在相距为d、面积为S的两平行金属板间产生电压．现把上、下板和电阻R连接，上、下板等效为直流电源的两极．等离子体稳定时在两极板间均匀分布，电阻率为ρ.忽略边缘效应及离子的重力，下列说法正确的是(　　)

图10

A．上板为正极，a、b两端电压U＝Bdv

B．上板为负极，a、b两端电压U＝

C．上板为正极，a、b两端电压U＝

D．上板为负极，a、b两端电压U＝

答案　C

解析　根据左手定则可知，等离子体射入两极板之间时，正离子偏向a板，负离子偏向b板，即上板为正极；稳定时满足q＝Bqv，解得U′＝Bdv；根据电阻定律可知两极板间的电阻为r＝，根据闭合电路欧姆定律：I＝，a、b两端电压U＝IR，联立解得U＝，故选C.

3．电磁流量计

(1)流量(Q)的定义：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积．

(2)公式：Q＝Sv；S为导管的横截面积，v是导电液体的流速．

(3)导电液体的流速(v)的计算

如图11所示，一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动．导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，使a、b间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差(U)达到最大，由q＝qvB，可得v＝.

图11

(4)流量的表达式：Q＝Sv＝·＝.

(5)电势高低的判断：根据左手定则可得φa>φb.

例5　为监测某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图12所示的长方体流量计．该装置由绝缘材料制成，其长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口．在垂直于上下底面方向加一匀强磁场，前后两个内侧面分别固定有金属板作为电极．污水充满管口从左向右流经该装置时，接在M、N两端间的电压表将显示两个电极间的电压U.若用Q表示污水流量(单位时间内排出的污水体积)，下列说法中正确的是(　　)

图12

A．M端的电势比N端的高

B．电压表的示数U与a和b均成正比，与c无关

C．电压表的示数U与污水的流量Q成正比

D．若污水中正、负离子数相同，则电压表的示数为0

答案　C

解析　根据左手定则知，正离子所受的洛伦兹力方向向里，则向里偏转，N端带正电，M端带负电，则M端的电势比N端电势低，故A错误； 最终离子在电场力和洛伦兹力作用下平衡，有：qvB＝q，解得U＝vBb，电压表的示数U与b成正比，与污水中正、负离子数无关，故B、D错误；因v＝，则流量Q＝vbc＝，因此U＝，所以电压表的示数U与污水流量Q成正比，故C正确．

4．霍尔效应的原理和分析

(1)定义：高为h、宽为d的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压．

(2)电势高低的判断：如图13，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A′的电势高．若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低．

图13

(3)霍尔电压的计算：导体中的自由电荷(电荷量为q)在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)就保持稳定，由qvB＝q，I＝nqvS，S＝hd；联立得U＝＝k，k＝称为霍尔系数．

例6　(2019·北京市东城区二模)霍尔元件是能够把磁感应强度这个磁学量转换为电压这个电学量的电学元件．其结构和原理如图14所示，在一个很小的矩形半导体薄片上，制作四个电极E、F、M、N，它就成了一个霍尔元件．在E、F 间通入恒定的电流 I，同时外加与薄片垂直的磁场B，则薄片中的载流子就在洛伦兹力的作用下，向着与电流和磁场都垂直的方向漂移，使M、N 间出现了电压，称为霍尔电压UH.当磁场方向和电流方向如图所示时，关于M、N极板电势的高低，下列说法正确的是(　　)

图14

A．不管载流子带电性质如何，电极N的电势一定高于电极M

B．不管载流子带电性质如何，电极N的电势一定低于电极M

C．只有当载流子为负电荷时，电极M的电势才高于电极N

D．只有当载流子为正电荷时，电极M的电势才高于电极N

答案　C

解析　当载流子为负电荷时，由左手定则可知，负电荷偏向电极N，则电极M的电势高于电极N；当载流子为正电荷时，由左手定则可知，正电荷偏向电极N，电极M的电势低于电极N，故选C.

1．在如图1所示的平行板器件中，电场强度E和磁感应强度B相互垂直．一带电粒子(重力不计)从左端以速度v沿虚线射入后做直线运动，则该粒子(　　)

图1

A．一定带正电

B．速度v＝

C．若速度v＞，粒子一定不能从板间射出

D．若此粒子从右端沿虚线方向进入，仍做直线运动

答案　B

解析　粒子带正电和负电均可，选项A错误；由洛伦兹力等于电场力，可得qvB＝qE，解得速度v＝，选项B正确；若速度v＞，粒子可能会从板间射出，选项C错误；若此粒子从右端沿虚线方向进入，所受电场力和洛伦兹力方向相同，不能做直线运动，选项D错误．

2．(多选)(2019·陕西宝鸡市高考模拟检测(二))医用回旋加速器的核心部分是两个D形金属盒，如图2所示，两金属盒置于匀强磁场中，并分别与高频电源相连．现分别加速氘核(H)和氦核(He)并通过线束引出加速器．下列说法中正确的是(　　)

