2023山西大学附中校高三下学期3月模块诊断数学试题含解析

山西大学附中2022~2023学年第一学期高三3月模块诊断数学试题

一.选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. i是虚数单位，z=1－i，则复数z的模等于（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

2 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知，则是的（    ）．

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 在下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知双曲线，若对任意实数，直线与至多有一个交点，则的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 考察下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是(　　)．

A  B.  C.  D.

8. 已知，则（    ）

A.  B.  C. a<c<b D. c<a<b

二.选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 小明用某款手机性能测试APP对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，，y，93，96，96，99，已知总体的中位数为90，则（    ）

A.

B. 该组数据的均值一定为90

C. 该组数据众数一定为84和96

D. 若要使该总体的标准差最小，则

10. 如图，棱长为2的正方体的内切球球心为，分别是棱的中点，在棱上移动，则（    ）

A. 对于任意点，平面

B. 存在点，使平面

C. 直线的被球截得的弦长为

D. 过直线的平面截球所得截面圆面积的最小值为

11. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对，，且，则的可能取值为（    ）．

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数(为自然对数的底数)，过点作曲线的切线.下列说法正确的是（    ）

A. 当时，若只能作两条切线，则

B. 当，时，则可作三条切线

C. 当时，可作三条切线，则

D. 当，时，有且只有两条切线

三.填空题：本题共4 小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，，则__________．

14. 有4名男生和2名女生共6人组成两个志愿者队伍去两个不同场馆，要求每队既有男生又有女生，则不同的分配方法有_______________种．（用数字表示）

15. (x－2)3(2x＋1)2的展开式中x的奇次项的系数之和为________.

16. 椭圆C：的左右焦点分别为，直线y＝kx（k＞0）与C相交于M，N两点，若四点共圆（其中M在第一象限），且直线倾斜角不小于，则椭圆C的长轴长的取值范围是__________.

四.解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17. 在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且.

（1）求角C；

（2）E为三角形ABC所在平面内的一点，，且，求线段CE的长.

18. 数学家也有一些美丽的错误,如法国数学家费马于年提出了以下猜想：是质数.年,瑞士数学家欧拉算出,该数不是质数.已知为数列的前项和,且

（1）求数列的通项公式；

（2）若,设为数列的前项和,求出,并证明：对任意,.

19. 在东京奥运会中，甲、乙、丙三名跳水运动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为，乙、丙晋级的概率均为，且三人是否晋级相互独立.

（1）若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率也相等，求，；

（2）若，记三个人中晋级人数为，若时的概率和时的概率相等，求的分布列及.

20. 如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为2的正三角形，，分别是的中点，记平面与平面的交线为.

（1）证明：直线平面；

（2）设点在直线上，直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，求当为何值时，.

21. 已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.

22. 已知函数f(x)＝ax＋x2－xln a(a>0，a≠1).

（1）求函数f(x)的极小值；

（2）若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围.