图2

A．加速两种粒子的高频电源的频率相同

B．两种粒子获得的最大动能相同

C．两种粒子在D形盒中运动的周期相同

D．增大高频电源的电压可增大粒子的最大动能

答案　AC

解析　回旋加速器加速粒子时，粒子在磁场中运动的周期应和交流电的周期相同．带电粒子在磁场中运动的周期T＝，两粒子的比荷相等，所以周期相同，故加速两种粒子的高频电源的频率也相同，A、C正确； 根据qvB＝m，得v＝，最大动能Ek＝mv2＝，与加速电压无关，两粒子的比荷相等，电荷量q不相等，所以最大动能不等，故B、D错误．

3.(多选)如图3所示是磁流体发电机的示意图，两平行金属板P、Q之间有一个很强的磁场．一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正、负带电离子)沿垂直于磁场的方向喷入磁场．把P、Q与电阻R相连接．下列说法正确的是(　　)

图3

A．Q板的电势高于P板的电势

B．R中有由a向b方向的电流

C．若只改变磁场强弱，R中电流保持不变

D．若只增大离子入射速度，R中电流增大

答案　BD

解析　等离子体进入磁场，根据左手定则，正离子向上偏，打在上极板上，负离子向下偏，打在下极板上，所以上极板带正电，下极板带负电，则P板的电势高于Q板的电势，流过电阻R的电流方向由a到b，故A错误，B正确；依据电场力等于洛伦兹力，即q＝qvB，则有U＝Bdv，再由闭合电路欧姆定律I＝＝，电流与磁感应强度成正比，故C错误；由以上分析可知，若只增大离子的入射速度，R中电流会增大，故D正确．

4.(多选)利用霍尔效应制作的霍尔元件，广泛应用于测量和自动控制等领域．如图4所示是霍尔元件的工作原理示意图，磁感应强度B 垂直于霍尔元件的工作面向下，当元件中通入图示方向的电流I 时，C、D 两侧面会形成一定的电势差U.下列说法中正确的是(　　)

图4

A．若C侧面电势高于D侧面，则元件中形成电流的载流子带负电

B．若C侧面电势高于D侧面，则元件中形成电流的载流子带正电

C．在地球南、北极上方测地磁场强弱时，元件工作面竖直放置时U最大

D．在地球赤道上方测地磁场强弱时，元件工作面竖直放置且与地球经线垂直时，U最大

答案　AD

解析　若元件的载流子带负电，由左手定则可知，载流子受到洛伦兹力向D侧面偏，则C侧面的电势高于D侧面的电势，故A正确；若元件的载流子带正电，由左手定则可知，载流子受到洛伦兹力向D侧面偏，则D侧面的电势高于C侧面的电势，故B错误；在测地球南、北极上方的地磁场强弱时，因磁场方向竖直，则元件的工作面保持水平时U最大，故C错误；地球赤道上方的地磁场方向水平，在测地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持竖直，当与地球经线垂直时U最大，故D正确．

5．(2019·山西临汾市二轮复习模拟)容器A中装有大量的质量、电荷量不同但均带正电的粒子，粒子从容器下方的小孔S1不断飘入加速电场(初速度可视为零)做直线运动，通过小孔S2后从两平行板中央沿垂直电场方向射入偏转电场．粒子通过平行板后沿垂直磁场方向进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场区域，最后打在感光片上，如图5所示．已知加速电场中S1、S2间的加速电压为U，偏转电场极板长为L，两板间距也为L，板间匀强电场强度E＝，方向水平向左(忽略板间外的电场)，平行板f的下端与磁场边界ab相交于点P，在边界ab上实线处固定放置感光片．测得从容器A中逸出的所有粒子均打在感光片PQ之间，且Q距P的长度为3L，不考虑粒子所受重力与粒子间的相互作用，求：

图5

(1)粒子射入磁场时，其速度方向与边界ab间的夹角；

(2)射到感光片Q处的粒子的比荷(电荷量q与质量m之比)；

(3)粒子在磁场中运动的最短时间．

答案　(1)45°　(2)　(3)

解析　(1)设质量为m、电荷量为q的粒子通过孔S2的速度为v0，则：qU＝mv02

粒子在平行板e、f间做类平抛运动：L＝v0t，vx＝t，tan θ＝

联立可得：tan θ＝1，则θ＝45°，故其速度方向与边界ab间的夹角为θ＝45°.

(2)粒子在偏转电场中沿场强方向的位移x＝vxt＝，故粒子从e板下端与水平方向成45°角斜向下射入匀强磁场，如图所示，设质量为m、电荷量为q的粒子射入磁场时的速度为v，做圆周运动的轨道半径为r，则v＝＝v0＝2

由几何关系：r2＋r2＝(4L)2

则r＝2L

qvB＝m，则r＝

联立解得：＝.

(3)设粒子在磁场中运动的时间为t，偏转角为α，

则t＝，r＝＝

联立可得：t＝

因为粒子在磁场中运动的偏转角α＝π，所以粒子打在P处时间最短，此时半径为r′，

由几何关系知：r′2＋r′2＝L2，则r′＝L

联立可得：tmin＝＝.